人教版八年级下学期数学第21章四边形第2节平行四边形及其性质知识点+练习题以及答案

第二十一章四边形第2节：平行四边形及其性质知识点（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2）平行四边形用“”表示，如图，平行四边形ABCD，记作ABCD(要注意字母顺序).（3）平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．（4）两条平行线之间的平行线段相等.（5）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离（6）平行四边形的对角线互相平分.（7）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．（8）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.（9）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.（10）过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.（11）面积公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=ah（其中S表示面积，a表示底，h表示高）.（注意要点：计算面积时，底和高要相对应.比如一个平行四边形有不同的底和高，在计算时要准确使用对应的一组底和高的值.）（12）平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.（13）平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（注意：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也肯能是等腰梯形）（14）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（15）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．（16）三角形的中位线与平行四边形的综合运用①.在复杂的几何图形中，先找出三角形的中位线，利用中位线的性质得到线段的平行关系和数量关系.再看这些关系是否满足平行四边形的判定条件.②.若已知平行四边形，可通过平行四边形的性质得到线段平行和相等的条件，进而找出潜在的三角形中位线，从而建立起两者之间的联系解决问题.练习题第1课时平行四边形的性质（1）１．如图所示，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ上的点，且ＤＥ∥ＡＣ，ＥＦ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＢＣ，则图中平行四边形共有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个２．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ∶∠Ｂ＝２∶１，则∠Ｄ的度数为（）Ａ．６０°Ｂ．１２０°Ｃ．９０°Ｄ．３０°３．如图，在平面直角坐标系中，▱ＯＡＢＣ的顶点Ｏ，Ａ，Ｃ的坐标分别是（０，０），（３，０），（１，２），则点Ｂ的坐标是（）Ａ．（２，４）Ｂ．（４，２）Ｃ．（５，３）Ｄ．（４，３）４．如图，点Ｅ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＣＤ的中点，连接ＡＥ并延长交ＢＣ的延长线于点Ｆ，ＡＤ＝５．求证：△ＡＤＥ≌△ＦＣＥ，并求ＢＦ的长．５．如图，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线交点是原点．若Ａ（－１，２），则点Ｃ的坐标是（）Ａ.（２，－１）Ｂ.（－２，１）Ｃ.（１，－２）Ｄ.（－１，－２）６．▱ＡＢＣＤ的周长为２０ｃｍ，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，若△ＢＯＣ的周长比△ＡＯＢ的周长大２ｃｍ，则ＣＤ＝ｃｍ．７．如图，在▱ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，ＢＤ⊥ＡＤ，若ＡＤ＝８，ＢＤ＝１２，则ＡＣ的长是．８．