20252026学年8.1平方根教学设计（人教版）七年级数学下学期 含答案

/8.1平方根课程：初中数学教材：初中数学人教版七年级下册章节：8.1平方根教材分析本节课以“已知平方求原数”为切入点，通过具体实例引入平方根概念，类比平方与开平方的互逆关系，归纳正数、0、负数平方根的特点，进而定义算术平方根，并借助几何拼图与估算活动渗透无理数思想，最后通过计算器探究算术平方根的变化规律。教学过程遵循“情境导入—概念建构—性质探究—应用拓展”逻辑链，注重从具体到抽象、数形结合与合情推理。本节内容上承有理数与乘方运算，下启实数体系与二次根式运算，是学生首次接触无限不循环小数和非负数开方限制的关键一课，有助于发展数感、符号意识与估算能力，为后续学习勾股定理、二次函数及实数运算奠定坚实基础。学情分析七年级学生已掌握有理数的运算、乘方运算及简单方程求解，理解“一个数的平方”含义，具备初步的逆向思维意识，为学方根奠定了知识基础；此阶段学生抽象思维逐步发展，但对“互为逆运算”“双重符号表示”及“无限不循环小数”等概念仍较陌生，易混淆平方根与算术平方根，对负数无平方根的理解易受正整数经验干扰；本节课要求学生能准确区分平方根与算术平方根，理解±a与a的含义及适用条件，掌握开平方与平方的互逆关系，并能借助计算器估算a教学目标1.理解平方根与算术平方根的概念及区别，掌握±a与a的含义与读法，发展数学抽象与符号意识，提升数学表达与辨析能力。

2.能依据x2=a求具体数的平方根，理解正数、0、负数平方根的存在性，通过逆运算思想强化运算能力与逻辑推理素养。

重点难点重点：掌握平方根、算术平方根的定义；能求非负数的平方根与算术平方根。难点：区分平方根与算术平方根；理解2这类无限不循环小数的意义。课堂导入课堂导入设计同学们，我们先做个“反向挑战”：

已知一个数的平方是25，你能说出这个数是多少吗？没错，5和-5都满足。那如果平方结果是16、是0呢？

我们之前学过，知道一个数可以求它的平方，今天我们就来研究这个运算的“逆过程”——已知平方结果，如何反推原数。

这个逆运算会引出一个新的概念：平方根。通过今天的学习，我们还会搞清楚正数、0、负数的平方根各有什么特点，甚至认识像2这样特殊的无限不循环小数。

接下来就让我们一起走方根的世界。算术平方根探究新知（一）知识精讲同学们，我们已经知道正数a有两个平方根，其中正的平方根a叫作a的算术平方根。今天我们要通过一个具体的例子来深入理解这个概念。请看这个探究问题：怎样用两个面积为1dm²的小正方形拼成一个面积为2dm²的大正方形？如图8.1-2所示，我们可以将两个小正方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形。将这4个直角三角形重新拼合，就能组成一个面积为2dm²的大正方形。设这个大正方形的边长为xdm，根据面积公式可以得到方程x2=2。由于边长必须为正数，所以接下来我们来探究2的具体大小。通过逐步逼近的方法：因为12=1<2<4=22因为1.42=1.96<2<2.25=1.52继续精确计算可以得到1.41<2<1.42，事实上，2=1.414213562373⋅s，它是一个无限不循环小数。类似地，3、5、（二）师生互动教师提问：同学们，通过刚才的探究，我们发现2是一个无限不循环小数。那么，你们能举出其他类似的例子吗？比如3的大小范围是怎样的？学生回答：我们可以用类似的方法来估算3。因为12=1<3<4=22，所以1<3<2；又因为教师追问：很好！那为什么这些数的算术平方根都是无限不循环小数呢？它们和我们之前学过的有理数有什么区别？学生思考后回答：因为这些数的平方不能表示为两个整数的比，所以它们的算术平方根不是有理数，而是无限不循环小数。（三）设计意图通过具体的拼图操作和逐步逼近的计算方法，帮助学生直观理解算术平方根的概念和性质。培养学生的动手操作能力、数形结合思想和估算能力。引导学生从具体到抽象，逐步建立对无理数的认识，体会数学的严谨性和精确性。通过师生互动，激发学生的探究兴趣，培养他们的数学思维能力和问题解决能力。新知应用例3题目：求下列各数的算术平方根：

(1)100； (2)4964； (3)0.0001解答：我们根据算术平方根的定义来逐题求解：定义回顾：一个非负数a的算术平方根，是指非负数x，使得x2=a，记作x=(1)求100的算术平方根：

