振动力学-非线性振动课件 第21章 改进的摄动法

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

第

5篇强非线性振动

本篇讨论强非线性振动,共分5章。第21章~第24章介绍强非线性振动的定量分析方法。第25章介绍非线性振动的定性分析方法。

第21章讨论改进的摄动法。传统的摄动法是以线性派生的解作摄动法的零阶解,用三角函数(圆函数)表示,以小参数ε

的高阶摄动解也是三角函数表示的。这些圆函数来表示解的方法可以统称为圆函数摄动法。

第22章讨论能量法。能量法的基本思想是如果物体的运动是周期运动,则在每一个周期的时间长度中对物体的能量进行平均,所得的平均能量应为一个不变的常数。

第23章讨论同伦分析方法。同伦分析方法是通过构造同伦方程将已知解的方程与未知解的方程作为桥梁连接起来,逐步求解强非线性问题近似解析解的一般方法。该方法从根本上克服了摄动理论对小参数的过分依赖,其有效性与所研究的非线性问题是否含有小参数无关,适用范围广。本章简要描述同伦分析方法的基本思想及其在非线性振动的应用举例。

第24章讨论谐波-能量平衡法。这种方法将谐波平衡与能量平衡有机结合起来,把微分方程和初始条件同时处理。用谐波平衡,将描述动力系统的二阶常微分方程化为以角频率、振幅为变量的非线性代数方程组,考虑能量平衡,构成角频率、振幅为变量的封闭方程组求得解析解。谐波-能量平衡法将谐波平衡与能量平衡相结合,克服了二者的缺点,吸取了二者的优点。实例表明,谐波-能量平衡法方法简单,取较少谐波就可以达到较高的精度。

第25章讨论三维连续-时间动力系统的奇点与分岔。第5章和第15章讨论了一维、二维连续-时间系统的奇点与分岔。本章对三维线性自治系统的奇点进行分类,讨论了双曲极限环和极限环的分岔问题。

第21章改进的摄动法

21本章给出了几种改进摄动方法适用于ε不是小参数的强非线性振动情形,包括人工参数展开法、改进的

L-P

法、椭圆函数摄动方法、广义谐波函数多尺度法、增量谐波平衡法(IHB法)。21.1人工参数展开法单自由度强迫Duffing振动系统的标准形式是：通过时间坐标变换，简化成标准型马蒂厄方程式中,α可取0,1或-1;β

可取1或-1。当α=0,β=1时,称为日本型的,C.Hayashi等人研究较多,其工程背景是电子电路的非线性振荡。当α=-1,β=1时,由P.Holmes研究磁弹性梁的振动时得到。当α=1,β=1时称为硬弹簧型。当α=1,β=-1时,称为软弹簧型。对于形如的弱非线性自治系统,以及形如的弱非线性非自治系统,目前已有多种有效的近似解法。对渐软恢复力型强非线性Duffing方程假定它具有下述初始条件:其标准型是用人工参数展开摄动法求解,将ω0与ε及函数x按我们引入的人工参数μ展开,设初始条件变为式中x1(t)为时间t的函数。将式(21.1.6)代入式(21.1.4),按照小参数展开程序,可以得到一系列渐近方程:通过这一系列方程可以确定未知函数x1(t)。从式(21.1.9)可以得到将式(21.1.12)代入式(21.1.10)得将式(21.1.12)和式(21.1.15)代入式(21.1.11)得到将式(21.1.12)代入式(21.1.10)得于是得到消去长期项的条件为则x2为将式(21.1.14)和式(21.1.17)代入式(21.1.6),得到由式(21.1.19)、式(21.1.20)和式(21.1.21),解得假定方程式(21.1.4)具有初始条件式(21.1.5)的二次渐近解为将ω0=1,ε=1代入式(21.1.22),得到标准型Duffing

方程的幅频关系为采用L-P

法得到的二阶近似幅频关系为采用L-P

法得到的一阶近似幅频关系为方程式(21.1.4)的哈密顿量为以H=H(k)为参数的周期轨道为(

0<H<¼)可以看出,采用人工参数展开法求得的近似解与精确解比较接近。图21.1.1给出了渐软恢复力型Duffing方程的骨干线———ω-A

图。显然用人工参数展开法求得的近似解曲线与精确解骨干曲线基本吻合。一阶近似解和二阶近似解,仅仅适合ε<<1时的弱非线性情况。其周期为(精确解)其中表21.1.1给出了渐软恢复力型