如图，在▱ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝１０８°，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，连接ＣＥ．若ＢＥ＝ＡＤ，则∠ＥＣＤ的度数为（）Ａ．１８°Ｂ．３０°Ｃ．３６°Ｄ．４２°９．如图所示，以▱ＡＢＣＤ的边ＡＢ为边向右作等边△ＡＢＥ，且ＡＤ＝ＡＥ，连接ＤＥ，ＣＥ，则∠ＣＥＤ的度数为（）Ａ．１５０°Ｂ．１４５°Ｃ．１３５°Ｄ．１２０°１０．如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＨ⊥ＢＤ于点Ｈ，ＡＢ＝２，ＢＣ＝２３，则ＡＨ的长为．１１．如图，在▱ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＢＣ的中点，且ＢＣ＝２ＡＢ＝４，当∠Ｂ＝６０°时，ＤＥ的长为．12．如图，在▱ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ的平分线交ＡＢ于点Ｅ，若ＡＤ＝２，则ＢＥ＝．13．如图，在▱ＡＢＣＤ中，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＡＤ于点Ｅ，ＣＦ平分∠ＢＣＤ交ＡＤ于点Ｆ．若ＡＢ＝６，ＡＤ＝１０，则ＥＦ的长为．14．如图，在▱ＡＢＣＤ中，ＤＦ平分∠ＡＤＣ，交ＢＣ于点Ｅ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ．（１）求证：ＡＤ＝ＡＦ．（２）若ＡＤ＝６，ＡＢ＝3，∠Ａ＝１２０°，求ＢＦ的长和△ＡＤＦ的面积．15．如图，点Ｏ是▱ＡＢＣＤ对角线的交点，过点Ｏ的直线分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ．（１）求证：△ＯＤＥ≌△ＯＢＦ．（２）当ＥＦ⊥ＢＤ时，ＤＥ＝１５ｃｍ，分别连接ＢＥ，ＤＦ，求此时四边形ＢＥＤＦ的周长．16．如图１，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，ＥＦ过点Ｏ且与边ＡＢ，ＣＤ分别相交于点Ｅ和点Ｆ．（１）求证：ＯＥ＝ＯＦ．（２）如图２，已知ＡＤ＝１，ＢＤ＝２，ＡＣ＝22，∠ＤＯＦ＝∠α．①当∠α为多少度时，ＥＦ⊥ＡＣ？②在①的条件下，连接ＡＦ，求△ＡＤＦ的周长．第2课时平行四边形的性质（2）１．如图，已知直线ｍ∥ｎ，则下列能表示直线ｍ，ｎ之间的距离的是（）Ａ．线段ＡＢ的长Ｂ．线段ＡＣ的长Ｃ．线段ＡＤ的长Ｄ．线段ＤＥ的长２．在同一平面内，已知ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，若直线ａ，ｂ之间的距离为７ｃｍ，直线ｂ，ｃ之间的距离为３ｃｍ，则直线ａ，ｃ之间的距离为（）Ａ．４ｃｍ或１０ｃｍＢ．４ｃｍＣ．１０ｃｍＤ．不确定３．如图，已知直线ａ∥ｂ，点Ａ，Ｂ，Ｃ在直线ａ上，点Ｄ，Ｅ，Ｆ在直线ｂ上，ＡＢ＝ＥＦ＝２，若△ＣＥＦ的面积为５，则△ＡＢＤ的面积为．4.如图所示的是某中学教学楼楼梯侧面图，楼梯扶手下的玻璃为平行四边形．小友同学用量角器量得∠Ｄ＝６０°，已知ＡＢ＝２.５ｍ，ＢＣ＝１.２ｍ，则这块玻璃的面积为m２．５．如图，已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ＝３，ＢＣ＝６，ＣＤ＝４．求ＡＢ的长．６．如图，在▱ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＯＥ⊥ＢＤ交ＡＤ于点Ｅ，连接ＢＥ，若△ＡＢＥ的周长为８，则▱ＡＢＣＤ的周长为（）Ａ．４Ｂ．８Ｃ．１６Ｄ．３２７．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，过点Ｏ的直线ＥＦ交ＡＤ于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ，Ｓ△ＡＯＥ＝３，Ｓ△ＢＯＦ＝７，则平行四边形ＡＢＣＤ的面积是．8．如图，已知在▱ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ分别是线段ＯＢ，ＯＤ的中点，连接ＡＥ，ＣＦ．（１）求证：ＡＥ＝ＣＦ．（２）若ＡＣ⊥ＣＤ，∠ＢＯＣ＝１３５°，ＢＣ＝5，求ＢＤ的长．９．如图，在▱ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝８０°，点Ｅ是ＣＤ边上一点，且ＢＤ平分∠ＡＢＥ，若∠ＣＢＥ＝２０°，ＢＥ＝ａ，ＥＣ＝ｂ，则▱ＡＢＣＤ的周长为（）Ａ．５ａ－ｂＢ．４ａ＋２ｂＣ．３ａ＋３ｂＤ．６ａ－３ｂ１０．