【《浅析凸凹函数在证明不等式中的应用》6800字（论文）】

浅析凸凹函数在证明不等式中的应用目录TOC\o"1-2"\h\u158651.绪论 1126031.1选题背景 1209341.2研究意义 1194211.3国内外研究现状 2108502.相关概念介绍 3185972.1凸凹函数的概述 381522.2凸凹函数的定义 397202.3凸凹函数的性质 4192902.4不等式的概述 8253752.5重要的不等式证明方法介绍 8139563.凸凹函数在不等式证明中的应用 953563.2利用柯西不等式与凸凹函数证明不等式 13137853.3利用凸凹函数的性质证明不等式 1432814.结束语 15205095.参考文献 16摘要：随着人们对高中数学重视程度的增加，近年来我国出现越来越多对高中数学的研究，尤其是凸凹函数的研究得到了极大的发展，凸凹函数的应用在高中数学中占有重要地位，虽然高中教材没有将凸凹函数进行定义，但在函数习题中却常常用到该知识点，凸凹函数是函数知识中较为复杂的一种函数，凸凹函数知识的学习需要学生具备较强的抽象思维能力，所以一直以来凸凹函数的学习都是学的难点.因此对凸凹函数进行研究具有一定的必要性.因此本文主要对凸凹函数在不等式证明中的应用进行探讨，首先简要概述的凸凹函数的定理，其次对凸凹函数的几何特征进行了分析，最后根据凸凹函数在不等式中的实际运用进行了探讨.希望本文的研究能引导人们正确理解凸凹函数的定理及几何特征，并灵活运用在不等式的证明中.关键字：凸凹函数；不等式；证明1.绪论现代数学快速发展，不等式的证明方法也层出不穷，利用函数的性质证明不等式是20世纪以来的研究热点，其中利用与凸凹函数直接相关的Jensen不等式来证明许多较为复杂的不等式又是一个研究重点之一.因此本文将详细的介绍凸凹函数，并且将凸凹函数应用到不等式的证明中来，如利用Jensen不等式证明不等式，或是直接利用凸凹函数的性质证明不等式，在之后再利用其它方法证明与凸凹函数证明同一个不等式以此来突出凸凹函数证明不等式的简洁.1.1选题背景凸凹函数涉及了许多数学概念与推导，函数的极值问题与单调性以及取值范围，函数的走向如何也与函数的凸凹性有着直接关系，通过函数的凸凹性可以直接判断出函数图像的大致.凸凹函数在数学以及相关领域中可以说应用甚广，是一个非常重要的函数.20世纪以来不等式一直是数学领域的研究热点之一，在20世纪90年代更是达到了空前的热度.不等式在数学中有着非常重要的应用，且通过不等式也将数学应用到了许多相关领域.凸凹函数的建立与不等式有着密切的联系，其中凸函数的经典内容Jensen不等式经常用于证明不等式.利用函数证明不等式时，重点是利用函数的性质对所证明的不等式进行推理与论证，而函数的凸凹性是函数非常重要的性质之一，对于有二阶导数的函数，函数的凸凹性在证明不等式中有着非常重要的应用.1.2研究意义不等式的类型非常丰富，不等式的证明方法同样很多，有些不等式的证明比较复杂繁琐，其中利用凸凹函数证明不等式是也一种较为少见的证明方法，使证明过程繁琐的不等式变得简便.随着新课程的改革，高中有关于利用函数证明不等式的题目变得越来越常见，在此类题目中主要考察的就是函数的一阶导数与二阶导数以及函数的一些性质在不等式的证明中的应用.因此凸凹函数的性质，凸凹函数在不等式中的应用以及凸凹函数对于不等式的证明，对于中学生而言在函数与不等式的学习中有着非常重要的意义.1.3国内外研究现状近年来，国内外有很多的硕士、博士、学者、一线老师等都在研究这个问题.利用凸凹函数的性质来寻求简便的证明不等式的方法在国内已经取得了一定的研究成果，且国内对于这方面有着较为全面的研究.1.3.1国外研究现状利用凸凹函数证明不等式在国外取得了较多的研究成果，虽然对于这方面的研究相较与国内并不算全面，但是有着较深的研究成果.1.3.2国内研究现状根据国内的文献资料显示，有关与凸凹函数的研究很多，许多学者都对其进行了较为全面的探讨与研究，其中也包括了许多凸凹函数在不等式中应用的文章，包括了直接证明的应用以及辅助证明的应用：夏晓丹在她的《凸函数-琴生不等式在中学中的应用》中介绍了凸凹函数的性质以及发展情况，并介绍了Jensen不等式的证明以及变换，最后研究了其在融入高中数学中教学中的作用.