2026届河北承德强基联盟高三下学期一模数学试题含答案

高中高三数学考试（一）本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.展开式中，常数项为（）A.15 B.40 C.60 D.804.若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.5.已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（）A. B. C. D.6.冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（）A. B.C. D.7.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.米8.若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是函数的一个周期B.是函数的一条对称轴C.函数在有三个零点D.函数为偶函数10.已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且则（）A.点E的坐标为B.C.直线的斜率为D.直线关于轴对称11.“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（）A.函数值域为B.函数在上单调递减C.方程有5个不同的解D.若方程有10个不同的解，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______．13.已知，为锐角，，，则_____.14.已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求；（2）若，求AB边上的高.16.在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；（2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值；.17.已知函数.（1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围.18.已知平面直角坐标系上一动点满足，，．（1）求点的轨迹曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点．①求直线，的斜率之和；②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由．19.元旦晚会上，班委了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次（且）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记1分，未命中记分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖．现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为．（1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望；（2）当时，求甲同学获奖的概率(用含的表达式表示)；（3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值．

高三数学考试（一）本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数单调性求解，确定集合B，再由并集运算即可求解.【详解】由可得，即，所以，故选：A2.若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】求出，根据复数的几何意义即可求出答案.【详解】由得，所以复数在复平面内对应的点为，所以在复平面内所对应的点位于第一象限.故选：A.3.的展开式中，常数项为（）A.15 B.40 C.60 D.80【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的通项求解.【详解】展开式的通项为，令，得，则，故常数项为.故选：C4.若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果.【详解】由回归直线过样本中心点，得，，代入，得，方程两边同时乘5，得.故选：D．5.已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解.【详解】∵函数为奇函数，∴，又∵，∴，故选项C正确其他三个选项条件不足无法计算，故选C.故选：C.6.冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件代入数量积公式，计算，即可求解.【详解】，即，则，即，因为，所以，.故选：D7.某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离.【详解】设点到平面的距离为，根据正方体的性质可知：点到平面的距离为，因为，所以，由正方体可得，所以，解得，所以点到平面的距离为，又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米，所以点到平面的距离为.故选：D8.若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用同构思想变形不等式，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数求出最小值即可.【详解】不等式，令函数，显然函数在上单调递增，依题意，不等式恒成立，即，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此当时，，，所以实数k的取值范围是.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是函数的一个周期B.是函数的一条对称轴C.函数在有三个零点D.函数为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】由诱导公式及辅助角公式化简函数，由解析式求得函数最小正周期、对称轴函数零点，判断ABC选项，写出函数解析式，由解析式得函数奇偶性，判断D选项.【详解】，∴函数的最小正周期，A选项正确；令，则，当时，，B选项错误；令，则，∵，∴，，，∴函数在有三个零点，C选项正确；是偶函数，D选项正确.故选：ACD.10.已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且则（）A.点E的坐标为B.C.直线的斜率为D.直线关于轴对称【答案】BD【解析】【分析】先由抛物线方程确定焦点及对称点，再利用向量关系得到坐标间的联系，结合抛物线方程求出的具体坐标，最后逐一验证选项.【详解】已知抛物线，则，，焦点，点关于原点的对称点为，设，，且，，由，得，即：，化简得，，又在抛物线上，故，，代入，得，联立和，解得，，进而，，所以，；选项A：点是关于原点的对称点，应为，而非，A错误；选项B：由抛物线焦半径公式：，，故，B正确；选项C：，并非，C错误；选项D：，，即，且两直线均过轴上的点，故直线与关于轴对称，D正确.11.“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（）A.函数的值域为B.函数在上单调递减C.方程有5个不同的解D.