我们要找一个非负数x，使得x2=100。

因为102=100，且10≥0，满足定义；

而(−10)2=100，但−10<0，不是算术平方根（只是平方根之一）。

所以，(2)求4964的算术平方根：

我们要找一个非负数x，使得x2=4964。

观察分子分母：49=72，64=82，所以

(78)2=7282=(3)求0.0001的算术平方根：

先将小数转化为分数或观察其结构：

0.0001=1×10−4=(10−2)2=0.012，

验证：0.01×0.01=0.0001，且0.01>0；

所以，0.0001的算术平方根是0.01总结：1.题目考查内容①算术平方根的概念与定义（强调“非负性”）；

②对常见数（整数、分数、有限小数）的算术平方根的识别与计算；

③平方运算与开平方运算的互逆关系（即若x2=a，则a2.题目求解要点①紧扣定义：必须找到满足x2=a且x≥0的唯一解；

②区分平方根与算术平方根：正数有两个平方根（一正一负），但算术平方根只有唯一一个，且一定是非负数；

③数的形式转化技巧：

-整数→想“哪个正整数的平方等于它”；

-分数→分别对分子、分母开方（前提是均为完全平方数），即mn=mn（m,n>0，且n≠0）；

-小数→化为科学记数法或观察小数位数（如新知巩固题目：怎样用两个面积为1

dm2的小正方形拼成一个面积为2

解答：第一步：理解问题中的数量关系

每个小正方形面积为1

dm2，两个共1+1=2

dm2。拼成的大正方形面积也为2

dm2。设其边长为x

dm，根据正方形面积公式：第二步：估算2的大小（夹逼法）

我们知道：12=1<2<4=2再试一位小数：1.42=1.96<2<2.25=1.5再试两位小数：1.412=1.9881<2<2.0164=1.42再试三位小数：1.4142=1.999396<2<2.002225=1.4152，所以第三步：认识2的本质

通过计算器或更精细计算可知：

2=1.414213562373⋅s

它的小数部分既不终止，也不循环，因此2是一个无限不循环小数，即无理数。

同理，3、5、总结：1.题目考查内容算术平方根的概念与符号表示（a表示非负数a的非负平方根）；利用面积建立方程x2用“夹逼法”估算无理数2的近似值；理解无限不循环小数的意义，初步认识无理数，为后续实数学习奠基。2.题目求解要点明确算术平方根的定义：对a≥0，a是满足x2=实际问题中边长必须为正数，故舍去负平方根；估算时需按位逐步尝试（个位→十分位→百分位→千分位…），每次比较平方值与目标数的大小关系；每次确定一位小数，都依赖前一步的范围，并通过试算验证不等式是否成立；最终确认2不是有限小数，也不是循环小数，从而理解其无理性。3.同类型题目解题步骤建模：根据几何或实际情境列出形如x2=a（取算术平方根：写出x=a，强调估算：

①找两个相邻整数m,n，使m2<a<n2，得m<判断数的类型：若无法找到有限或循环小数形式，且已知a不是完全平方数，则a是无理数；规范作答：写出边长（或结果）为a，并说明其近似范围及数的类别。算术平方根的应用探究新知（一）知识精讲同学们，让我们一起来探究算术平方根在实际计算中的应用。首先观察这张表格：当我们使用计算器计算这些正有理数的算术平方根时，会发现一个有趣的规律。比如计算1、100、10000时，结果分别是1、10、100。这说明被开方数扩大100倍，其算术平方根就扩大10倍。接下来，我们用计算器计算3≈1.732（保留三位小数）。根据刚才发现的规律，可以推导出：0.03≈0.1732300≈17.3230000≈173.2这个规律告诉我们：被开方数的小数点每向左或向右移动两位，其算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。（二）师生互动教师提问：同学们，根据刚才的规律，如果已知5≈2.236，那么500的近似值是多少呢？

学生回答：应该是22.36，因为被开方数扩大了100倍，算术平方根就扩大10倍。教师追问：很好！那如果要求0.5的近似值，又该怎么计算呢？

学生思考后回答：应该是0.7071，因为0.5=12=2教师继续引导：很棒！那你们能不能总结出更一般的规律呢？

学生讨论后回答：对于任意正数a，a×100=10a，a/100=（三）设计意图通过具体实例的计算和观察，培养学生发现数学规律的能力。让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，体会数学规律的发现过程。通过计算器的使用，增强学生的数感和估算能力，同时培养他们严谨的计算习惯。师生互动环节的设计旨在引导学生深入思考，建立数学知识之间的联系，培养他们的推理能力和数学表达能力。新知应用例4题目：用计算器求下列各式的值：