在任莉丽的《凹凸函数在不等式证明中的巧用》一文中针对凹凸函数在不等式的证明中的应用进行了探讨，对凹凸函数的定理与几何特征进行了概述与分析，然后对凹凸函数在不等式中的实际运用进行了探讨.在欧阳资考的《凸函数在证明不等式中的应用》中，介绍了凸函数的各种性质以及定义，还给出了凸函数常见的判定定理，在例题中利用了凸函数的性质直接证明了不等式，且对其凸函数在不等式证明中的应用进行了总结探讨.在刘丽红的《凸函数的Jensen不等式及其应用》中介绍了Jensen不等式的性质以及经过映射后的性质，同时也给出了Jensen不等式的应用.在李德宝的《凸凹函数的性质与应用》中，介绍了凸凹函数的各种性质与应用，最后还对凸凹函数的性质应用进行了总结.本文介绍了凸凹函数能很好的解决求函数值和的问题.石萌萌的《数学归纳法在不等式证明中的一些应用》中介绍了数学归纳法在高中数学中的地位，表达了数学归纳法是非常重要的，总结了利用数学归纳法证明不等式的多种方法，且给出了详细的例题讲解.刘瑞香的《不等式的证明方法》中，结合了典型的例题给出了不等式证明方法的总结，其中有拉格朗日中值定理证明方法，重要不等式证明方法，函数的极值与最值证明方法，泰勒公式证明方法，函数的凸凹性证明方法，最后对这些方法进行了总结.2.相关概念介绍2.1凸凹函数的概述凸凹函数是一种非常重要的函数，且凸凹函数多应用于高等数学，不过近年来在许多大学的自主招生考试以及高中的数理类考试竞赛中都会遇到此类的题型，但是高中的教材里并未给出系统的定义，高中学生只能通过自学来解决相关问题.凸凹函数以及其定义本身是建立于不等式上的，这使得凸凹函数在证明不等式中有着非常多的应用，可以简便的解决许多较为复杂的不等式.2.2凸凹函数的定义定义1：设函数在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，存在任意两点、属于[a，b]，并且恒有那么在区间上为严格凸函数；若恒有，那么在区间上为严格凹函数；若恒有，那么在区间上为凹函数；若恒有，那么在区间上为凸函数.定义2：设函数在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，存在任意两点属于[a，b]，且有t，则恒有[t+（1-t）]那么在区间[a，b]上为凹函数.若[t+（1-t）]则那么在区间[a，b]上为凸函数.定理1：设函数在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么是凹函数的充要条件是"，是凸函数的充要条件是".即一阶导数为增函数则就是凹函数，若的一阶导数为减函数则就是凸函数.此定理是判断函数凸凹性的常用方法.定义4：设函数在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，存在任意两点属于[a，b]，以及存在t（0，1）.当满足，时就是[a，b]上的凹函数.当满足<，时就是[a，b]上的严格凹函数.当满足，时就是[a，b]上的凸函数.当满足>，时就是[a，b]上的严格凸函数.2.3凸凹函数的性质2.3.1凸凹函数的几何特性在凸凹函数中有两种常见的几何表现形式，也称之为凹弧和凸弧.有凹弧几何表现形式的即为凹函数，有凸弧表现形式的即为凸函数，凸凹函数在坐标系中的图像正如其名，凸函数在图像中为上凸的.在图一中：y0x图1凸凹函数曲线图凹函数主要有以下特点：假设与是凹函数图像上的两个点，则对应的横坐标为，，并且存在，所以就会有（，），（，），过点作为轴的垂涎并且与函数交于点P，交，于点M.存在任意两点与之间的部分在弦和的下方，则可以判断出该函数为凹函数，如下图2所示：M0P图2凹函数曲线图曲线在该区间的凸函数；在该区间的凹函数.凸函数主要有以下特点：假设与是凹函数图像上的两个点，则对应的横坐标为，，并且存在，所以就会有（，），（，），过点作为轴的垂涎并且与函数交于点P，交，于点M.