若方程有10个不同的解，则【答案】BCD【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；令，将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且这两个根分别在、内，进而求解判断D.【详解】当时，；当时，，则；当时，，则；当或时，，作出函数的图象如下：由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确；由于函数与有5个交点，则方程有5个不同解，故C正确；对于D，令，因为方程有10个不同的解，所以方程有两个不相等的实数根，设，显然，则这两个根分别在、内，有，解得，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______．【答案】8【解析】【分析】根据椭圆的定义计算即可求解.【详解】由题意知，，如图，由椭圆的定义知，，所以的周长为.故答案为：813.已知，为锐角，，，则_____.【答案】【解析】【分析】由和两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，为锐角，所以，，所以，所以.因为，所以，，因为，所以，，所以..，故答案为：14.已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________.【答案】2646【解析】【分析】由题意，结合，可得数列是首项和公差均为1的等差数列，从而求得，所以.进而求得.根据数列的特征可求出.【详解】因为，所以前项和.所以当时，因为，所以，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即.当时，，又满足上式，所以.新数列中从到共有项.当时，；当时，.所以.故答案为：2646.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求；（2）若，求AB边上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合余弦定理及同角三角函数关系求得，由此求得，最后得出.（2）结合三角形的面积公式及两角和正弦公式计算求解.【小问1详解】因为，所以由余弦定理得，所以，所以因为，所以，又因为，所以，所以；【小问2详解】设AB边上的高，由三角形面积公式得，因为，所以，因为为的内角，所以，因为，由正弦定理得，所以.16.在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；（2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值；.【答案】（1）存在，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意根据条件推出平面平面，再根据面面平行的判定定理证明结论.（2）若选，在中，利用，求出，取中点，连接，从而证明，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，再利用法向量求二面角即可.若选，由，求出，取中点，连接，从而证明，仿照选的方法可求二面角.【小问1详解】在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下：连接交于点，连接，取的中点，连接，又平面,平面，平面平面，故,O为的中点，点为中点，则，，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面；又点为中点，为的中点，故,平面，平面，故平面，平面，故平面平面，【小问2详解】选择，四边形为菱形，,则为正三角形，，故在中，，由余弦定理知，取中点，连接，在中，，则，所以，因为是正三角形，所以，因为平面，所以平面，平面，又平面，故平面，以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,则，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，,设平面的法向量为，则，即，令，得平面的法向量，故，由于平面与平面所成二面角为，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为；若选：由（1）可知，，取中点，连接，在中，，则，所以，因为是正三角形，所以，又平面，则平面，平面，故；因为是正三角形，所以，因为平面，所以平面，以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,则，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，,设平面的法向量为，则，即，令，得平面的法向量，故，由于平面与平面所成二面角为，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为；17.已知函数.（1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）若图象上总存在关于点对称两点，求a的取值范围.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）反证法说明不存在满足题意的实数；（2）将问题转化为在上有解，整理后得到一个等式，换元后构造函数，利用导数研究该函数的最值，对的范围分类讨论从而得解.【小问1详解】不存在，理由如下：由知的定义域为，且，假设存在实数，使得为函数的极小值点，则，即，解得，此时，所以是减函数，与为函数的极小值点矛盾，所以假设不成立，即不存在实数，使得为函数的极小值点；【小问2详解】若图象上总存在关于点对称的两点，则在上有解，即在上有解，整理得，令，得，问题可转化为在上有解，令，则；①当时，，是减函数，又，所以，所以在上无零点，不符合题意；②当时，，是增函数，又，所以，所以在上无零点，不符合题意；③当时，在上，，单调递减；在上，，单调递增，所以的最小值为，又时，，根据函数零点存在定理可知在上必存在零点，符合题意；综上，的取值范围是.18.已知平面直角坐标系上一动点满足，，．（1）求点的轨迹曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点．①求直线，的斜率之和；②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由．【答案】（1）（2）①；②必在直线上，理由见解析【解析】【分析】（1）设，由题意列方程，化简即可求出答案.（2）①直线方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立得到，，用斜率公式列出直线，的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直线，的中垂线，联立求出点的坐标，消去即可求出答案.【小问1详解】由题意知，，所以动点的轨迹为双曲线的右支，，，即，，所以，所以点的轨迹曲线的方程为.【小问2详解】①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，，联立得，，由题意得，解得，于是，，所以，所以．②直线的中垂线为，直线的中垂线为，联立直线方程得：，消得，于是，所以，代入得，当时，点在直线上，不符合题意，故，又消得：，推出，推出：，得：，得：，又，则，又，所以，故外接圆圆心，令，消去得，故必在直线上.19.元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参