Duffing方程自由振动振幅与周期的关系,其中H为哈密顿量,k为椭圆积分参数,A

为振幅,T0为精确解的周期,T1为用L-P法一阶近似得到的周期,T2为用

L-P法二阶近似得到的周期,T3为用人工参数展开摄动法求得的周期。21.2改进的L-P方法对渐硬恢复力型Duffing

方程假设式(21.2.1)和式(21.2.2)的角频率为ω,引入变量则式(21.2.1)变成引入一个新参数则其标准型是令那么假设初始条件:则将式(21.2.11)代入式(21.2.10)得到一系列渐近方程为将式(21.2.7)和式(21.2.9)代入式(21.2.4)得到将x

展开为μ的级数为初始条件为求解式(21.2.12)~(21.2.16)得所以新参数方程式(21.2.1)和式(21.2.2)的5次渐近解为其中方程式(21.2.1)的哈密顿量为其中用

L-P得到的一阶近似幅频关系为将代入式(21.2.19)得到标准Duffing方程的近似频幅关系,即骨干线为用

L-P得到的二阶近似幅频关系为方程式(21.2.1)的精确解为其中图21.2.1给出了渐硬恢复力型Duffing方程的骨干线ω-A图,显然改进的近似解曲线与精确解骨干线基本吻合。表21.2.1给出了渐硬恢复力型Duffing

方程自由振动振幅与周期关系,其中H

为哈密顿量,k

为椭圆积分参数,A

为振幅,T0为精确解的周期,T1为用L-P法一阶近似得到的周期,T2为用L-P法二附上近似得到的周期,T3为用改进的L-P方法求得的周期。可以看出,改进的L-P方法求得的近似解与精确解比较接近。21.3椭圆函数摄动法其解以雅可比椭圆函数表示为对系统当ε≠0时,假设方程式(21.3.1)的解仍然为式(21.3.3)的形式,但A,ϕ不是常数,而是t的函数,即假定当ε=0时,方程式(21.3.1)的派生方程为式中，为常数；cn

是椭圆函数

cn(ψ,k)的简写,则仍保留式(21.3.4),即要求式(21.3.5)对t二次求导,并与式(21.3.4)一起代入式(21.3.1),注意到求解式(21.3.6)和式(21.3.8),可得可得考虑到

A和

ϕ的变化很缓慢,可在椭圆函数周期4K

时间内取平均值。其中采用了积分公式21.4广义谐波函数多尺度法式中,ξ+

b=

α>0,-ξ+

b=

β<0。考虑一般的强非线性拟保守系统引入两个变量ξ

和η，它们满足式(21.4.1)派生方程的解，即其中当ε≠0时,假设方程式(21.4.1)的解具有一般的形式把式(21.4.8)代入式(21.4.1)并令式子两边ε的同次幂的系数相等,整理得如下各阶摄动方程:对于ε0

阶,式(21.4.13)的解为对于ε1

阶,将式(21.4.14)两边同乘以∂x0/∂η得到积分得其中取上式积分限η=2π,求得对于ε2

阶,将式(21.4.15)两边乘以∂x0/∂η，类似于上面的求解过程,可以求出从而可从式(21.4.19)计算出S1(ξ，η)。式(21.4.1)的一次近似解可以表示为其中而其二次近似解可以表示为可以看出,本节所述的方法其实就是多尺度法中的两变量展开法的推广。由于该法也是采用广义谐波函数作为摄动过程的基本函数,我们称其为广义谐波函数多尺度法,方法的提出者徐兆称其为非线性多尺度法,是推广的多尺度法。诚然,普通的多尺度法只适用于弱非线性系统,而广义谐波函数多尺度法则可用于强非线性系统。21.5增量谐波平衡法以Duffing方程为例,说明IHB法的求解过程令则式(21.5.1)成为把式(21.5.4)代入式(21.5.3),并略去高阶小量后可得到以Δx,ΔΩ为未知量的增量方程其中

IHB法把增量法和谐波平衡法有机地结合起来,所以IHB

法的第一步是增量。假设x0

、ω0是式(21.5.1)的解,则其邻近点表示为式中,R为不平衡力。假设x0

、Ω0