振动力学-非线性振动课件 第20章 二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

INTERNALUSEONLY仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY

第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY

第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY

第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY

第4篇弱非线性振动

本篇讨论弱非线性振动共分5章。第16章至第19章介绍弱非线性振动的定量分析方法。第20章介绍非线性振动的定性分析方法。

第16章讨论非线性自由振动。先讨论保守系统的自由振动，再讨论阻尼自由振动。先讨论单自由度非线性自由振动，再讨论多自由度非线性自由振动。首先介绍了方程的无量纲化方法。

第17章讨论非线性受迫振动。与线性受迫振动不同，非线性受迫振动除了具有线性受迫振动共振和非共振的特征外，还有由于非线性而引起的新现象。本章首先讨论非线性受迫振动的共振和非共振。然后接着讨论亚谐共振、超谐共振和组合共振。介绍了求解非线性振动常用的摄动法：多尺度法。

第18章讨论自激振动。自激振动与自由振动和受迫振动不同，是非线性振动中产生的一种新的周期振动现象，数学上是非线性产生的极限环运动。首先介绍自激振动中的典型方程：范德波尔方程的建立，然后介绍用摄动法求解弱非线性范德波尔方程的解析解，接着介绍强非线性范德波尔方程的数值解，分析自激振动和极限环的特征。摄动法介绍：KBM法。

第19章讨论参数激励振动。

本章仍然回到线性振动,但这时所讨论的系统的特性并不像上册里假定为常系数,而是时间的周期函数。

结果,微分方程成为称作Hill方程的类型。

有几个理由使得在这本主要讨论非线性振动的书中用很长的一章讲述线性系统。

第一,对任何一个周期的非线性振动稳定性这样重要问题的讨论,必然导向考察Hill方程。

第二,这种类型系统里所碰到的振动现象,多少有点像次谐波振动。

例如,在某种意义上,它们的位置介于非线性振动和有常系数特性的线性振动之间。

第三,对于具有周期系数的线性微分方程叙述Floquet理论,讨论给定的周期的非线性振动的稳定性,必然转化为判断参数给定的Hill方程的解的有界或无界。

第四,对于最重要的特殊情形,即Mathieu方程,详细地讨论了区别“稳定”和“不稳定”的参数值问题。

第五,本章介绍了谐波平衡法和等效线性化方法。

第20章讨论二维离散-时间动力系统的不动点与分岔。

第10章讨论了一维离散-时间动力系统的不动点与分岔,本章是第10章的延续。

本章首先介绍不动点的存在性定理———二维布劳威尔定理,然后详细介绍二维离散动力系统不动点的分类问题,最后介绍离散动力系统中的翻转分岔,即倍周期分岔。

这也是离散动力系统中通向混沌道路的最简单分岔,所以是非常重要的。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY第20章二维离散-时间动力系

统的不动点与分岔

20

本章内容包括不动点的存在性定理:二维布劳威尔定理;分岔和分岔图等概念;二维离散动力系统不动点的分类问题;离散动力系统中的翻转分岔,即倍周期分岔。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY20.1

二维离散-时间系统的不动点存在性

定理

类似于一维的情形可以说:

定义20.1.1

设X⊂Rn，f

是X

的自映射,若存在x0∈X

使f(x0)=x0,则称

x0

为映射f

的不动点,f

为具有不动点的映射。

映射具有不动点是一个整体性质,它既与X

有关,也与f

紧密相联。

定理

20.1.4

边界圆S1

不是闭圆盘B2

的收缩核。

定义

20.1.4

拓扑空间X

内的一条道路是指一个连续映射

其中I=[0,1],点

γ(0)与

γ(1)

分别叫作道路γ

的起点和终点。

若X的一条道路

满足条件γ(0)=γ(1),即起点和终点相同,则称γ

为X的一条环路,γ(0)