如图，在▱ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＣ＝２，ＢＤ＝23，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，记ＢＥ的长为ｘ，ＢＣ的长为ｙ．当ｘ，ｙ的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）Ａ．ｘ＋ｙＢ．ｘ－ｙＣ．ｘｙＤ．ｘ２＋ｙ２１１．如图，四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，∠ＢＡＤ的平分线ＡＥ交ＣＤ于点Ｆ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ．（１）求证：ＢＥ＝ＣＤ．（２）连接ＢＦ，若ＢＦ⊥ＡＥ，∠ＢＡＥ＝６０°，ＡＢ＝４，求▱ＡＢＣＤ的面积．１２．如图，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，Ｅ是ＣＤ上的点，连接ＥＯ并延长，交ＡＢ于点Ｆ，连接ＢＥ，ＤＦ．（１）求证：ＢＥ∥ＦＤ．（２）若ＢＤ⊥ＢＣ，∠ＢＣＤ＝６０°，求ＢＯＡＤ１３．行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，直线ＥＦ过点Ｏ．（１）如图１，直线ＥＦ与ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｅ，Ｆ，求证：ＯＥ＝ＯＦ．（２）如图２，若直线ＥＦ分别与ＤＣ，ＢＡ的延长线相交于点Ｆ，Ｅ，则（１）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．２１．２．２平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定（1）１．如图，李华用钉子将四根木条钉成一个四边形框架ＡＢＣＤ，若ＡＢ＝ＣＤ＝５，ＡＤ＝７，要使这个框架是一个平行四边形，则ＢＣ的长为（）Ａ．５Ｂ．６Ｃ．７Ｄ．８２．下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．１∶２∶３∶４Ｂ．２∶３∶２∶３Ｃ．２∶３∶３∶２Ｄ．１∶２∶２∶３３．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝４９°，分别以点Ａ，Ｃ为圆心，ＢＣ，ＡＢ长为半径作弧，两弧相交于点Ｄ，连接ＡＤ，ＣＤ，则∠ＢＡＤ的度数为（）Ａ．１３９°Ｂ．１３１°Ｃ．１２９°Ｄ．１２１°４．如图，Ｅ是四边形ＡＢＣＤ的边ＢＣ延长线上的一点，且ＡＢ∥ＣＤ，则下列条件中不能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．∠Ｄ＝∠５Ｂ．∠３＝∠４Ｃ．∠１＝∠２Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｄ５．一个四边形的三个相邻内角的度数依次是１０８°，７２°，１０８°，那么这个四边形平行四边形（填“是”或“不是”）．６．综合实践课上，嘉嘉画出△ＡＢＤ，利用尺规作图找一点Ｃ，使得四边形ＡＢＣＤ为平行四边形．（１）～（３）是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ＡＢＣＤ为平行四边形的条件是（）Ａ．两组对边分别平行Ｂ．两组对边分别相等Ｃ．对角线互相平分Ｄ．两组对角分别相等７．如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，请补充一个条件：，使四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．８．如图，四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在线段ＯＡ，ＯＣ上，且ＯＢ＝ＯＤ，∠１＝∠２，ＡＥ＝ＣＦ．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．９．如图，平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ分别是对角线ＢＤ上的两点，给出下列四个条件：①ＢＥ＝ＤＦ；②ＤＥ＝ＢＦ；③∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ；④∠ＢＣＥ＝∠ＤＡＦ．其中能判定四边形ＡＥＣＦ是平行四边形的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４１０．