上海新教材高中数学：成对数据的统计分析

高中数学成对数据的统计分析

(-)成对数据的相关分析

加辆机理

1、成对数据间的关系

定义：在统计活动中，我们研究来自两个相关变量的两组数据之间的关系，我们把这两组数据叫做成对数据。研究

成对数据相关性的方法称为相关分析

2、相关系数

一般地，在统计中用相关系数，•来衡量两个变量之间线性关系的大小。设由变量x和y获得的两组数据分别为天和

(1</</?),其对应关系如下：

X•••

%%#3%4苑4

■••

y%兀儿

y5

两个变量的相关系数的计算公式为

-1_ii_—I_i!_

其中工=一£>，，)’=一£必分别是这两组数据的平均数。

〃日〃2

-1-

由上述计算公式得到的数值，•称为变昂/和变量)，的线性相关系数，简称相关系数

卜|41.4越接近1,线性线关程度越高；川越接近o,线性线关程度越低.

(1)当厂>0时，X的值由小变大时，)的值有由小变大的趋势，这时称这种相关为正相关

⑵当〃<()时，x的值由小变大时，)，的值有由大变小的趋势，这时称这种相关为负相关

两个变量的相关系数特点：

(1)相关系数描述的是两个变量之间线性关系的方向与强度，是一种定量分析的方法.

(2)相关系数的计算公式是关于x、y对称的，画散点图时，不论以哪个变量作为横轴(纵轴)，得到的

相关系数都一样.

(3)两个变量的相关系数与这两个变量的单位无关.

(4)与平均数和标准差一样，相关系数不仅会受到数据量多少影响，也会受到少数常数值的较大影响.

(5)要用相关系数来描述两个随机变量的相关性，一般要求这两个变量满足正态分布.

怎)用找代耕

B.该同学8次测试成绩的众数是48分

C.该同学8次测试成绩的中位数星49分

D.该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关

-2-

【例2】根据下面四个散点图中点的分布状态，可以直观地判断两个变量之间具有线性相关关系的是

【例3］现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩㈤与入学后的第一次考试数学成绩（），），数据如下表:

学生号12345678910

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数，•，并判断两者是否具有线性相关关系.

【例4】互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机

构针对该市市场占有率较高的甲，乙两家网络外卖企业（以下称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调杳，调杳结

果如下表：

1日2日3日4日5日

外卖甲日接单x（百单）529811

外卖乙日接单）'（百单）2310515

（1）试根据表格中这五天的口接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

（2）据统计表明，y与X之间具有线性相关关系，请用相关系数，•对y与X之间的相关性强弱进行判断；（若1厂1>0.75,

则可认为）'与x有较强的线性相关关系，，•值精确到0.001）

参考数据：火红,-初凹-刃=66,、忙（—）£）丁“。77.

V1=）r=l

-3-

1、如图，5个（X,），）数据，去掉。（3,10）后，下列说法错误的是（）

什.£(10,12)

•2X3,10)

O\Y

A.X与y的相关性变强B.相关指数R2变小

C.相关指数N变大D.解释变量工与预报变量y的相关性变强

2、下列关于相关系数「的说法中，错误的是.

A.相关系数厂越大，两个变量间线性相关性越强

B.相关系数厂的取值范围是卜1』

C.相关系数r>0时两个变量正相关，r<0时两个变量负相关

D.相关系数r=l时，样本点在同一直线上

3、某生物小组为了研究温度对某种醒的活性的影响进行了•组实验，实验数据经整理得到如下的折线图:

由图可以看出，这种酶的活性指标值>'与温度x具有较强的线性相关关系，请用相关系数加以说明.

