四川省内江市2025～2026学年高二数学上学期期末考试【含答案】

本试卷共4页，全卷满分150分，检测时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A解析：抛物线，，即，该准线方程为.故选：A.2.下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面 B.用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台C.一个棱柱至少有两个面互相平行 D.四边形一定是平面图形【答案】C解析：对于A，由基本事实一可知，不共线的三点可以确定一个平面，故A错误；对于B，用平行于底面的平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，故B错误；对于C，由棱柱的性质可知，任意棱柱上底面与下底面平行，故C正确；对于D，在空间中，不共面的四点构成的四边形是空间四边形，故D错误.故选：C3.圆与圆的位置关系是（）A.外离 B.内含 C.相交 D.外切【答案】A解析：因为，；，.则，，所以，所以圆与圆外离.故选：A4.已知，，且，则（）A. B.4 C.3 D.6【答案】B解析：因为，，且，所以.故选：B5.如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】B解析：如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角．又，．又，，，为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．6.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，且与和椭圆的另一个焦点构成的的周长为12，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D解析：由椭圆方程，可得椭圆半长轴为，半短轴为1，因为的周长为12，所以，所以，所以，解得，所以半焦距，所以椭圆的离心率为.故选：D7.如图，在四面体中，，点为的中点，，则（）A. B.C. D.【答案】B解析：因为，所以故.故选：B.8.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（）A.2 B. C. D.4【答案】D解析：由题意可得，所以,所以,由题意可得，所以，又因为是蒙日圆上的两个动点，所以当为该圆的直径时，取最大值，即蒙日圆的直径为，所以半径为，由题意可得该蒙日圆的半径为，所以，所以，又因为椭圆的离心率为，所以，，所以，所以，解得，所以，所以，所以椭圆的焦距为.故选：D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，，则下列说法正确的是（）A.直线的一个方向向量是B.若，则C.若，则直线，之间的距离为D.直线过定点【答案】AD解析：，所以该直线的斜率为.，所以该直线的斜率为，恒过点.对于A，因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是，设，显然，所以直线的一个方向向量是，故A正确；对于B，当时，直线的斜率为，因为，所以不成立，故B错误；对于C，若，所以，所以，所以直线，之间距离为，故C错误；对于D，直线过定点，故D正确.故选：AD10.如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）A.平面平面B.平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.若点为棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为【答案】ABD解析：对于A，正方体中由平面，平面，可得，又，平面且，所以平面，因为平面，所以，因为在平面内的投影为，而，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；对于B，正方体中与平行且相等，则是平行四边形，，平面，平面，所以平面，同理平面，，都在平面内，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，与A选项同理可证平面，当是与交点时，平面，，异面直线与所成角为，故C错误；对于D，设的中点为，连接，，，，如图所示，因为分别为的中点，由正方体性质可知，且，所以四点共面，即由三点确定的平面与正方体相交形成的截面为四边形，因为正方体的棱长为1，所以，，则，故四边形的周长为，故D正确.故选：ABD.11.已知动点是双曲线上的点，点，是双曲线的左，右焦点，下列结论正确的是（）A.若，则的面积为3B.点到双曲线的两条渐近线的距离之积为C.若过点的直线与双曲线右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于一点，则D.若过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点，且，则的最小值为【答案】ABC解析：易知，，，所以，，渐近线方程为.对A：如图，不妨设位于第一象限，因为，所以，所以.所以.故A正确；对B：设，则，则到两条渐近线的距离分别为：，，所以.故B正确；对C：因为直线不能为双曲线的通径，所以可设直线：，代入，得：.设，，则，，且，，.所以，所以.又，，所以的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为：，令可得，所以.所以.所以，故C正确；对D：设直线：，由得；由得；由.又，所以.又，,所以当时，.因为.即的最小值为8.故D错误.故选：ABC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线的倾斜角为_________．【答案】解析：，则，斜率为则，解得故答案为13.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆柱的体积为_____.【答案】解析：由圆柱和圆锥的底面半径相等，可设其半径为，则根据侧面积公式可得：，所以圆柱的体积为，故答案：14.已知三棱锥满足：底面，，底面的面积为2，且侧面侧面，则三棱锥外接球表面积的最小值为_____.【答案】解析：过作于，因为侧面侧面，又侧面侧面，所以侧面，又侧面，所以，又因为底面，底面，所以，又，侧面，所以平面，又因为平面，所以，因为底面的面积为2，可得，所以由题意可得和是共用斜边的直角三角形，所以是三棱锥外接球的直径，所以，当且仅当时取等号。所以，所以，即三棱锥外接球的半径的最小值为，所以三棱锥外接球表面积的最小值为.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程.（1）已知椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程；（2）求焦点在轴，虚轴长为，渐近线方程为的双曲线标准方程.【答案】（1）（2）（1）由题意可知，，，则，故椭圆的标准方程为；（2）设双曲线的标准方程为，则，，得，则双曲线的标准方程为.16.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解（1）取中点，连接，为的中点，,，，四边形是平行四边形，即,平面，平面，∥平面.（2）平面，平面，，，则，，，即，又平面，平面，平面.17.已知抛物线第一象限上的点到焦点的距离，点到轴的距离为.（1）求抛物线的方程和点的坐标；（2）若直线与抛物线相交于，两点，求的值.【答案】（1），；（2）.（1）设点,因为在第一象限且到轴的距离为,所以.又因为点到焦点的距离等于点到准线的距离，且,所以.同时在抛物线上，则，解得.又因为，所以，从而得到.所以抛物线方程为,点的坐标为.（2）将直线与抛物线联立:,所以.由可以得到.已知,,.则,18.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.（1）求动点的轨迹的方程；（2）动点的轨迹与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，点为轨迹在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点.（i）直线，的斜率分别记为，，求证：为定值；（ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值.【答案】（1）；（2）（i）定值为，证明见解析；（ii）（1）由题意可得，，平方整理可得：，此时，满足，所以动点的轨迹的方程为；（2）（i）由直线，的斜率分别记为，，设点，且，由（1）可得：，则，所以（ii）记面积为，的面积为，四边形的面积为，则，因为由点为椭圆在第一象限上任一点，令，则，方法一：设，则，所以，，所以，故，所以，所以，所以的最大值为，此时，，方法二：令，则因，则，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，故的最小值为，故的最小值为，故最大值为.19.如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点.（1）若为线段中点，求证：，，，四点共面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小；（3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）（1）取中点，连接，由N为PB中点，得，依题意，，所以，所以，，，四点共面；（2）取中点，连接，由，得，而平面平面，平面平面平面，则平面，过作，则平面，又平面，于是，在矩形中，，，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则