叫作这条环路的基点。

定义

20.1.5

设

是X

的两条道路,若存在连续映射,使

引理

20.1.1

空间

X内具有相同基点的全体环路构成一个集合,则环路的同伦是这集合上的一个等价关系。

定理20.1.5

拓扑空间

X

中以x∈X

的基点的所有环路同伦类在乘积

下构成一个群。

这个群称为

X

在点

x

的基本群,记为π1(X,x)。

定理20.1.6

若空间

X是道路连通的,即对

X

中的任意两点总有

X

中的道路将它们连接。

则对任意两点

p、q

∈X

有

π1(X,p)

同构于

π1(X,q)

。

定理

20.1.4

的证明:假如存在连续映射

，它使S1

上的每点不动,令

是内含映射,即任一

。由

可得

然而对所有x∈S1

有f°i(x)=x,即f°i

是S1

的恒等映射,因此f∗°i∗

是

π1(S1)到自身的同构,这样f∗

必定是满同态,但

π1(B2)

是平凡的,而

π1(S1)≃Z,这就产生矛盾,从而定理成立。

几点说明:(1)通过同伦对每个道路连通空间建立基本群,它能反映R2

中的子集是否有洞这一性质,利用基本群证明定理20.1.4,而定理

20.1.2

是它的推论,这样我们用拓扑方法给出了二维布劳维尔不动点定理的证明。(2)对布劳维尔不动点定理的论证更好地显示了代数与拓扑之间的相互作用。

原来的几何问题是困难的,但是一旦翻译成了代数问题,只用非常简单的思想就解决了。(3)利用同伦的方法研究拓扑空间的性质的理论称为同伦论,基本群是它的一个内容,同伦论是代数拓扑的一个组成部分。(4)定理20.1.4对

n≥1都成立,即Sn-1

不是

Bn

的收缩核。20.2

分岔与分岔图

考虑依赖于参数的动力系统,在连续-时间情形把它写为

在离散-时间情形写为

这里x∈Rn

和

α∈Rm

分别表示相变量和参数。

考虑系统的相图。

当参数变化时相图也发生变化。

存在两种可能性:系统保持与原系统等价,或者它的拓扑发生改变。

定义20.2.1

在参数变化时相图不拓扑等价的现象称为分岔∙。

因此,分岔是当参数通过分岔值(临界值)时系统的拓扑类型发生改变。

事实上,具极限环的相图不可能一对一地变换成只有平衡点的相图。

极限环的存在性是拓扑不变的。

当α增加并穿过零时,系统式(20.2.3)有分岔,称为Antronov-Hopf分岔,它导致从平衡点出现小振幅的周期振动。

应该看清楚Antronov-Hopf分岔是在平衡点固定的任一小邻域内发现的。

这种分岔称为局部分岔。

也可在不动点的任一小邻域内定义离散-时间系统的局部分岔。

我们将经常谈及局部分岔,如平衡点分岔或不动点分岔,尽管我们分析的不是这些点而是平衡点附近的整个相图。

与Poincaré

映射相应的局部分岔对应的极限环分岔称为环的局部分岔。

也存在这样的分岔,它们不能从观察平衡点(不动点)或环的小邻域发现,这样的分岔称为大范围分岔。

现在回到对依赖于参数的式(20.2.1)或式(20.2.2)的分岔的一般讨论。

取某个参数值

α=α0,考虑包含

α0

在内的点最大连接参数集[称为(stratum)],此集合由这样的点所组成,对这些点,系统的相图拓扑等价于系统在α0

的相图。

在参数空间Rm

中取所有这样的层,就得到系统的参数图。

例如,具

Andronov-Hopf分岔的式(20.2.3)的参数图有两层:{α≤0}和{α>0}

。

式(20.2.5)的参数图有三层:{α<0}{α=0}

以及{α>0}。

但是,注意式(20.2.5)对

α<0

的相图拓扑等价于

α>0

的相图。

参数图连同它刻画的相图一起构成分岔图。

定义

20.2.2

动力系统的分岔图是由拓扑等价性所诱导的参数空间的层次连同每一层代表的相图。求得作为已给动力系统定性分析结果的分岔图是我们所期望的。

我们期望用非常简洁的方法将系统在参数变化时的性态的所有可能形式和它们(分岔)之间的传递进行分类。

注意,一般分岔图依赖于所考虑相空间的区域。

注:如果一个动力系统的相空间的维数是一维或二维,且仅依赖于一个参数,则它的分岔图可以用在相空间和参数空间的直积空间

R1,2×R1,连同由一维或二维薄片(slice)