如图，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，若ＡＣ＝３，ＢＤ＝５，则四边形ＯＣＥＤ的周长为（）Ａ．４Ｂ．６Ｃ．８Ｄ．１６11．如图，在▱ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＣ，Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ和ＡＤ上，ＥＦ∥ＡＢ，交ＡＣ于点Ｐ，若ＣＤ＝６，ＡＣ＝８，ＣＥ＝７，则ＡＦ的长为．１２．如图，在▱ＡＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ是对角线ＢＤ的三等分点．（１）求证：四边形ＡＭＣＮ是平行四边形．（２）若ＡＭ⊥ＢＤ，ＡＤ＝５，ＢＤ＝６，求平行四边形ＡＭＣＮ的周长．１3．如图，平行四边形ＡＢＣＤ在直角坐标系中，点Ｂ，Ｃ都在ｘ轴上，其中ＯＡ＝４，ＯＢ＝３，ＡＤ＝６，Ｅ是线段ＯＤ的中点．（１）求出Ｃ，Ｄ点的坐标．（２）平面内是否存在一点Ｎ，使以Ａ，Ｄ，Ｅ，Ｎ为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Ｎ的坐标；若不存在，请说明理由．第2课时平行四边形的判定（2）１．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ＝３２°．要使四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，添加的条件可以是（）Ａ．ＢＤ＝８Ｂ．∠ＣＢＤ＝３２°Ｃ．ＣＤ＝４Ｄ．ＡＤ＝６２．如图，下列条件中不能判定四边形ＡＢＣＤ为平行四边形的是（）Ａ．ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣＢ．ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣＣ．ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯＤ．ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣ３．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（）4.已知：如图，在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ和ＣＤ上的点，ＡＥ＝ＣＦ，Ｍ，Ｎ分别是ＤＥ和ＢＦ的中点．求证：（１）△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ．（２）四边形ＥＮＦＭ是平行四边形．５．尺规作图问题：如图１，点Ｅ是▱ＡＢＣＤ边ＡＤ上一点（不包含Ａ，Ｄ），连接ＣＥ．用尺规作ＡＦ∥ＣＥ，Ｆ是边ＢＣ上一点．小明：“如图２，以Ｃ为圆心，ＡＥ长为半径作弧，交ＢＣ于点Ｆ，连接ＡＦ，则ＡＦ∥ＣＥ．”小丽：“以点Ａ为圆心，ＣＥ长为半径作弧，交ＢＣ于点Ｆ，连接ＡＦ，则ＡＦ∥ＣＥ．”小明：“小丽，你的作法有问题．”小丽：“哦，我明白了！”（１）如图２，证明：ＡＦ∥ＣＥ．（２）指出小丽作法中存在的问题．６．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，点Ｅ在边ＡＢ上，．请从“①∠Ｂ＝∠ＡＥＤ；②ＡＥ＝ＢＥ，ＡＥ＝ＣＤ”这两组条件中任选一组∙∙∙∙作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（１）求证：四边形ＢＣＤＥ为平行四边形．（２）若ＡＤ⊥ＡＢ，ＡＤ＝８，ＢＣ＝１０，求线段ＡＥ的长．７．如图，Ｅ是▱ＡＢＣＤ边ＡＤ延长线上一点，连接ＢＥ，ＣＥ，ＢＤ，ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ．添加以下条件，不能判定四边形ＢＣＥＤ为平行四边形的是（）Ａ．ＢＤ∥ＣＥＢ．ＤＥ＝ＢＣＣ．∠ＡＥＣ＝∠ＣＢＤＤ．∠ＡＥＢ＝∠ＢＣＤ８．如图，Ｆ是▱ＡＢＣＤ的边ＣＤ上的点，Ｑ是ＢＦ的中点，连接ＣＱ并延长交ＡＢ于点Ｅ，连接ＡＦ与ＤＥ相交于点Ｐ，若Ｓ△ＡＰＤ＝４ｃｍ２，Ｓ▱ＡＢＣＤ＝６４ｃｍ２，则阴影部分的面积为（）Ａ．２８ｃｍ２Ｂ．２６ｃｍ２Ｃ．２４ｃｍ２Ｄ．２０ｃｍ２９．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，点Ｅ为ＡＤ上一点，连接ＢＥ，ＣＥ．若ＡＥ＝ＤＥ＝ＢＣ＝５，则ＢＥ２＋ＣＥ２＝．１０．