存在任意两点与之间的部分在弦和的上方，则可以判断出该函数为凹函数，如下图3所示：MP0图3凸函数曲线图2.3.2凸凹函数的性质性质1：若是在区间[a，b]上为凹函数，有[a，b]上任意三点＜＜，则恒有：.性质1证明:设t=，则0<t<1，且1-t=及t=可得=t+（1-t），再由定义2有[t+（1-t）]得[t+（1-t）]从而可得-（1-t）[-]，-（1-t）[-]从而可得出两个式子：（1）（2）由（1）和（2）就可以推出性质2：若是[a，b]上的凸函数，对[a，b]内任意的，，，当<<时，有性质2证明：令t=，由<<可得0<t<1.+=（1-t）+t.又有为是在[a，b]上的凸函数.>+.+..性质3：（1）若在区间I上的下凸函数，对于…I和nN，满足不等式.（2）若在区间I上的上凸函数，对于…I和nN，满足不等式.注：Jensen不等式与凸函数有着密切的联系，而凹函数在某些时候也称为下凸函数，因此在利用凸凹函数证明不等式时，更多的是利用到Jensen不等式.（3）设，为[a，b]上的可积函数，而mM，>0，>0，则当（myM）为凸函数时满足：.（4）设，为[a，b]上的可积函数，而mM，>0，>0，则当（myM）为凹函数时满足：.2.4不等式的概述不等式在数学中是一个及其重要的内容，它反映的是一个固定数量（或变量）与一个固定数量（或变量）之间的某种大小关系，确定某些量的大小对于数学中的函数问题有着极大的帮助，所以不等式一直是许多相关的专家学者研究的热点．不等式在许多领域有着非常广泛的应用，同时在数学中有着重要的地位.不等式的证明在各类数学竞赛和研究生入学考试中是比较常见的，而在面对一些较为复杂的不等式时，经常令人感觉无从下手．而凸凹函数可以较为简便的证明许多繁琐的不等式，因此研究凸凹函数在不等式中的证明方法就非常必要.以下是本文中用到的不等式：R，，，当为0时可取等号.，，则+2，，则+2（5）2.5重要的不等式证明方法介绍以下是一些不等式证明方法的介绍：（1）利用已知的不等式或特殊的不等式来证明不等式，如利用高中所学的柯西(Cauchy)不等式．这些方法可以解决大部分高中遇到的不等式问题.（2）利用拉格朗日（Lagrange）中值定理来证明不等式，这种方法可以解决绝大部分的不等式问题.（3）利用函数的单调性证明不等式，此类方法适用于存在二阶导数的函数的不等式证明，求出函数的一阶导数，并确定函数的单调性，即可进行证明，此方法适用于高中阶段的学生.（4）利用泰勒（Tylor）公式证明不等式，此类方法在所要证明的不等式的是函数且或可以构造函数的不等式的证明，且函数需具有二阶导数才可更好的利用.（5）利用凸凹函数证明不等式首先可以用凸凹函数的性质，其次还可以利用函数凸凹性的几何意义来证明.证明不等式的方法多种多样，而各种方法在面对不同的不等式时都有着不同的优势，其中最简单的就是利用已知不等式来证明不等式，许多高中生甚至初中生就能够利用.而在面对复杂的不等式时则比较难利用这种方法，可能需要利用到拉格朗日（Lagrange）中值定理，但是此方法并不适用于中学生，因此研究凸凹函数在证明不等式中的应用可以帮助中学生解决较为繁琐的不等式.3.凸凹函数在不等式证明中的应用例1：在△ABC中，求证:（1）++（2）证明：（1）令=-，（0，），由于">0，则在（0.π）是凹函数.所以由Jensen不等式得:，即得:=.++.（2）令=，（0，），由">0，则在（0，）是凹函数，所以由Jensen不等式得:..由第一问的结论可有++...注：当且仅当===时，第（1）和第（2）问可取等号.例2：在□ABCD中，求证：+++..证明：令=，（0，），由于"<0，则在（0，π）是凸函数.所以由Jensen不等式得:.可得：1.+++.（2）令=，（0，），由"<0，则在（0，）是凸函数，.所以由Jensen不等式得:.由第一问的结论可有+++..1.注：当且仅当====时，第（1）和第（2）问可取等号.评析：在证明此类不等式中，首先构造一个合适辅助函数，然后验算它是凹函数还是凸函数，再利用由凸凹函数推出的Jensen不等式来找到规律，即可非常方便的证明，且验算过程也比较方便，可以帮助解决解决类似的几何问题.