α=常数代表的相图所表示。

参数图最简单的情形是由Rm中有限个区域所组成。

在每个区域内部,相图是拓扑等价的。

这些区域由分岔边界所分开,它们是Rm中光滑子流形(曲线、曲面)。

这些边界可以相交或相重。

这些交集又把边界划分为子区域等。

分岔边界是由指定的相对象(平衡点、环等)以及确定分岔类型(Hopf、fold等)的某些分岔条件定义。

例如,平衡点的Andronov-Hopf分岔是由一个分岔条件,即在这个平衡点的Jacobi矩阵的一对纯虚特征值所表述:当边界相交时,分岔就会出现。

定义

20.2.3

式(20.2.1)或式(20.2.2)分岔的余维是参数空间的维数与对应分岔边界的维数之差。

等价地,余维(简记为

codim)是确定分岔的独立条件的个数。

这是余维最实际的定义。很清楚,某些分岔的余维在所有依赖于足够数量参数的一般系统中是一样的。

20.3

二维线性离散系统的不动点20.3.1

平面线性离散系统的双曲不动点

考虑一个二维线性系统

其初始条件为x0,系数矩阵为若

则

x=0

是唯一不动点。

设P

为非奇异变换矩阵,令

则有其中

下面分三种情况讨论(1)系统有两个互异的实特征值(μ1≠μ2),解可以表示为①当

时,原点为稳定结点。

图

20.3.1

为对应的线性系统稳定结点的特征值图。

选择一

可以将假定的展开式(16.3.7)代入初条件式(16.3.6),令ε

相同幂次的系数相等,其结果为于是根据式(16.3.11)决定x1中的积分常数,根据式(16.3.12)逐步决定xn(n≥2)的齐次解中所含的积分常数。

选择二

可以对所有的xn

(n≥2),直到最后一步,不考虑初条件和齐次解。

但将x1

中的积分常数看作

ε的函数,按

ε

的幂次展开,选择展开式中的系数使式(16.3.6)得到满足。下面通过具体运算来说明这两种方法是等价的。(1)根据第一种选择。方程式(16.3.8)的解可以写成式中,a1

、β1

为常数。

为满足初条件式(16.3.11),有

②当

时,原点为不稳定结点。

图20.3.2

为对应的线性系统不稳定结点的特征值图。

③当

时,称原点为线性系统的鞍点,系统是不稳定的。

图20.3.3为对应特征值图。

系统离散的运动状态在特征向量方向上将趋近或远离原点。

图20.3.4为系统有两个互异的实特征值

(μ1≠μ2)

的相图。

(2)系统有两个重的实特征值

(μ1=μ2=μ),解可以表示为或

当特征值重根

时,原点为稳定结点。

当特征值重根

时,原点为不稳定结点。

稳定和不稳定结点的特征值图和相图如图

20.3.5和图

20.3.6所示。

对式(20.3.6b),稳定和不稳定结点在相平面的一条直线上。

当所有特征值的模都小于

1(μi<1,i=1,2)时,称原点为线性系统的汇;当所有特征值的模都大于

1(μi>1,i=1,2)

时,称原点为该线性系统的源。

与结点和鞍点相比,稳定焦点和不稳定焦点分别使离散的运动状态螺旋式地收敛到原点或者螺旋式地发散到无穷远。20.3.2

平面线性离散系统的非双曲不动点(1)系统有两个互异的实特征值(μ1≠μ2)