=5.5,>/7«2.65

-4-

(二)一元线性回归分析

3、一元线性回归分析

(1)由上节内容我们知道，一些散点在某条直线附近，那么这条直线方程是多少，回归分析的方法就是求这条直线方

程。

设所求直线方程为：y=ax+b,当变量x取值看(/=1,2,3,…〃)时，片是由方程得到的计算值，我们把

2

称为在七处的离差，当其一例20时称为正离差，势一警<0时称为负离差。Q=£(y-%)称为拟合误差，当

i=l

拟合误差最小时，方程£=ca+〃称为变量)，随X波动的回归方程，对应的直线称为回归直线，/称为解释变量，

)，称为反应变量.依据成对数据求同归方程的统计方法称为回归分析，其中的模型参数。和匕称为回归系数.

求回归。和。最基本的方法叫做最小二乘法.用最小二乘法求线性回归系数的公式如下：

«__«__

一幻(必一y)一〃工)'

G___________

<^xr-nx

/=11=1

一-3心

b=y-ax=闫------且一

n

由最小二乘法得到的回归方程为：y=ax^b.a,/；称为模型参数。和〃的最小二乘估计.

(2)建立一元线性回归模型的一般步骤如下：

1、确定研究对象，从•组数据出发，根据实际问题，明确哪个变量是自变量，哪个是因变量.

2、画出确定好的自变量和因变量的散点图，观察它们之间的关系.

3、如果我们观察到数据呈线性关系，则选用回归方程£=aT+/2.

4、按最小二乘法估计回归直线方程中的参数。、b.

5、得出结果后计算离差，采用统计方法检验模型是否合适.

6、利用所求的关系式进行预测.

(3)相关分析和回归分析之间的联系和区别：

1、相关分析主要测定变量之间关系的密切程度和变化方向，而回归分析则要在相关分析的基础上建立同归模

型描述变量之间具体的变动关系.当两组变量具有线性相关时，才作线性回归分析，得到回归直线.

2、在相关分析中，两个变量是对称的，而在回归分析中，要考察的是一个变量随另一个变量的波动情况，其

中一个是解释变量，另一个是反应变量.

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3、回归分析具有因果分析和预测的功能，可以分析反应变量受解释变量的影响程度，也可以通过回归方程求

得反应变量的计算值来估计观察值.

4、在相关分析中，要求两个变量的总体都属于正态分布，在回归分析时，一般只要解释变量的总体满足正态

分布

金）用必代耕

【例5】下列说法正确的有.

A.相关系数,•的绝对值越接近于1,北），的线性相关程度越弱

B.回归方程为），=0.6-0.45x时，变量x和），具有负的线性相关关系

C.设随机变量4服从正态分布N（0,1）,若尸«>1）二尸，则P（-ivjvl）=1-2P

D.E（2X+1）=2E（X）+1,ZX2X+1）=4D（X）+1

【例6】根据最小二乘法由一组样本点（冷y）（其中，•=12L,300）,求得的回归方程是9=队+》则下列说法正

确的是（）

A.至少有一个样本点落在回归直线§=加+自上

B.若所有样本点都在回归直线¥=加+器上，则变量间的相关系数为1

C.当》=一2时，x增加1个单位时，y平均增加2个单位

D.若回归直线¥=法+令的斜率5>0.则变量x与），正相关

【例7】变量x,》之间有如下对应数据：

X34567

已知变量）'与x呈线性相关关系，且回归方程

y13111087

为）,=一1.5%+〃，则〃的值是（）

A.2.3B.2.5C.17.1D.17.3

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【例8】当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业

的人学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入），（单位：万元）情况，

如表所示.

月份56789

时间代号/12345

家乡特产收入y32.42.221.8

（1）根据5月至9月的数据，求），与，之间的线性相关系数（精确到Q001）,并判断相关性;

（2）求出），关于，的回归直线方程（结具中B保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.

n__

一叫，

附：相关系数公式：，二.（若|r|>0.75,则线性相关程度很强,可

用线性回归模型拟合）②一组数据（占,匕）,（4，/），…，（心”），其回归直线方程字=加+》的斜率和截距的最

〃__

■一〃盯_

小二乘估计公式分别为3=上^------»③参考数据：、区双之2.91.

