振动力学-非线性振动课件 第24章 谐波能量平衡法

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

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第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

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第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

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第5篇强非线性振动

本篇讨论强非线性振动,共分5章。

第21章~第24章介绍强非线性振动的定量分析方法。

第25章介绍非线性振动的定性分析方法。

第21章讨论改进的摄动法。

传统的摄动法是以线性派生方程

的解作摄动法的零阶解,用三角函数(圆函数)表示,以小参数ε

的高阶摄动解也是三角函数表示的。

这些圆函数来表示解的方法可以统称为圆函数摄动法。

强非线性振动在以下方面改进摄动法:

(1)当

ε

为大参数时,我们可以构造一个小参数μ,经过时间或频率变换,将大参数ε展开成小参数

μ

的幂级数,仍可使用传统的摄动法求解,称为人工参数展开法。

这类方法有改进的

L-P

法、改进的多尺度法、改进的KBM

法和推广的平均法(K-B

法)等。

(2)

选择有解析解的非线性振动方程作为派生方程,采用广义谐波函数作摄动法的零阶解,仍然以小参数ε进行摄动。

这类方法有椭圆函数摄动法、广义谐波函数摄动法。

(3)其他方法还有增量谐波平衡法(IHB法),摄动增量法。

第

22章讨论能量法。

能量法的基本思想是如果物体的运动是周期运动,则在每一个周期的时间长度中对物体的能量进行平均,所得的平均能量应为一个不变的常数。

此外,如果上述周期运动为渐近稳定,则位于该周期运动领域内的其他一切运动,在与上述周期同样的时间长度中所求得的平均能量,最终将趋于该周期运动的平均能量,并且以此平均能量为其极限。

第

23章讨论同伦分析方法。

同伦分析方法是通过构造同伦方程将已知解的方程与未知解的方程作为桥梁连接起来,逐步求解强非线性问题近似解析解的一般方法。

该方法从根本上克服了摄动理论对小参数的过分依赖,其有效性与所研究的非线性问题是否含有小参数无关,因此,适用范围广。

同伦分析方法(HAM)为非线性问题的解析近似求解提供了一个全新的思路,为非线性问题(特别是不含小参数的强非线性问题)的求解开辟了一个全新的途径。

本章简要描述同伦分析方法的基本思想及其在非线性振动的应用举例。

第

24

章讨论谐波-能量平衡法。

李银山等提出了求解一类强非线性动力系统的谐波-能量平衡法,这种方法将谐波平衡与能量平衡有机结合起来,把微分方程和初始条件同时处理。

用谐波平衡,将描述动力系统的二阶常微分方程化为以角频率、振幅为变量的非线性代数方程组,考虑能量平衡,构成角频率、振幅为变量的封闭方程组求得解析解。

谐波-能量平衡法将谐波平衡与能量平衡相结合,克服了二者的缺点,吸取了二者的优点。

实例表明,谐波-能量平衡法方法简单,取较少谐波就可以达到较高的精度。

第

25

章讨论三维连续-时间动力系统的奇点与分岔。

第

5

章和第

15章讨论了一维、二维连续-时间系统的奇点与分岔。

本章对三维线性自治系统的奇点进行分类,讨论了双曲极限环和极限环的分岔问题。仅供内部使用FOR

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第24章谐波-能量平衡法

24

本章介绍一种求解强非线性振动的创新方法:谐波-能量平衡法。

首先介绍谐波-能量平衡法的基本思想和求解步骤,然后分别介绍对称强非线性振动的谐波-能量平衡法、非对称强非线性振动的谐波-能量平衡法和多自由度强非线性系统的谐波-能量平衡法。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY24.1谐波-能量平衡法24.1.1里茨-伽辽金法

里茨-伽辽金法广泛应用于弹性系统的边值问题和非线性振动问题。

它不仅适用于弱非线性系统,还适用于强非线性系统。

里茨-伽辽法是一种变分方法。

它的基本思想是:选取一组满足一定条件(如边界条件或周期性条件等)线性独立的已知函数,将它们的线性组合作为微分方程式的近似解,然后确定最佳系数。

确定最佳系数的方法很多,可以寻找系统的泛函,根据泛函极小值原理(称为里茨法),或已知系统的运动微分方程,根据哈密顿(Hamilton)变分原理,或虚位移原理(称为伽辽金法),使对微分方程式的求解转化为关于待定系数的代数方程组的求解。