。

①当μi=1(i∈{1,2})

且μj<1(j∈{1,2},j≠i)时,线性离散系统有关于原点的第一类鞍点-稳定结点边界的特征值图如图20.3.9

所示。②当

时,线性离散系统有关于原点的第二类鞍点-稳定结点边界的特征值图如图20.3.10所示。③当

时,线性离散系统有关于原点的第一类鞍点-不稳定结点边界的特征值图如图20.3.11所示。④当

时,线性离散系统有关于原点的第二类鞍点-不稳定结点边界的特征值图如图

20.3.12

所示。

⑤当

时,是第一类或第二类鞍点-结点边界的临界情况的特征值图如图

20.3.13所示。(2)系统有两个重的实特征值(μ1=μ2=μ)。

当μ1

=μ2

=1

或μ1=μ2=-1

时,它们是鞍点-结点边界或颤振(Neimark)边界的临界点,其相应的特征值示意图如图20.3.14

所示。(3)系统有一对复特征值

当它们的模等于1(r=1)时,原点是离散系统的中心,系统具有一个颤振型边界(Neimark边界),相应的特征值示意图如图20.3.15

所示。

在离散系统的颤振型边界(r=1)上,迭代点将在圆形曲线上振荡,如图20.3.16

所示。20.3.3

平面线性离散系统的不动点分布总图

矩阵

A

的特征值由求解

det(A-μI)=0

,得

其中

对应的特征值是式(20.3.1)中的线性系统具有以下特点。(1)位于原点的鞍点,特征值为实根(2)位于原点的稳定结点,特征值为

μi<1(i=1,2)的实根。

图16.5.4分段线性系统

(3)位于原点的不稳定结点,特征值为μi>1(i=1,2)的实根。

(4)位于原点的稳定焦点,特征值为μi<1(i=1,2)的复根。

(5)位于原点的不稳定焦点,特征值为μi>1(i=1,2)的复根。

(6)位于原点的颤振型边界(Neimark

边界),特征值为

μi=1(i=1,2)的复根,即(7)位于原点的第一类鞍点-稳定结点边界,特征值为实根μi=1和μj<1,(i,j∈{1,2}且

j≠i),即(8)位于原点的第一类鞍点-不稳定结点边界,特征值为实根μi=1和μj>1,(i,j∈{1,2}且j≠i),即

(9)位于原点的第二类鞍点-稳定结点边界(跳跃型边界),特征值为实根μi=-1和

μj<1,(i,j∈{1,2}且j≠i),即(10)位于原点第二类鞍点-不稳定结点边界(跳跃型边界),特征值为实根

μi

=-1和

μj<1,(j∈{1,2}且

j≠i),即(11)位于原点的第三类鞍点-结点边界,特征值为实根μi

=-1和μi

=1,(i,j∈{1,2}

且j≠i),即

据此存在8种可能的组合。(12)位于原点、对应于det(A)=0

的退化不动点,此时系统可以降阶到一维情况。

如图20.3.17所示,在复特征值平面上直观地汇总了式(20.3.1)中线性离散系统的稳定性及其边界。

其中,阴影区代表的是稳定结点和稳定焦点。

阴影区上方的区域是不稳定结点,阴影区下方是稳定结点。

阴影区外、tr(A)轴的左侧区域是鞍点。

竖直线是对应于det(A)=1且tr(A)<2的中心,也被称为颤振型边界(Neimark边界)。

对于

det(A)>1,虚线之间的区域对应着不稳定焦点。

这条虚抛物线是复特征值和实特征值的边界。

上方的线是第一类鞍点-结点边界,下方的线是第二类鞍点结点边界(跳跃型边界)。

阴影区三角形的左顶点是第三类鞍点-结点。

相图是基于变换后的式(20.3.3)得到的。

式(20.3.1)

中xk+1=Axk

的解由xk=Pyk

给出。

其中,x1,2=

±α(图20.4.1)。

这两个点是稳定的,且构成原来映射fα

的