中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项测试卷（带答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《等腰等边三角形“三线合一”》专项测试卷（带答案）1．（24-25辽宁葫芦岛·月考）为等边三角形，延长直线使，CE=AC，BF、平分和，连接，则(1)与的位置关系为；数量关系为．(2)如图，若改为等腰直角三角形其他条件不变试探究与的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)若（2）中，请直接写出．2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，BC=6，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设(1)探究与的数量关系，并说明理由．(2)设，求S关于t的关系式；(3)Q在内部，当时，求t的值．3．（25-26江西上饶·期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．(1)等腰直角三角形(请填写“是”或“不是”)勾股高三角形；(2)如图1，已知△为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值；(3)如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度．4．（25-26浙江宁波·期末）如图1，在等腰中，点P是边上的一个动点（与点不重合）直线是经过点P的一条直线与边交于点D把沿直线翻折点C的对应点是点．(1)如图2若直线求的度数(2)如图3当时若点恰好落在直线边上求的长度(3)在点P和直线变化的过程中若点恰好落在边的中点上求此时的长度．5．（2025·山东临沂·模拟预测）如图1在正方形中平分交于点F过点C作交的延长线于点G交的延长线于点E．(1)求证：(2)如图2连接求证：平分(3)如图3连接交于点M求的值．6．（2024·江苏泰州·月考）正方形中点E是对角线上一动点过点E作交射线于点F以为邻边作矩形连接．(1)求证：矩形是正方形(2)若求的长(3)当与正方形的某条边的夹角为时直接写出的度数(4)若点为中点连接试判断和的位置关系并说明理由．7．（2026·陕西西安·三模）问题探究(1)如图①已知中平分．若为上一动点连接则的最小值为_____(2)如图②已知中为中点作分别交边于两点四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积若发生变化请求出四边形的面积的最小值问题解决(3)如图③某公园中有一块四边形空地经测量米．现计划对该空地进行重新规划分别在边上选取点并沿修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计）设计要求四边形的面积为平方米该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本四边形的周长是否存在最小值？若存在请求出这个最小值若不存在请说明理由．8．（2025·贵州遵义·一模）如图在等腰中点为的中点点是边上一点四边形为正方形．(1)求证：(2)当点在边上运动时的面积是否变化？若不变请你求出的面积若变化请你说明理由(3)当点在边上运动时求的周长的最小值．9．（2026·浙江丽水·一模）如图在中分别为的中点连接为的中点过点作垂足为点交的延长线于点连接．(1)若求的长(2)证明：(3)当时求的值．10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中于点M且点M为的中点。(1)如图1求证：为等边三角形(2)如图2点DE分别在上连接相交于点F求证：(3)如图3在（2）的条件下于点G连接点H为外一点连接点I为内一点连接若求的面积．11．（2025·辽宁辽阳·一模）如图四边形是矩形连接将绕点逆时针旋转得到．(1)如图1当点在上时连接．请直接写出线段和的数量关系：(2)如图2当点不在上时相交于点O请写出线段的数量关系并证明你的结论(3)若在旋转过程中当点在同一条直线上时请直接写出线段的长．12．（25-26吉林·月考）如图在中点在边上满足．点是折线上任意一点且不与的顶点重合．将沿PD翻折得到．(1)的长为_______．