在与此题类似的不等式中，利用凸凹函数来证明不等式显然要比利用其它方式要简单.在本次证明中，利用到了之前介绍到的两个凸函数与凹函数，另外还构造了两个复合函数以及-.例3：求：在圆内最大的内接三角形的面积是多少？证明：设定圆半径为R，其内接△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S．则S==2R2··.由例1中的（1）可知··.当且仅当===，即A=B=C=时可取等号S2R2·.所以：当定圆的内接三角形为等边三角形为等边三角形时，可取三角形的最大面积S=R2.评析：根据凸凹函数的性质我们可以很轻易的证明不等式S2R2·，并依次得到三个角的度数，得知为A=B=C=，就可以得到定圆的内接三角形的最大面积是R2，所以圆内接三角形的最大面积就是三个顶点在该圆的边上的等边三角形.可以看到此证明简洁且较为方便，因此研究凸凹函数在证明不等式中的应用是很有必要的.例4：当以及都为正数且不全相等，试证明：.证明：令=，那么"=-，当存在（0，+）时，"<0，所以为凸函数，所以可由Jensen不等式得：..令=-，那么"=，当存在（0，+）时，">0，所以为凹函数，所以可由Jensen得：-...得证：.评析：在此例题中，利用到了凸凹函数中的Jensen不等式证明了一个看起来较为繁琐的不等式，但是在证明中完美可以看到，只要构造了=以及=-这两个辅助函数那么这个问题就可以很方面简洁的证明，在第一问和第二问中我们只需验证出辅助函数的凸凹性，即可直接利用Jensen不等式进行简洁的证明.3.2利用柯西不等式与凸凹函数证明不等式3.2.1柯西不等式介绍柯西不等式是由柯西（Cauchy)在研究数学分析时得到的.但该不等式其实应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为柯西（Cauchy)不等式是由后两位数学家独立地研究中才将之推广开来.柯西不等式在高中课本里就出现了，且对于柯西不等式的应用在中学的各种考试中也时常出现.，公式变形当且仅当ad=bc（即=）时，可取等号.例5：已知a，b为正数，并且a+b=1，求证证明：由柯西不等式：（a+b）≤（a+b）·（1+1）即a+b≥=又（1+1）即≥8.得证：=a+2++++2=a+b+++4=.由凸凹函数的性质：函数=由函数的定义域可知属于（0，1），即函数=2·，"=2＞0所以函数在其定义域上是凹函数，有得=即得≥评析：在本题中，首先利用柯西不等式求出了≥8，a+b≥=这两个重要的不等式，即得到了≥=.而由凹函数的性质可得到=，化解即得≥.由两种方法可以看出在柯西不等式证明方法中利用到了三个重要不等式，且化解比较多，而利用凸凹函数的性质证明只需要利用到凸凹函数的一个性质得到一个式子，化解即可得到.所以利用凸凹函数的性质可以令原本较为复杂的不等式的证明变得简单化，也可以更好的利用此性质进行教学.3.3利用凸凹函数的性质证明不等式例6：证明：-1<<2时，-2-12+13+22>0.证明：设=-2-12+13+22，，在上连续，在（-1，2）内，有"=12<0.在上是凸函数，又==0，于是对（-1，2），取，0<<1，（1-）（-1）+·2，由在上是凸函数有=[（1-）（-1）+·2]>（1-）+·=0.即（-1，2）时有-2-12+13+22>0.评析：本证明利用了凸凹函数证明了不等式，对于此类题型，最重要的点就是构造辅助函数来证明，在题中令=-2-12+13+22，则可求出相应的凸凹性进行证明.一但构造了辅助函数，那么只需要求出二阶导数，即可简单证明，此类题型也会由复杂变得简便.4.结束语本文介绍了通过凸凹函数的性质以及不等式，对凸凹函数进行了细致的介绍，这可以让学生对于凸凹函数有一个更深的认知.同时也本文给出了凸凹函数在不等式中的多种证明方法，利用凸凹函数来证明不等式让很多较为复杂的问题变得简单化，可以为许多学生证明不等式提供一种新方法.同时凸凹函数的定理、定义以及性质都进行了详细的介绍，这对于学习函数也有着极大的帮助.而本文对于凸凹