如图，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＢＤ于点Ｆ，连接ＡＦ，ＣＥ，若ＤＥ＝ＢＦ，则下列结论：①ＣＦ＝ＡＥ；②ＯＥ＝ＯＦ；③四边形ＡＢＣＤ是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确的结论是（填序号）．１１．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝45ｃｍ，其中ＢＤ是ＡＣ边上的高．点Ｍ从点Ａ出发，沿ＡＣ方向匀速运动，速度为４ｃｍ/ｓ；同时点Ｐ由Ｂ点出发，沿ＢＡ方向匀速运动，速度为１ｃｍ/ｓ，过点Ｐ的直线ＰＱ∥ＡＣ，交ＢＣ于点Ｑ，连接ＰＭ，设运动时间为ｔ（ｓ）（０＜ｔ＜２．５），解答下列问题：（１）线段ＢＰ＝ｃｍ，ＡＭ＝ｃｍ（用含ｔ的代数式表示）．（２）求ＡＤ的长．（３）当ｔ为何值时，以Ｐ，Ｑ，Ｄ，Ｍ为顶点的四边形是平行四边形？12．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＢＧ平分∠ＡＢＣ，分别交ＡＤ，ＡＣ于点Ｅ，Ｇ，ＥＦ∥ＢＣ交ＡＣ于Ｆ，求证：ＡＥ＝ＣＦ．13.如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＞ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｃ．求证：∠Ａ＝∠Ｄ．14．如图，在等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，延长边ＡＢ到点Ｄ，延长边ＣＡ到点Ｅ，连接ＤＥ，恰有ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＥ＝ＤＥ．求∠ＢＡＣ的度数．15．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，延长ＡＢ到点Ｄ，使ＢＤ＝ＡＢ，点Ｅ是ＡＢ的中点，连接ＣＤ，ＣＥ．求证：ＣＤ＝２ＣＥ．16．如图，▱ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞ＡＤ，∠ＤＡＢ与∠ＡＤＣ的平分线交于点Ｅ，∠ＡＢＣ与∠ＢＣＤ的平分线交于点Ｆ，连接ＥＦ．求证：ＥＦ＝ＡＢ－ＢＣ．17．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线上一点，ＢＤ＝ＣＥ，连接ＤＥ．求证：ＤＥ＞ＢＣ．２１．２．３三角形的中位线１．如图，小张想估测被池塘隔开的Ａ，Ｂ两处景观之间的距离，他先在ＡＢ外取一点Ｃ，然后步测出ＡＣ，ＢＣ的中点Ｄ，Ｅ，并步测出ＤＥ的长约为１８ｍ，由此估测Ａ，Ｂ之间的距离为（）Ａ．１８ｍＢ．２４ｍＣ．３６ｍＤ．５４ｍ２．如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ各边的中点，∠Ａ＝７０°，则∠ＥＤＦ＝（）Ａ．２０°Ｂ．４０°Ｃ．７０°Ｄ．１１０°３．如图，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ是ＡＢ的中点，则下列结论一定成立的是（）Ａ．ＤＢ＝２ＥＯＢ．ＢＣ＝２ＥＯＣ．ＡＢ＝２ＥＯＤ．ＤＣ＝２ＥＯ４．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为１，△ＡＢＣ的三个顶点均在网格线的交点上，点Ｄ，Ｅ分别是边ＢＡ，ＣＡ与网格线的交点，连接ＤＥ，则ＤＥ的长为（）Ａ．12Ｂ．１Ｃ．2Ｄ．５．已知，如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝７ｃｍ，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＣ，ＢＣ的中点，连接ＤＥ，在ＤＥ上有一点Ｆ，ＥＦ＝２ｃｍ，连接ＡＦ，ＣＦ，若ＡＦ⊥ＣＦ，则ＡＢ＝ｃｍ．６．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｍ为边ＡＤ上一点，ＡＭ＝２ＤＭ，ＢＭ平分∠ＡＢＣ，点Ｅ，Ｆ分别是ＢＭ，ＣＭ的中点，若ＥＦ＝３ｃｍ，则ＡＢ的长为ｃｍ．７．如图，已知在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＢＤ．（１）请用无刻度直尺作△ＡＢＤ中与ＡＤ平行的中位线ＥＦ（保留作图痕迹，不要求写作法）．（２）在（１）的条件下，若ＥＦ＝５，求ＢＣ的长．８．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点，连接ＤＥ，延长ＢＣ到点Ｆ，使得ＣＦ＝12９．