人教版八年级下学期数学第21章四边形第3节矩形及其性质知识点+练习题以及答案

第二十一章四边形第3节：矩形及其性质（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.（2）矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（4）当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．（5）矩形的判定①对角线相等的平行四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形练习题第1课时矩形及其性质１．工人师傅做铝合金窗框时，分下面三个步骤进行：（１）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图１，要求ＡＢ＝ＣＤ，ＥＦ＝ＧＨ．（２）摆成如图２所示的四边形，这时窗框的形状是形，依据的数学原理是．（３）将直角尺紧靠窗框的一个角（如图３），调整窗框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图４），说明窗框合格，这时窗框是形，依据的数学原理是．２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，则下列结论一定正确的是（）Ａ．ＡＢ＝ＡＤＢ．ＡＣ⊥ＢＤＣ．ＡＣ＝ＢＤＤ．∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ３．如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，∠ＡＯＢ＝６０°，ＡＣ＋ＡＢ＝１２，则边ＡＢ的长为（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．23Ｄ．42４．如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ的中点．若ＥＦ＝２，则ＡＣ的长为．５．已知：如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＣＥ∥ＤＢ，交ＡＢ的延长线于点Ｅ．（１）求证：ＡＣ＝ＥＣ．（２）若∠ＡＯＤ＝１２０°，ＡＢ＝２.５ｃｍ，求矩形的面积．６．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ为斜边ＡＣ上的中线．若∠Ａ＝４０°，则∠ＤＢＣ＝（）Ａ．４０°Ｂ．４５°Ｃ．５０°Ｄ．５５°７．某房梁的示意图如图所示，立柱ＡＤ⊥ＢＣ，Ｅ，Ｆ分别是斜梁ＡＢ，ＡＣ的中点．若ＡＢ＝ＡＣ＝８ｍ，则ＤＥ的长为ｍ．８．如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是边ＢＣ上的高，ＣＥ是边ＡＢ上的中线，ＤＧ⊥ＣＥ于点Ｇ，ＣＤ＝ＡＥ．（１）证明：ＣＧ＝ＥＧ．（２）若ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，求ＣＥ的长．９．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝２０°，ＣＤ为ＡＢ边上的中线，ＤＥ⊥ＡＣ，则图中与∠Ａ互余的角共有（）Ａ．２个Ｂ．３个Ｃ．４个Ｄ．５个１０．如图，在平面直角坐标系中，矩形ＡＢＣＤ的顶点Ａ在第一象限，Ｂ，Ｄ在ｙ轴上，ＡＢ交ｘ轴于点Ｅ，ＡＦ⊥ｘ轴，垂足为Ｆ，若ＯＢ＝３ＡＦ，ＯＦ＝４，以下结论不正确的是（）Ａ．ＡＥ平分∠ＯＡＦＢ．ＢＤ＝62Ｃ．点Ｃ的坐标为（４，－2）Ｄ．矩形ＡＢＣＤ的面积为242１１．翻花绳是中国民间流传的游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等，如图１所示的是翻花绳的一种图案，可以抽象成图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＩＪ∥ＫＬ，ＥＦ∥ＧＨ，∠１＝∠２＝３０°，∠３的度数为．１２．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是边ＣＤ上一点，ＢＦ⊥ＡＥ于点Ｆ，ＡＤ＝ＢＦ．（１）求证：ＢＥ平分∠ＣＢＦ．（２）若ＢＦ＝６，ＣＥ＝２，求ＡＢ的长．１３．操作探究题【问题提出】（１）如图①，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ上一点，将△ＡＢＥ沿ＡＥ折叠得到△ＡＦＥ，点Ｆ恰好在ＡＤ上，则∠ＢＡＥ的度数为．【问题拓展】如图②，将图①中的矩形纸片沿过点Ｄ的直线折叠，使得点Ｃ恰好落在ＥＦ上的点Ｈ处，ＤＧ为折痕．（２）若ＡＢ＝５，ＡＤ＝８，求ＦＨ的长．（３）若ＡＥ∥ＨＧ，求边ＡＢ与ＢＣ之间的数量关系．第2课时矩形的判定１．依据所标数据，下列四边形不一定是矩形的是（）２．如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ＡＢＣＤ为矩形，添加的条件可以是（）Ａ．ＯＢ＝５Ｂ．ＯＤ＝５Ｃ．ＡＢ＝５Ｄ．ＢＣ＝８３．已知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ＡＢＣＤ为矩形的是（）Ａ．∠Ａ＝９０°Ｂ．∠Ｂ＝∠ＣＣ．ＡＣ＝ＢＤＤ．ＡＣ⊥ＢＤ４．如图，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｆ为ＯＣ上一点，Ｅ为ＡＯ上一点，且ＡＦ＝ＣＥ，ＥＦ＝２ＢＯ，连接ＢＥ，ＤＦ，ＤＥ，ＢＦ，求证：四边形ＥＢＦＤ是矩形．５．如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，有下列条件：①ＡＢ∥ＣＤ，②ＡＤ＝ＢＣ．