Yxi-nx

;=1

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1、某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费工（单位：万元）对年销售量.、，（单位：千件）

的影响现收集了近5年的年宣传费工（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且

y关于x的线性回归方程为了=法-8.2,则下列结论错误的是（）

X4681012

y1571418

A.x,y之间呈正相关关系

B.3=2.15

C.该回归直线一定经过点（8,7）

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年制售量为34800件

2、随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量x与送餐里程

）’的统计数据表：

订餐数x/份122331

送餐里程力里153045

现已求得上表数据的回归方程亍=良+二中的/；值为1.5,则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的

路程约为（）

A.155里B.145里C.147里D.148里

3、某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加，根据统计得到从2015年至2021年农村居民家

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庭收入y（单位：万元）的数据，其数据如下表:

年份2015201620172018201920202021

年份代号r1234567

农村居民家庭收入y3.94.34.65.45.86.26.9

（1）求y关于f的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭收入的变化情况，并预测该地区2024年农

村居民家庭收入.

E4-7）（》-反）Z

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为/；=口----------=上匕----------,a=y-b't

1=11=1

参考数据：£亿-7）（力-A=14,£=162.4.

/-Ir-1

（三）2x2列联表

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加辆机理

4、2x2列联表独立性检验

不吸烟者吸烟者总计

不患慢性气管炎者aba+b

患慢性气管炎Cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

其中。、b、c、〃为实际观察值.

表中按是否吸烟进行分类和是否患有慢性气管炎进行分类.像这类变量称为分类变量.

像表中这样列出的两个分类变量的频数表，称为2x2列联表，也称四格表.

要检验两个随机变量是否有关系，统计上一股先假设它们没有关系，再进行统计检验.这样的假设称为原假

设.(也称为零假设),“o：慢性气管炎患病与吸烟没有关系，它们相互独立・

得到如下表格:

不吸烟者吸烟者总计

观察值预期值观察值预期值

aa+b/、a+b八八

不患慢性气-----------------X(67+(?)b-----------------x(/?+d)a+b

a+b+c+da+b+c+d

管炎者

cc+d.,、c+d/,、

患慢性气管-----------------x(a+b)d-----------------x(a+b)c+d

a+b+c-vda+b+c+d

炎

总计a+cb+da+b-vc+d

统计量人“U观空预期懿值值；化简：/=('a+/?J)(<?+(d哈)(a姐+c；\b+d八)〃一间c+“

P(/2>3.8410.05

(1)712>3.841,P(/”0.05的概率成立，一般说原假设不成立

(2)Z2<3.841,P(/2)>0.05的概率成立，一般我们说原假没成立。

⑥倒我代耕

-10-

【例9】下列说法错误的是（)

A.用相关系数，•来衡量两个变量之间线性关系的强弱M，⑺越接近于1,相关性越强

B.当相关系数，,0时，表明变量x和y正相关

C.独立性检验得到的结论一定正确

D.样本不同，独立性检验的结论可能有差异

【例10】在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的序号是.（参考数据：P（心次.635）

=0.01）

A.若解的观测值满足心次.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.

B.若依的观测值满足总次.635,那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病.

C.从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的

可能性会患肺病.

D.从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误.

【例11】关于棉花质量，主要有以下几个指标：品级、长度、马克隆值、回潮率、含杂率、短纤维率、危害性杂物、

棉结等.为研究棉花质量，提高棉花品质，某研究机构在一批棉花中随机抽查了200份棉花样品中的马克隆值、回

潮率，得下表：

马克隆值yy<3.43.7<y<4.24.3<y<4.9

3.5<y<3.6

回潮率X

7%<x<8%126108

8%<x<9%35313424

9%vE0%541120

⑴估计一事件”该批棉花马克隆值不超过4.2,【可潮率不超过9%”的概率;

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表:

>-<4.24.3<y<4.9

-II-

马克隆值），

回潮率X

7%<x<9%

9%<x<10%

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99.9%的把握认为该批棉花马克隆值与回潮率有关？

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(«+/?)((?++(?)(/?+J)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

1、为了调查中学生近视情况，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生眼睛