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ⊥ＢＤ，且ＡＣ＝３，ＢＤ＝４，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＣＤ的中点，则ＥＦ的长度是（）Ａ．72Ｂ．３Ｃ．52１０．如图，△ＡＢＣ中，ＢＣ＝５，ＡＣ＝３，ＣＥ平分∠ＡＣＤ，ＡＤ⊥ＣＥ于Ｅ，ＡＤ交ＢＣ于Ｄ，Ｆ为ＡＢ的中点，则ＥＦ＝．１１．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＡ＝ＢＣ＝５，ＡＣ＝６，点Ｄ，Ｅ分别是边ＡＣ，ＢＣ上的动点，分别取ＡＤ，ＤＥ的中点Ｍ，Ｎ，则ＭＮ的最小值是．12．如图，四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝33，ＡＤ＝３，点Ｍ，Ｎ分别为线段ＢＣ，ＡＢ上的动点（含端点，但点Ｍ不与点Ｂ重合），点Ｅ，Ｆ分别为ＤＭ，ＭＮ的中点，则ＥＦ的最大值为（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．４.５Ｄ．５13．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，分别与ＭＮ相交于点Ｆ，Ｅ，ＡＣ＝ＢＤ，Ｍ，Ｐ，Ｎ分别是边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的中点，Ｑ是ＭＮ的中点．求证：ＰＱ⊥ＭＮ．14．如图，四边形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝ＣＤ，点Ｅ，Ｆ分别为ＡＤ，ＢＣ的中点，延长ＢＡ，ＣＤ，分别交射线ＦＥ于Ｐ，Ｑ两点．求证：∠ＢＰＦ＝∠ＣＱＦ．15．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＡ＝ＢＣ，△ＢＥＦ为等腰直角三角形，∠ＢＥＦ＝９０°，Ｍ为ＡＦ的中点，连接ＭＥ，求证：ＭＥ＝1216．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＥ平分∠ＢＡＣ，ＢＥ⊥ＡＥ于点Ｅ，点Ｆ是ＢＣ的中点．（１）如图１，ＢＥ的延长线与ＡＣ边相交于点Ｄ，求证：ＥＦ＝12（２）如图２，写出线段ＡＢ，ＡＣ，ＥＦ的数量关系，并证明你的结论．17．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是边ＡＢ上一点，ＤＥ∥ＢＣ交ＡＣ于点Ｅ，连接ＢＥ，点Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为ＢＥ，ＤＥ，ＢＣ的中点．（１）求证：ＦＧ＝ＦＨ．（２）当∠Ａ为多少度时，ＦＧ⊥ＦＨ？并说明理由．18．如图１，ＢＤ，ＣＥ分别是△ＡＢＣ的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ，ＡＧ⊥ＣＥ，垂足分别为Ｆ，Ｇ，连接ＦＧ，延长ＡＦ，ＡＧ，与直线ＢＣ相交于Ｍ，Ｎ．（１）求证：ＦＧ＝12（２）如图２，ＢＤ，ＣＥ分别是△ＡＢＣ的内角平分线，如图３，ＢＤ为△ＡＢＣ的内角平分线，ＣＥ为△ＡＢＣ的外角平分线．在图２、图３两种情况下，线段ＦＧ与△ＡＢＣ的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．答案第1课时平行四边形的性质（1）１．Ｃ２．Ａ３．Ｂ４．解析证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ＝ＡＤ＝５，∴∠Ｄ＝∠ＦＣＥ，∵Ｅ是ＣＤ的中点，∴ＤＥ＝ＣＥ，在△ＡＤＥ和△ＦＣＥ中，∠Ｄ＝∠ＦＣＥ∴△ＡＤＥ≌△ＦＣＥ（ＡＳＡ），∴ＦＣ＝ＡＤ＝５，∴ＢＦ＝ＢＣ＋ＦＣ＝５＋５＝１０．５．Ｃ６．４７．２０８．Ｃ９．Ａ１０．23１１．2312．２13．２14．(1)略（2）BF=3△ＡＤＦ的面积=9315．(1)略（2）60cm16．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ∥ＣＤ．∴∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ．又∵∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ，∴△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）．∴ＯＥ＝ＯＦ．(2)①45°②1+5第2课时平行四边形的性质（2）１．Ｂ２．Ａ３．５４．33５．