(1)3,136；(2)2（结果保留小数点后三位）。解答：我们来一步一步操作并理解每一步的意义：(1)求3,136首先明确：3,136表示3136的算术平方根，即一个非负数，它的平方等于3136。使用计算器时，不同品牌按键顺序略有差异，但通用顺序是：先按.键（或有些计算器需先输入数字再按.），再输入3136，最后按=。✅注意：题目中写作“3,136”，逗号仅为千位分隔符，实际输入时不输入逗号，只输3136。显示结果为56。验证：56×56=3136，完全正确。所以3,136=56，这是一个精确值(2)求2（保留小数点后三位）2是一个无限不循环小数（无理数），不能写成有限小数或分数，只能取近似值。按键顺序同上：.  2要求保留小数点后三位，即精确到千分位，需看第四位小数（即万分位）：显示值约为1.4142，第四位是2<5，所以舍去，不进位。因此2≈1.414✅注意：“≈”读作“约等于”，表示这是近似值，不是精确相等。总结：1.题目考查内容①算术平方根的概念与表示；

②利用计算器求正有理数的算术平方根（含完全平方数的精确值与非完全平方数的近似值）；

③近似值的取法——四舍五入到指定小数位数。2.题目求解要点①区分“精确值”与“近似值”：若被开方数是完全平方数（如3136=562），结果为整数，是精确值；否则（如2）必须用“≈”表示近似值。

②计算器操作规范：输入数字时不加逗号；注意按键顺序（部分计算器需先输数字再按.，部分相反，应以说明书或课堂实操为准）。

③近似要求的处理：保留n位小数→观察第例5题目：小丽想用一块面积为400

cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300

cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为解答：我们来从实际裁剪的几何限制出发，一步步分析是否可行：第一步：设未知数，列方程

设长方形的长为3x

cm，宽为2x

cm（符合3:2的比例）。

则面积为：

3x⋅2x=6x2第二步：求x的实际意义值

因为x表示长度的一部分，必须为正数，所以取算术平方根：

x=50长方形的长为3x宽为2x第三步：估算50的大小（关键！）

我们知道：72=49，所以49<50<64，即7<50<8。因为50比49大1，而7.12所以50≈7.07（可用计算器验证：50≈7.071）。

因此：

350≈3×7.071=21.213

cm第四步：对比正方形纸片的边长

正方形面积为400

cm2，所以边长为：

400=20

cm

而长方形的长（约21.2

cm）已经超过了正方形的边长（20

cm）。

题目强调“沿着边的方向裁出”，即长方形的长和宽必须分别平行于正方形的边，不能旋转、不能斜裁。

结论：

小明的说法“面积大就能裁出面积小的”是错误的——面积只是必要条件，不是充分条件。

裁剪是否可行，还要看形状与尺寸是否适配（即长、宽都不能超过原纸片的边长）。总结：1.题目考查内容①算术平方根在实际问题中的应用（建模、估算、比较大小）；

②利用不等式和平方数估算无理数的大致范围（如50介于7和8之间）；

③数学建模意识：将生活问题转化为数学问题（设元→列方程→解方程→验算合理性）；

④对“面积大小关系”与“可裁剪性”的辨析，体现数学的严谨性。2.题目求解要点①设元要体现比例关系（设3x、2x），避免设两个独立未知数；

②解出x=50后，必须估算其数值范围，不能停留在符号形式；

③关键比较对象是“长方形的长”与“正方形的边长”，而非面积；

④明确实际约束条件：“沿边方向裁出”→长、宽均不可超过正方形边长新知巩固题目：用计算器计算下表中各数的算术平方根（结果保留小数点后三位），观察规律；再利用3≈1.732，依据规律求0.03、300、30 000的近似值，并判断能否由3被开方数0.00030.03330030算术平方根解答：第一步：用计算器计算并填表（以标准科学计算器为例，按键顺序为：输入被开方数→按.键）0.00030.03330030填表如下：被开方数0.00030.03330030算术平方根0.017320.17321.73217.32173.2第二步：观察规律

比较被开方数与对应算术平方根的小数点位置变化：从3到300：被开方数扩大100=102倍→算术平方根扩大10倍（从3到30 000：被开方数扩大10 000=104从3到0.03：被开方数缩小100=102倍（即除以102）→算术平方根缩小10倍（从3到0.0003：被开方数缩小10 000=104倍→算术平方根缩小10归纳规律（核心结论）：若被开方数扩大（或缩小）102n倍（即乘以102n，其中n为整数），则其算术平方根扩大（或缩小）10n倍。

即：a×验证：300=0.03=30 第三步：尝试求30

注意到30=3×101，指数1是奇数，不能写成2n形式（即不是10的偶数次幂）。

因