数学(26-X-493C)答案山西卓越联盟2025-2026学年高三年级4月质量检测卷（26-X-493C）（4.9-4.10）

2025～2026学年高三4月质量检测卷参考答案、提示及评分细则1.B因为M={2,3,4},N={1,2,3},所以M∩N={2,3},集合M∩N中的元素个数为2.故选B.2.D由(1+zi)(1—i)=2i得(1+i)z=-1+3i,所以故选D.3.A由a⊥b得x+5=0,所以x=-5,a+b=(-4,—6),|a+b|=√16+36=2√13.故选A.4.A设{an}的公差为d,由a₁+a²=2,a₄=5得a₁+(a₁+d)²=2,a₁+3d=5,所以或a₁=—7,d=4.因为an是整数，所以a₁=-7,d=4,故选A.5.D由2cos2α—cosα=1得4cos²α—cosa—3=0,又α∈(0,π),所以,所以故选D.6.B因为当x∈(-1,0)时，x+1∈(0,1),2f(x)=f(x+1)=(x+1)².2f(x)-x—1=0,x=-1,y=2f(x)x²,方程2x²=x+1无解，当n≤x<n+1(n是正整数)时，f(x)=2”(x—n)²,2f(x)=x+1有一解，所以1≤7.CE的渐近线方程为,令F₁(一c,0),则,|F₁F₂|=2c.的零点个数为96.故选B.又,所以因为|PF₂|²=|PF₁I²+|F₁F₂|²,所以,所以a²=2b²=2(c²—a²),2c²=3a²,所以离心率.故选C. ,h(x)在(0,十∞)上单调递增， ,取x为—2a与e⁴中较小的值时，h(x)<0,所以h(x)在(0,十∞)上存在唯一【高三4月质量检测卷·数学参考答案第1页(共6页)】③若,h(1)=6+4a<0,则xo>1,当0<x<1时f(x)<f(1)=-1,满足题意.综上，实数a的取值范围是.故选D.9.BCD由90+92+95+96+98+95+95+95+93+95=944得该组数据的平均数为94.4,A据由小到大排列知该组数据的众数与中位数都是95,极差为98—90=8,BC正确；由(90—94.4)²+(92-94.4)²+…+(95—94.4)²=44.4知方差s²=4.44,D正确.故选BCD.10.BD因为f(x)的最小正周期为π,所以,w=2,所以f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又g(x)的图象关于直线对称，所以k∈Z,又|,所以k=1,,所以,A错误；因为所以f(x)的图象关于直线对称，B正确 ,k=1时,D正确.故选BD.11.BC,直线AB的方程为,直线AB的方程与C的方程联立，消去y得4x²—6px+p²=0,设A(x₁,y1),Bx2,y2),则,p=4,F(2,0),A错误，B正确；设直线DE的方程为x=ty+2,与y²=8x联立，消去x得y²—8ty—16=0,设D(x₃,y₃),E(x4,y4),则y₃+y₄=8t,y₃y=—16,以D为切点的C的切线方程为,以E为切点的C的切线方程为两条切线方程联立，解得T(—2,4t),所以|TF|的最小值为4,AB中点为(3,2),当切点为A,B时，T(-2,2),所以点T到AB中点的距离大于5,C正确，D错误.故选BC.12.1—√2f(O)=1+a=0,a=-1,f(a)=f(—1)=-f(1)=—(√2-1)=1—√2.13.36标有数字3,4的卡片排首位时，四位数有2A³=12个，标有数字1,2分别排在首位时，四位数有4A³=24个，共36个.取CD中点E,连接AE,BE,则CD⊥平面ABE,设球心为O,过O作OO₁⊥平面BCD,垂足为O₁,则O₁是△BCD的外心，O₁B=√3,取AB中点F,则OF⊥AB,在四边形OO₁BF中，OB等于球的半径R,BF=1.由,由OF²+BF²=R²tan,当点F与O₁在OB两侧时，tan得∠O₁BA=tan(∠O₁BO+∠OBF)【高三4月质量检测卷·数学参考答案第2页(共6页)】,点A到平面BCD的距离,四面体ABCD的体积,点A到平面BCD的距离d=ABsin,四面体ABCD的体积为所以bc=2(b²+c²—a²),……………………2分所以由余弦定理得,………………3分所以sin……………5分…………7分所以b+c=4(sinB+sinC)=4sinB+4sin(A+B)=4sinB+4sinAcosB+4cosAsinB=5sinB+√15cosB,其中锐角θ满足…11分当时，b+c取得最大值2√10,此时,………12分所以b+c的最大值2√10.