解析如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，垂足为Ｅ．∵ＡＥ，ＤＣ的长都是平行线ＡＤ，ＢＣ之间的距离，∴ＡＥ＝ＤＣ＝４．∵∠Ｃ＝９０°，ＡＥ⊥ＢＣ，∴ＡＥ∥ＤＣ，又∵ＡＤ∥ＢＣ，∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形，∴ＥＣ＝ＡＤ＝３．∴ＢＥ＝ＢＣ－ＥＣ＝６－３＝３，∴在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＢ＝ＡＥ2６．Ｃ７．４０8．解析（１）证明：在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＯ＝ＤＯ，ＡＯ＝ＣＯ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ．∵点Ｅ，Ｆ分别为ＯＢ，ＯＤ的中点，∴ＢＥ＝12ＢＯ，ＤＦ＝1∴ＢＥ＝ＤＦ．在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中，ＡＢ＝ＣＤ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ），∴ＡＥ＝ＣＦ．（２）22９．Ｂ１０．Ｃ１１．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∴∠ＤＡＥ＝∠Ｅ，∵ＡＥ平分∠ＢＡＤ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ，∴∠Ｅ＝∠ＢＡＥ，∴ＢＥ＝ＡＢ，∴ＢＥ＝ＣＤ．(2)由（１）得ＢＥ＝ＡＢ，∵∠ＢＡＥ＝６０°，∴△ＡＢＥ是等边三角形，∴ＡＥ＝ＡＢ＝４，∵ＢＦ⊥ＡＥ，∴ＡＦ＝ＥＦ＝２，∴ＢＦ＝ＡＢ2－ＡＦ2∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠Ｄ＝∠ＥＣＦ，在△ＡＤＦ和△ＥＣＦ中，∠Ｄ＝∠ＥＣＦ∴△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ（ＡＡＳ），∴Ｓ△ＡＤＦ＝Ｓ△ＥＣＦ，∴Ｓ平行四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＢＥ＝12ＡＥ·ＢＦ＝12×4×23＝4１２．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ，ＯＢ＝ＯＤ，∴∠ＯＢＦ＝∠ＯＤＥ，∠ＢＦＯ＝∠ＤＥＯ，∴△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ（ＡＡＳ），∴ＯＦ＝ＯＥ，又∵ＯＢ＝ＯＤ，∴四边形ＢＥＤＦ是平行四边形，∴ＢＥ∥ＦＤ．（2）∵ＢＤ⊥ＢＣ，∴∠ＣＢＤ＝９０°，∵∠ＢＣＤ＝６０°，∴∠ＢＤＣ＝９０°－６０°＝３０°，∴ＣＤ＝２ＢＣ，∴ＢＤ＝ＣＤ2－ＢＣ2∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＯＢ＝12ＢＤ＝3∴ＢＯＡＤ＝BOBC＝１３．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ，在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中，∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＳＡ），∴ＯＥ＝ＯＦ．（２）成立２１．２．２平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定（1）１．Ｃ２．Ｂ３．Ｂ４．Ｃ５．是６．Ｃ７．ＯＢ＝ＯＤ（答案不唯一）８．证明∵∠ＥＯＢ与∠ＦＯＤ是对顶角，∴∠ＥＯＢ＝∠ＦＯＤ，在△ＥＯＢ和△ＦＯＤ中，∠１＝∠２∴△ＥＯＢ≌△ＦＯＤ（ＡＳＡ），∴ＯＥ＝ＯＦ，∵ＡＥ＝ＣＦ，∴ＯＡ＝ＯＣ，∵ＯＢ＝ＯＤ，∴四边形ＡＢＣＤ为平行四边形．９．Ｃ１０．Ｃ11．３１２．解析（１）证明：如图，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∵Ｍ，Ｎ是对角线ＢＤ的三等分点，∴ＢＭ＝ＤＮ，∴ＯＢ－ＢＭ＝ＯＤ－ＤＮ，即ＯＭ＝ＯＮ，∴四边形ＡＭＣＮ是平行四边形．（２）6+21313．解析（１）∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＢＣ＝ＡＤ＝６，ＡＤ∥ＢＣ，∵点Ｂ，Ｃ都在ｘ轴上，点Ａ在ｙ轴上，ＯＡ＝４，∴Ｄ（６，４），∵ＯＢ＝３，∴ＯＣ＝ＢＣ－ＯＢ＝６－３＝３，∴Ｃ（３，０）．