(2)当点是中点时求的值．(3)当时求的值．(4)当点在直线上方时若与重叠部分为钝角三角形时直接写出的取值范围．13．（25-26重庆·月考）如图为等腰三角形延长到点使得连接点分别为中点连接．(1)如图1若请你求出的度数(2)如图2过点作于延长交于点求证：(3)如图3若点分别为直线直线上的动点点为中点连接在（1）问的条件下若请直接写出的最小值．参考答案1．(1)(2)(3)【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得根据中位线的性质可得即可求解（2）同（1）可得根据勾股定理可得即可求解（3）由可得根据（2）中的结论即可求解．【详解】（1）解：平分．平分．．为等边三角形．．．．．（2）解：．证明：平分．平分．．为等腰直角三角形．．．．（3）解：．．2．(1)理由见解析(2)(3)【分析】本题考查等腰三角形的性质平行四边形的性质勾股定理熟练掌握相关性质定理是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到设点P到的距离为利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和进而探究二者的数量关系即可（2）过点D作于点E根据勾股定理求出长利用“等面积法”求出长进而求出由（1）知据此解答即可（3）根据平行四边形的性质得到进而得到利用求出进而求出长利用列方程求解即可．【详解】（1）解：理由如下：垂直于D设点P到的距离为（2）解：如图过点D作于点E在中由勾股定理得：由（1）知（3）解：设交于点M四边形是平行四边形由（2）知在内部整理得：解得．3．(1)是(2)(3)【分析】（1）根据勾股高三角形的定义即可判断（2）根据勾股定理得到再由可得最后由计算即可得到答案（3）过点作于证明为等腰三角形即可解决问题．【详解】（1）解：等腰直角三角形是勾股高三角形．设等腰直角三角形的直角边长为则斜边长为等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高等腰直角三角形是勾股高三角形（2）解：∵为勾股高三角形点为勾股顶点（3）解：如图过点作垂足为点．∵等腰三角形为勾股高三角形且∴只能是由（1）②知．又而∵∴∴∴∴为等腰三角形．又．4．(1)(2)(3)【分析】本题考查等腰三角形的性质折叠问题勾股定理含30度角的直角三角形熟练掌握相关知识点是解题的关键：（1）平行线的性质结合折叠的性质即可得出结果（2）过点作分在边上和当在延长线上两种情况进行讨论求解即可（3）过点作作等腰三角形的性质结合勾股定理求出的长设进而求出的长进而求出在中利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：直线∵折叠（2）证明：过点作①在边上时∵∵折叠②当在延长线上同理得∴（3）解：过点作作∵∴∴∵折叠∴设∵是的中点∵在中由勾股定理得：．5．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）先运用以及正方形的性质证明再运用正方形的性质推导出最后通过证明证得（2）先运用正方形的性质以及平分求得再在中运用三角形内角和定理证得从而得到运用“三线合一”定理证得结合“斜中半”定理证得最后运用正方形的性质推导出从而证得平分（3）先证再证从而可得．【详解】（1）证明：∵过点C作交的延长线于点G∴∵四边形是正方形∴在中∵∴同理在中∵∴∴∵∴．∵四边形是正方形∴∵在和中∴∴（2）证明：∵四边形是正方形∴∵平分∴由（1）可知即∵∴∵∴∴∴．∵∴∵四边形是正方形∴∴∴．∵在正方形中∴∴∴∴平分（3）解：如图连接由（2）可知∴由（2）可知∴∵∴∵四边形是正方形∴∴即∵四边形是正方形∴∵在和中∴∴∵平分∴∴∵∴∴∵正方形中∴∴．6．(1)见解析(2)(3)或(4)理由见解析【分析】（1）过点作于点于点然后证明即可得到即可证明（2）先由勾股定理求解则再证明即可得到（3）分两种情况讨论即与的夹角为或与的夹角为根据正方形的性质以及四边形内角和定理求解即可（4）可得此时重合由四边形是正方形得到．【详解】（1）证明：过点作于点于点则∵四边形是正方形∴平分∴∵四边形是矩形∴∴∴∴∴矩形是正方形（2）解：在正方形中∴∵∴∵在正方形中∴∴∴（3）解：当与的夹角为时即如图∵四边形是正方形∴∴∵在四边形中而∴当与的夹角为时即如图设交于点由题意得∵∴综上：的度数为或（4）解：理由如下：如图∵在正方形中又∵点为的中点∴即∵点在射线上∴此时重合∵四边形是正方形∴．