求得了这些系数,就求出了微分方程式的解。

以下用虚位移原理说明方法的使用步骤。

设系统的运动微分方程为

对这M

个方程积分,得到关于

ai

的代数方程组,解该方程组,即可求得ai(i=1,2,…,M),也就求出了方程的近似解x(t)。

24.1.2

谐波平衡法

谐波平衡法是一种应用非常广泛的方法。

设振动微分方程为

求解的基本思路是:将式(24.1.7)的解和函数f(x,x)展开成傅立叶级数

其中傅立叶系数为

其中n=1,2,…,由式(24.1.10)求出c0

、cn

、dn,并将式(24.1.8)、式(24.1.9)代入式(24.1.7),按同阶谐波进行整理后,令

cosnωt、sinnωt

的系数等于零,得到关于

a0、an

、bn(n=1,2,…)的代数方程组,解此代数方程组,求得a0

、an

、bn,就求得了方程式(24.1.7)的解式(24.1.8)。

以前的各种摄动法,都是把解按量级x1,x2,…,展开的,而谐波平衡法是按谐波展开的,其解的精度取决于谐波的数目,若谐波的数目取得少,精度就不高,若谐波的数目取得太多,计算又麻烦。

因此,要想得到足够精度的近似解,就必须或者选足够多的项,或者预先知道解中所包含的谐波成分,并检查被忽略的谐波系数的量级,否则得不到足够精度的近似解。

谐波平衡法不仅适用于弱非线性问题,也适用于强非线性问题,如图24.1.1

所示的诸系统等。

24.1.3

谐波-能量平衡法

在传统的非线性振动研究中,周期解的定性分析与定量分析是相分离的。C-L

方法(陈予恕和LangfordW.F.1988)把两者统一在了一起。C-L

方法建立了周期解的拓扑结构和系统参数之间的关系,把经典的非线性振动理论发展到可求整个参数空间中的周期解,统一了世界文献中对非线性参数系统似乎矛盾的结果。

传统的周期解摄动法是在线性振动周期解的基础上摄动的,控制微分方程的摄动与初始条件是相分离的。

因此,传统的摄动法对许多具有周期解的问题无法求解。

具有周期解但采用传统的摄动法无法求解的情况有以下四类:(1)强非线性振动,如

因为传统摄动法需要找到一个小参数

0<ε<<1。(2)不具有线性项振动周期解的方程,如

因为传统摄动法在线性振动周期解的基础上摄动。(3)具有多周期解的方程,如

因为传统摄动法只能求解一个周期解。(4)具有非对称周期解的方程,如

因为传统摄动法在线性振动周期解的基础上摄动,只能得到对称周期解。

对于一般的强非线性系统,由于情况复杂,目前还缺乏像弱非线系统那样一整套通用的近似求解方法。

近40

多年来,这一问题引起了不少学者的关注,并对此开展了一系列的研究工作。

例如,S.E.Jones于

1978

年研究了参数变换法,于1982

年研究了时间变换法;T.D.Burton于

1986

年研究了改进的多尺度法;Y.E.Cheung于1991

年研究了改进L-P

法;M.N.Hamdan

于1990年研究了改进的等效线性化法;S.S.Qiu

于

1990

年研究了改进的谐波平衡法;F.H.Ling于1987

年研究了快速

Galerkin法;S.B.Yuste于1991年研究了带椭圆函数的谐波平衡法;LiLi

于

1990

年研究了频闪法;Y.K.Cheung于

1990

年研究了增量谐波平衡法;Chan于1995

年研究了摄动增量法;吴伯生于

2004

年研究了拆分技术;等。

因为传统摄动法在线性振动周期解的基础上摄动,只能得到对称周期解。对于一般的强非线性系统,由于情况复杂,目前还缺乏像弱非线系统那样一整套通用的近似求解方法。

近

40

多年来,这一问题引起了不少学者的关注,并对此开展了一系列的研究工作。

例如,S.E.Jones于

1978年研究了参数变换法,于

1982

年研究了时间变换法;T.D.Burton于

1986

年研究了改进的多尺度法;Y.E.Cheung于

1991

年研究了改进

L-P

法;M.N.Hamdan于

1990

年研究了改进的等效线性化法;S.S.Qiu

于

1990

年研究了改进的谐波平衡法;F.H.Ling

于

1987

年研究了快速

Galerkin

法;S.B.Yuste于

1991年研究了带椭圆函数的谐波平衡法;LiLi

于

1990

年研究了频闪法;Y.K.Cheung于

1990

年研究了增量谐波平衡法;Chan

于

1995

年研究了摄动增量法;吴伯生于

2004年研究了拆分技术;等。

李银山提出的谐波-能量平衡法(Harmonicenergybalancemethod,HEB),其基本思想是把一个非线性微分方程组的解,用两项谐波的组合来解析逼近。