（２）存在，点Ｎ的坐标为（－３，２）或（９，２）或（３，６）．详解：由（１）得Ｄ（６，４），∵Ｅ是线段ＯＤ的中点，∴Ｅ（３，２），∵点Ａ在ｙ轴上，且ＯＡ＝４，∴Ａ（０，４），设Ｎ（ｘ，ｙ），分情况讨论如下：①当ＡＥ为对角线时，ｘ＋６2＝０＋３2，ｙ＋４2解得ｘ＝－３，ｙ＝２，∴Ｎ（－３，２）；②当ＤＥ为对角线时，ｘ＋０2＝６＋３2，ｙ＋４2解得ｘ＝９，ｙ＝２，∴Ｎ（９，２）；③当ＡＤ为对角线时，ｘ＋３2＝０＋６2，ｙ＋２2解得ｘ＝３，ｙ＝６，∴Ｎ（３，６）．综上所述，平面内存在一点Ｎ，使以Ａ，Ｄ，Ｅ，Ｎ为顶点的四边形是平行四边形，点Ｎ的坐标为（－３，２）或（９，２）或（３，６）．第2课时平行四边形的判定（2）１．Ｃ２．Ｄ３．Ｃ4.证明（１）∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ＝ＣＢ，∠Ａ＝∠Ｃ，在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，ＡＤ＝ＣＢ∴△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）．（２）略５．解析（１）证明：根据小明的作法知ＣＦ＝ＡＥ，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，又∵ＣＦ＝ＡＥ，∴四边形ＡＦＣＥ是平行四边形，∴ＡＦ∥ＣＥ．（２）以点Ａ为圆心，ＣＥ长为半径画弧，交ＢＣ于点Ｆ，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．故小丽的作法有问题．６．解析选择①或②．（１）若选择①，证明如下：∵∠Ｂ＝∠ＡＥＤ，∴ＢＣ∥ＤＥ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＢＣＤＥ为平行四边形．若选择②，证明如下：∵ＡＥ＝ＢＥ，ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＥ＝ＣＤ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＢＣＤＥ为平行四边形．（２）由（１）可知，四边形ＢＣＤＥ为平行四边形，∴ＤＥ＝ＢＣ＝１０，∵ＡＤ⊥ＡＢ，∴∠Ａ＝９０°，∴ＡＥ＝ＤＥ2－７．Ｄ８．Ａ９．２５１０．①②③１１．解析（１）ｔ；４ｔ．（２）设ＡＤ＝ｘｃｍ，则ＣＤ＝（１０－ｘ）ｃｍ，∵ＢＤ是ＡＣ边上的高，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ＝９０°，∴ＢＤ２＝ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＣ２－ＣＤ２，∴１０２－ｘ２＝（45）２－（１０－ｘ）２，解得ｘ＝６，∴ＡＤ＝６ｃｍ．（３）分两种情况：①当点Ｍ在线段ＡＤ上时，如图所示，∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ，∵ＰＱ∥ＡＣ，∴∠ＰＱＢ＝∠Ｃ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＰＱＢ，∴ＰＱ＝ＢＰ＝ｔｃｍ，由（２）得ＡＤ＝６ｃｍ，∴ＭＤ＝ＡＤ－ＡＭ＝（６－４ｔ）ｃｍ．∵ＰＱ∥ＭＤ，∴当ＰＱ＝ＭＤ，即ｔ＝６－４ｔ时，四边形ＰＱＤＭ是平行四边形，此时ｔ＝１.２；②当点Ｍ在线段ＣＤ上时，如图所示，易得ＰＱ＝ＢＰ＝ｔｃｍ，ＭＤ＝（４ｔ－６）ｃｍ．∵ＰＱ∥ＭＤ，∴当ＰＱ＝ＭＤ，即ｔ＝４ｔ－６时，四边形ＰＱＭＤ是平行四边形，此时ｔ＝２．综上所述，当ｔ＝１.２或ｔ＝２时，以Ｐ，Ｑ，Ｄ，Ｍ为顶点的四边形是平行四边形．略13.证明作ＤＥ∥ＡＢ交ＢＣ于Ｅ，如图所示，则∠Ｂ＝∠ＤＥＣ，∵∠Ｂ＝∠Ｃ，∴∠ＤＥＣ＝∠Ｃ，∴ＤＥ＝ＤＣ，∵ＡＢ＝ＣＤ，∴ＡＢ＝ＤＥ，∴四边形ＡＢＥＤ是平行四边形，∴∠Ａ＝∠ＢＥＤ，ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＣ．∵∠ＢＥＤ＝∠Ｃ＋∠ＥＤＣ，∴∠Ａ＝∠ＡＤＥ＋∠ＥＤＣ＝∠ＡＤＣ．14．100°15．略16．略17．证明如图，过点Ｄ作ＤＦ∥ＢＣ，且ＤＦ＝ＢＣ，连接ＥＦ，ＣＤ，ＣＦ，∴四边形ＤＢＣＦ是平行四边形，∴ＢＤ＝ＣＦ，∠Ｂ＝∠ＤＦＣ，∵ＢＤ＝ＣＥ，∴ＣＥ＝ＣＦ，∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ．∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＣ，∵∠ＡＣ