（１）请从以上①②中任选１个作为条件，求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形．（２）在（１）的条件下，若ＡＢ＝３，ＡＣ＝５，求四边形ＡＢＣＤ的面积．６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，ＣＥ∥ＡＤ，ＡＥ⊥ＡＤ，ＥＦ⊥ＡＣ．（１）求证：四边形ＡＤＣＥ是矩形．（２）若ＢＣ＝４，ＣＥ＝３，求ＥＦ的长．７．如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是四边形ＡＢＣＤ四条边的中点，要使四边形ＥＦＧＨ为矩形，则四边形ＡＢＣＤ应具备的条件是（）Ａ．一组对边平行而另一组对边不平行Ｂ．对角线相等Ｃ．对角线互相垂直Ｄ．对角线互相平分如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＡＣ＝４，点Ｐ为斜边ＢＣ上的一个动点，过Ｐ分别作ＰＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，连接ＥＦ，则线段ＥＦ的最小值为。９．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，ＤＦ⊥ＢＣ，垂足为Ｆ，点Ｇ在ＤＥ的延长线上，ＤＧ＝ＦＣ，连接ＣＧ．（１）求证：四边形ＤＦＣＧ是矩形．（２）若∠Ｂ＝４５°，ＤＦ＝３，ＤＧ＝５，求ＢＣ和ＡＣ的长．１０．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ为线段ＣＤ的中点，连接ＡＣ，ＡＥ，延长ＡＥ，ＢＣ交于点Ｆ，连接ＤＦ，∠ＡＣＦ＝９０°．（１）求证：四边形ＡＣＦＤ是矩形．（２）若ＣＤ＝１０，ＣＦ＝６，求四边形ＡＢＣＥ的面积．１１．如图，在△ＡＢＣ中，Ｏ是边ＡＣ上的一个动点，过点Ｏ作直线ＭＮ∥ＢＣ，交∠ＡＣＢ的平分线于点Ｅ，交△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＤ的平分线于点Ｆ．（１）求证：ＯＥ＝ＯＦ．（２）若ＣＥ＝１２，ＣＦ＝５，求ＯＣ的长．（３）连接ＡＥ，ＡＦ，当点Ｏ在边ＡＣ上运动到什么位置时，四边形ＡＥＣＦ是矩形？请说明理由．答案第1课时矩形及其性质１．（2）平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（３）矩有一个内角是９０度的平行四边形是矩形．２．Ｃ３．Ｂ４．８５．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ＝ＢＤ，∵ＣＥ∥ＤＢ，∴四边形ＤＣＥＢ是平行四边形，∴ＢＤ＝ＣＥ，∵ＡＣ＝ＢＤ，∴ＡＣ＝ＣＥ６．Ｃ７．４８．解析（１）证明：连接ＤＥ，如图，∵ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝９０°，∵Ｅ为ＡＢ的中点，∴ＤＥ＝ＡＥ＝ＢＥ，∵ＣＤ＝ＡＥ，∴ＤＥ＝ＣＤ，∵ＤＧ⊥ＥＣ，∴ＣＧ＝ＥＧ．（２）310９．Ｃ１０．Ｃ１１．６０°１２．（1）略（2）AB=10１３．解析（１）４５°．详解：由折叠的性质可知∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＥ，∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＥ＝４５°．（２）4（３）AB=(2－2)BC第2课时矩形的判定１．Ａ２．Ｂ３．Ｄ４．证明∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＢＤ＝２ＢＯ，∵ＡＦ＝ＣＥ，∴ＡＦ－ＡＯ＝ＣＥ－ＣＯ，即ＯＦ＝ＯＥ，又∵ＯＢ＝ＯＤ，∴四边形ＥＢＦＤ为平行四边形，又∵ＥＦ＝２ＢＯ，∴ＥＦ＝ＢＤ，∴四边形ＥＢＦＤ为矩形．5.解析（１）选择①，证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴四边形ＡＢＣＤ是矩形．选择②，证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴四边形ＡＢＣＤ是矩形．（２）∵ＡＢ＝３，ＡＣ＝５，∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＢＣ＝ＡＣ2∴矩形ＡＢＣＤ的面积＝ＡＢ·ＢＣ＝３×４＝１２．６．解析（１）证明：∵在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝９０°，∵ＣＥ∥ＡＤ，∴∠ＥＣＤ＝∠ＡＤＢ＝９０°，∵ＡＥ⊥ＡＤ，∴∠ＥＡＤ＝９０°，∴∠ＡＤＣ＝∠ＥＣＤ＝∠ＥＡＤ＝９０°，∴四边形ＡＤＣＥ是矩形．（２）∵在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，ＢＣ＝４，∴ＢＤ＝ＣＤ＝12∴ＡＥ＝ＣＤ＝２，∠ＡＥＣ＝９０°，∴在Ｒｔ△ＡＥＣ中，ＡＣ＝ＣＥ2+ＡＥ∵ＥＦ⊥ＡＣ，∴Ｓ△ＡＥＣ＝12ＡＣ·ＥＦ＝1∴ＥＦ＝ＡＥ·ＣＥＡＣ＝6７．Ｃ8.1259．解析（１）证明：∵Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，∴ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，∴ＤＥ∥ＢＣ，∵点Ｇ在ＤＥ的延长线上，∴ＤＧ∥ＦＣ，∵ＤＧ＝ＦＣ，∴四边形ＤＦＣＧ是平行四边形，∵ＤＦ⊥ＢＣ，∴∠ＤＦＣ＝９０°，∴平行四边形ＤＦＣＧ是矩形．（２）BC=8AC=21010．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ，∵Ｅ为线段ＣＤ的中点，∴ＤＥ＝ＣＥ，∴△ＡＤＥ≌△ＦＣＥ（ＡＡＳ），∴ＡＥ＝ＦＥ，∴四边形ＡＣＦＤ是平行四边形，∵∠ＡＣＦ＝