首先,采用谐波平衡法,得到以振幅、角频率为未知数的不完备非线性代数方程组(未知数减去方程数等于一);其次,利用能量守恒原理,对初始条件进行变换,把用位移和速度表示的初始条件变换成振幅,角频率之间的协调方程(增加了一个补充方程),从而构成了关于振幅,角频率为未知数的完备非线性代数方程组;最后,对这个非线性代数方程组进行求解,就可以得到振幅和角频率。

24.2

对称强非线性系统的谐波-能量平衡法

研究形如

的振动系统。

其中,f(x)为其变量的非线性奇函数。

初始条件为24.2.1

单项谐波-能量平衡法

(1)单项谐波平衡。

强非线性自由振动微分方程式(24.2.1a),可用一个等效的线性微分方程来代替。

假设其解为令ψ=ωt,用

Ritz-Galerkin

平均法:(2)能量平衡(初值变换)。

变换初始条件式(24.2.1b),增加补充方程:

确定振幅和角频率:由式(23.2.4)联立求解可得

ω、a1

。24.2.2

两项谐波-能量平衡法(1)两项谐波平衡。

假设动力系统式(24.2.1a)的解为令

ψ=ωt,用Ritz-Galerkin

平均法得到:即两项谐波平衡解幅-频关系。(2)能量平衡(初值变换)。

变换初始条件式(24.2.1b),增加补充方程确定振幅和角频率:由式(24.2.6)联立可解得

ω、a1、a3。

24.3非对称强非线性系统的谐波-能量平衡法

考察方程为存在周期解的动力系统。

其中,F(x)是其变量

x

的任意非线性函数。

初始条件为

首先对方程式(24.3.1a)进行奇异性分析,判断是否有周期解,判断是对称周期解,还是非对称周期解,然后根据周期解的类型分别进行求解。

求解对称周期解按本章

24.2

的方法,求解非对称周期解按以下方法。

24.3.1单项谐波-能量平衡法(1)单项谐波平衡。

设动力系统式(23.3.1a)的非对称周期解为式中,a0

为偏心距;a1

为第一谐波振幅;ω

为角频率。令

ψ=ωt用

Ritz-Galerkin

平均法得到即单项谐波平衡解偏-幅-频关系。(2)能量平衡(初值变换)。

变换初始条件式(24.3.1b)增加补充方程

式中,e

为中心坐标。

确定振幅、角频率和偏心距:由式(24.3.3)联立可解得角频率

ω、偏心距a0

、振幅

a1

。24.3.2两项谐波-能量平衡法(1)两项谐波平衡。

设动力系统式(24.3.1a)的非对称周期解为

式中,a2

为第二谐波振幅。

令

ψ=ωt用

Ritz-Galerkin

平均法得到可得到两项谐波平衡解偏-幅-频关系。(2)能量平衡(初值变换)。

变换初始条件式(23.3.1a),增加补充方程

确定振幅、角频率和偏心距:由方程组式(23.3.5)联立可解得角频率

ω、偏心距

a0

、第一阶振幅

a1

、第二阶振幅

a2

。24.4多自由度强非线性系统的谐波-能量平衡法

我们考察一个耦合非线性弹簧-质量系统如图24.4.1

所示。

这个系统的运动为初始条件为为方便讨论,设初始条件为(A0>0)24.4.1单项谐波-能量平衡法

我们假设存在

模态1:

模态2:

考虑到叠加原理,设方程组式(24.4.1)的解为

考虑到振型的正交性,由方程组式(24.4.1)得到,幅-频关系

变换初始条件增加补充方程

联列解方程组式(24.4.6),可以得到角频率

ω1

和ω2,振幅

a1

和

a2,主型r1

和r2

。24.4.2两项谐波-能量平衡法

我们假设存在

模态1:

模态2:

考虑到叠加原理,设方程组式(24.4.1)的周期解形式为

考虑到振型的正交性,由方程式(24.4.1)得到,幅-频关系

联列解方程组式(24.4.9),可以得到角频率

ω1和

ω2,振幅

a1

和a2,副振幅

a3

和

a4,主振型r1

和r2,副振型

r3和r4

。

其中,r1=a2(1)/a1(1),r2=a2(2)/a1(2),r3=a4(1)/a3(1),r4=a4(2)/a3(2)。

结论:(1)谐波-能量平衡法方法简单,谐波数少。

不仅能够得到单自由度强非线性振动的解析逼近解,而且能够得到多自由度强非线性振动的解析逼近解。

(2)谐波-能量平衡法不仅能够得到对称强非线性振动的解析逼近解,而且能够得到非对称强非线性振动的解析逼近解。(3)对于强非线性非对称振动问题本文引入了偏心距的概念,从文中求解结果可以看出,中心坐标e

与偏心距

a0

的本质差别。

在实际工程问题中,偏心距与振幅同样重要,必须予以重视。24.5单摆

谐波-能量平衡法其关键是,采用谐波平衡加能量平衡构成封闭的非线性代数方程组,利用Maple进行求解。

前面介绍了采用谐波-能量平衡法对对称强非线性动力系统的求解方法。

本节应用谐波-能量平衡法对强非线性单摆方程求解,并与

KBM

法进行了比较。

24.5.1单摆振动问题分类

单摆也称为数学摆,其运动方程为

初始条件为其中,固有角频率和周期若将f(θ)=ω20sinθ,在

θ=0

处展成麦克劳林级数,则方程式(24.5.1)可化为

若将

f(acosψ)=ω20sin(acosψ),在[-π,π]上展成傅立叶级数,则方程式(24.5.1)可化为

式中,Jk(a)为贝塞尔函数。

当角位移

θ

很小时(工程上一般要求

θ<10°),取一项近似方程式(23.5.4)简化为

这是线性振动方程。

方程式(24.5.6)的解为其中振动周期为当角位移

θ

较小时(工程上一般要求

θ<57°),取两项近似,方程式(24.5.4)可化为

这是弱非线性振动方程(一般要求0<ε<<1,这里

ε=1/6),即著名的软弹簧Duffing方程。

当角位移θ较大时(θ

<180°),取方程式(24.5.5)的前两项

这是不需要考虑小参数的振动方程,称为强非线性振动方程。KBM法第一次近似解

幅-频关系KBM法第二次近似解

幅-频关系

通常的振动问题按近似程度不同的工程要求可以分为线性振动方程、弱非线性振动方程和强非线性振动方程。

图

24.5.1

为单摆运动的分类,它有四种轨线。

因此,非线性单摆系统式(24.5.1)是一个保守系统或哈密顿系统。

qn=nπ是系统的平衡点(n

为整数)。

当

n

为偶数时,qn

为椭圆形不动点坐标;当

n

为奇数时,qn

为双曲形不动点坐标。

从实际情况看,这样的平衡位置只有两个:一个是(0,0),中心点,若给它以微小的位移,单摆作周期振荡,平衡位置是稳定的,它是单摆下垂,摆球位于下方的位置;另一个是(±