7．(1)(2)四边形的面积不会变化面积的最小值为平方米(3)存在四边形的周长的最小值为米【分析】（1）根据三线合一得到当时的值最小由等面积法即可求解（2）根据题意是等腰直角三角形证明得到结合图形面积的计算及等量代换即可求解（3）如图所示过点作于点过点作于点可算出（平方米）如图所示过点E作于点K设米米得到则最小即可点重合点重合此时的值最小由此即可求解．【详解】（1）解：∵平分∴∴在中为上一动点连接∴当时的值最小∵∴（2）解：四边形的面积不会变化面积为16平方米理由如下如图所示连接∵已知中为中点∴是等腰直角三角形∴∴∵∴∴在中∴∴∵∴∴四边形的面积不会发生变化∵∴四边形的面积为（3）解：存在四边形的周长的最小值为米理由如下∵米∴四边形是等腰梯形如图所示过点作于点过点作于点∴∴∴四边形是矩形则米在中米∴米米∵米同理米米∴米∴（平方米）∵四边形的面积为平方米∴（平方米）如图所示过点E作于点K设米米∴则∴米米∴（平方米）（平方米）∴化简得∴米则米∴当值最小时四边形的周长存在最小值把绕点逆时针旋转得到作点关于射线的对称点交于点连接如图所示由旋转可得∵∴共线米∵米∴米∵当共线时取得最小值最小值为的长即米∴四边形的周长的最小值为（米）．8．(1)见解析(2)的面积不变(3)【分析】(1)连接利用证明得(2)作于点连接利用得则从而说明的面积不变即可解决问题(3)由(2)知点在直线上运动作点关于直线的对称点则的最小值为的长利用勾股定理求出的长进而解决问题．【详解】（1）证明：连接.∵是等腰直角三角形点为的中点∴∵四边形是正方形∴∴∴∴∴（2）解：的面积不变作于点连接.∵是等腰直角三角形∴∵是等腰直角三角形∴∴∴∴∴∴（3）解：由(2)知点在直线上运动作点关于直线的对称点则的最小值为的长∴垂直平分∴∵∴由勾股定理得∴的周长最小值为.9．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据题意可得是的中位线推出结合即可求解（2）连接根据题意可得是的中位线推出进而得到结合推出由是的中位线推出证明根据全等三角形的性质即可得证（3）根据为的中点得到再根据为的中点得到即可求解．【详解】（1）解：为的中点为的中点为的中点是的中位线（2）证明：连接为的中点为的中点是的中位线是的中位线在和中（3）解：为的中点为的中点．10．(1)见解析(2)见解析(3)24【分析】（1）证明即可证明为等边三角形（2）根据等边三角形的性质证明得到再结合三角形内角和定理求解即可（3）连接过点作的垂线垂足分别为连接过点作的垂线垂足为过点作的垂线垂足为连接由等腰三角形的性质推出再通过证明全等三角形从而得出得出设求出过点作的垂线垂足为利用30度角所对的直角边等于斜边一半得出即可计算出的面积．【详解】（1）证明：∵于点M且点M为的中点∴∵∴∴∴∴为等边三角形（2）证明：∵为等边三角形∴∵∴∴∵∴∴（3）解：如图连接过点作的垂线垂足分别为连接过点作的垂线垂足为过点作的垂线垂足为连接∵∴∵∴∴∵∴∴在四边形中∵∴∵∵又∵∵∴又∵∴∴又∵∴∴∴∵∴∴在等腰直角形∵∴∵∴∵∴∴在中点是的中点∴∴是等边三角形∴设∴∴∴∴过点作的垂线垂足为在中∴∴的面积．11．(1)(2)证明见解析(3)或【分析】（1）如图：设与交于点N与交于点证明得到再证明得到又由是等腰三角形根据三线合一的性质即可解答（2）如图2：连接延长与交于点G证明得到再证明得到接着证明得到再由是等腰三角形可知O是的中点即可得到（3）分两种情况讨论：当F点在的延长线上时过点E作交于点H根据三角形面积相等求出在中用勾股定理求出则在中用勾股定理求出当F点在的延长线上时过点E作交于点K同理可得在中用勾股定理求出．【详解】（1）解：如图：设与交于点N与交于点∵四边形是矩形∴∵将绕点逆时针旋转得到．∴∵∴∵∴∴∵∴∴∵∴∵∴是等腰三角形∴．（2）证明：如图2：连接延长与交于点G由旋转可知∴∴∴∵∴∴∴∴∴∴∵∴∴∴是等腰三角形∴O是的中点∴（3）解：如图3：当点F在的延长线上时过点E作交于点H∵∴由旋转可知∴在中∴∴在中如图4：当F点在的延长线上时过点E作交于点K同理可得∴在中综上的长为或．12．(1)8(2)(3)或(4)或【分析】（1）过点作结合等腰三角形的性质根据求得即可求解（2）过点作根据求得根据勾股定理求得根据求得的长即可求得的长再根据勾股定理即可求出的值（3）分两种情况：当点在边上时当点在边上时分别求解即可（4）当于点时为临界情况计算出此时的长即可求出