…………………13分法二：因为a=√15,bc=2(b²+c²—a²)=2(b²+c²)—30,所以(b+c)²=5(b²+c²)—60,………………7分因为b²+c²≥2bc,当且仅当b=c时，取等号，所以2(b²+c²)≥(b+c)²,分正常范围内的概率为,………………2分因为服用B类药物的10名患者中，有8人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范围内的概率为因为服用C类药物的10名患者中，有9人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范围内的概率为………………………6分【高三4月质量检测卷·数学参考答案第3页(共6页)】X012P因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以BELPA,因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以BE⊥平面PAD.…………3分则P(0,0,2),E(0,1,0),B(1,1,0),C(1,2,0),……4分PC=(1,2,—2),……………………5分xb取z=1,得m=(0,2,1),………7分设平面PAB的法向量为n=(a,b,c),【高三4月质量检测卷·数学参考答案第4页(共6页)】所以又a²—b²=1,所以b²=4,C₁的方程………3分由题意知在C₂上，所以,所以,所以C₂的方程解得,……………7分因为OMLON,所以直线ON的方程为联立，解得,……………8分,所以|MN|>2√2,…………10分(ii)过原点O作OD⊥MN,垂足为D,OD是Rt△MON的斜边上的高，|MN||OD|=|OM||ON|,,所所以k变化时，点O到直线MN的距离都是√2,…………16分所以存在圆x²+y²=2与直线MN相切.…………………17分19.解：(1)f(x)的定义域为R,f(x)=e“+a(x+a)e=(ax+a²+1)e“,………………1分当a>0时，由f(x)>0得,f(x)在上单调递增，………2分因为a>0时,当且仅当a=1时取等号，所以…………………3分所以(—2,2)是的一个子区间，所以f(x)在(—2,2)上单调递增；……4分当a=0时，f(x)=x在(一2,2)上单调递增；………………5分【高三4月质量检测卷·数学参考答案第5页(共6页)】当a<0时，由f'(x)>0得,所以f(x)在上单调递增，…6分所以(—2,2)是的一个子区间，所以f(x)在(一2,2)上单调递增.……7分综上，对于任意实数a,f(x)在(-2,2)上单调递增.………8分(2)(i)因为-2是f(x)的一个极值点，所以f(-2)=(-2a+a²+1)e-2a=0,所以分所以g(x)=(x—b)²f(x)=(x—b)²(x+1)e,g(x)的定义域为R,g'(x)=2(x—b)(x+1)e+(x—b)²(x+2)e=(x—b)(x²+4x—bx+2—2b)e,g(0)=b²,g'(0)=2b²—2b,所以曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y—b²=(2b²—2b)x,即(2b²—2b)x-y+b²=0.…………………·11分即x²+(4—b)x+2(1—b)=0的两个实数根因为g(x)有3个极值点，所以上述3个根互不相等，从而b≠-1,将x₁,x2,x3经过一定排列后成等比数列，则x₁x₂=x²或x₁x₃=x2或x2x₃=x².……13分当x1x2=x³时，,b²+2b—2=0,b=-1±√3,x₁,x3,x2成等比数列；…………14分所以(2—b)√b²+8=6,(2—b)²(b²+8)=36,令h(x)=(2-x)²(x²+8),则h’(x)=2(x—2)(x²+8)+2x(