π,0),鞍点,若给它以微小的位移,单摆不再在平衡位置附近振荡,而是旋转起来,平衡位置是不稳定的,这是单摆摆球位于最上方的位置。

图

24.5.2为单摆运动的相图。

当能量值低于势垒峰值(0≤h<2ω20)时,相轨道对应于捕获粒子,是在势阱中的周期振荡,相应于天平动。

当能量值高于势垒峰值(h>2ω20)时,相轨道对应于非捕获粒子,作无界的周期运动,相应于转动。

以上两种情况都属于周期运动。当能量值恰等于位势峰值(h=2ω20

)时,相轨道通过双曲形不动点的分界线(或称界轨)。

两支界轨包围的区域如同一串无穷长珍珠项链。

项链中的元胞由捕获轨道构成,非捕获轨道则分布在项链的外侧两边。

因为沿界轨的运动须经无限长时间才能到达或离开双曲形不动点,所以界轨上的运动不是周期运动。

它是介于天平动和转动之间的临界运动。24.5.3捕获轨道、非捕获轨道和界轨的解

为了给出单摆方程式(24.5.1)一般相轨道的运动解,引进能量参数

显然,k<1对应于捕获轨道,k>1对应于非捕获轨道,k=1对应于界轨。(1)当

0≤h<2ω20(0≤k<1)时,捕获轨道。

中心在(0,0),这是单摆振动的情况,设

a

是振幅,这时

而作用

I

的计算公式为

其中

引入变量

α

来代替

q

式(24.5.17)可以改写成

其中,K(k)、E(k)分别为第一类和第二类完全椭圆积分。

等式(24.5.20)确定了k

的函数

I。

将式(24.5.20)两边对

k

微分得

可见∂I/∂k≠0,因此根据隐函数定理,等式(24.5.21)对k可解,并且函数

k

对

I

的导数为

显然,哈密顿函数H

只依赖于I,由式(24.5.15)和式(24.5.20)确定,得到

其中,k=k(I)是

I=I(k)的反函数,由式(24.5.20)确定。

由式(24.5.22)和式(24.5.23)求得单摆振动角频率

单摆振动的周期

正则变换

q,p→ψ,I的母函数,在变量替换式(24.5.20)下为

其中,F(α,k)、E(α,k)分别为第一类和第二类椭圆积分,α

由式(24.5.19)确定,而k=k(I)由式(24.5.20)确定。

角变量为

由式(24.5.19)得

由式(24.5.26)得

考虑到式(24.5.24)和式(24.5.29),由式(24.5.27)得

由式(24.5.18)、式(24.5.19)和式(24.5.30)可得单摆振动情况下引入作用-角变量的正则变换

其中,sn(),cn()分别为

Jacobi椭圆正弦函数和余弦函数,且方程式(24.5.1)的精确周期解为

将式(24.5.25)与线性单摆运动的周期式(24.5.3)比较有

将精确解式(24.5.32)的右端[冯·卡门(KarmanTV,1881—1963)]展开成

Fourier级数,可得

其中

(2)当

H>2ω20

时,非捕获轨道。这是单摆旋转的情况,方程式(24.5.1)的精确解为

单摆旋转的周期

(3)当H=2ω20

时,界轨。

这是单摆的同宿轨道。

方程式(24.5.1)的精确解为

24.5.4

谐波-能量平衡法

考察方程式(24.5.9),设两项谐波解为

令ψ=ωt用Ritz

平均法:(1)单项谐波解幅-频关系为

初始条件的约束方程为

由式(24.5.41)联立可解得

ω,a1。

(2)两项谐波解幅-频关系

初始条件的约束方程为

由式(24.5.42)联立可解得ω,a1,a3

。关于初始条件的处理:当θ0=0时,a=θ0;当θ0≠0

时,需要迭代求解,初值取a(0)=求得

第一次迭代取a(1)=a(1)1+a(1)3,依次类推,当

a(n+1)-a(n)<Δ时结束,其中

Δ

给定误差值。

谐波-能量平衡法引入了初始条件约束方程,仅用两项谐波就可得到较高的精度,克服了传统的谐波平衡法需要取比较多的谐波数量才能得到较高精度的缺点。

谐波-能量平衡法考虑了非线性等效特征,克服了传统的等效线性化方法精度较差的缺点。

24.6

相对论修正方程

本节对相对论修正轨道方程进行了分岔分析,采用谐波能量法求解相对论修正轨道方程的6

种非对称周期解。

一行星围绕太阳运行之轨道方程为带有参数c0、c2的二次非线性哈密顿系统:

其中,c2x2

是相对论修正项,不妨取

ω0=1。

其初始条件为24.6.1

周期解存在性和对称性分岔分析

方程式(24.6.1a)有两个平衡点:

哈密顿函数

势能函数

若两个平衡点中有一个是中心

x#=e,令

x=y+e,代入式(24.6.5),并令关于

y

的偶次项系数等于零,得到

产生分岔满足的条件是式(24.6.5)~式(24.6.8)。

其中,式(24.6.5)是平衡条件;式(24.6.6)是稳定性条件;式(24.6.7)和式(24.6.8)是对称性条件。

(1)如图

24.6.1

所示势能曲线,方程式(24.6.1a)无周期解的有以下4

种情况:

①c0=1/（4c2）

，c2>0。②c0=1/（4c2）

，c2<0。③c0>1/（4c2）

，c2>0。④c0<1/（4c2）

，c2<0。(2)如图24.6.2所示，势能曲线,方程式(24.6.1a)具有对称周期解的有以下3种情况:

①c0=0,c2=0,e=0。②c0>0,c2=0,e=-c0

。③c0<0,c2=0,e=-c0。

此时对应线性振动。

(3)如图24.6.3所示，势能曲线,方程式(24.6.1a)具有非对称周期解的有以下6种情况:

①c0=0,c2>0,e=0。②c0=0,c2<0,e=0。③0<c0<1/（4c2），

c2>0,e=x∗1

。

④1/