四川省泸州市泸县2026届高三数学下学期第2次月考试卷【含答案】

第I卷选择题58分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A，再利用交集的定义即可求出.【详解】由得：，所以集合，故故选：A2.已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法及乘法运算可求复数，再利用复数的基本概念及几何性质可求.【详解】，故，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.3.若函数为偶函数，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.【详解】由题意可知：为函数的对称轴，则，则，对于选项A：令，解得，不合题意；对于选项B：令，解得，符合题意；对于选项C：令，解得，不合题意；对于选项D：令，解得，不合题意；故选：B.4.展开式中含的项的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式通项公式结合条件即得.【详解】的展开式通项为，由可得，因此，展开式中含的项的系数为.故选：D.5.已知随机事件发生的概率分别为，，若，则（）A.0.5 B. C.0.12 D.0.18【答案】C【解析】【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】由，可得．故选：C6.若平面向量，则的最小值为（

）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系求出与的关系，利用基本不等式求的最小值.【详解】∵平面向量与平行，∴，化简可得.∴，当且仅当，由，可得，时取等号.所以的最小值为.故选：B7.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，然后利用倍角公式求解即可.【详解】因为为锐角，所以，又，所以，,故选：B.8.设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据角平分线定理结合余弦定理计算离心率即可.【详解】由题设，由角平分线定理可得，则，.在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得.由得.解得.则，即，所以双曲线的离心率为.故选:B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）A.平均数B.标准差C.平均数且极差小于或等于D.众数等于且极差小于或等于【答案】CD【解析】【分析】根据题目条件，只需满足连续7天每日新增比例数不超过5即可，仅通过平均数和标准差不能确保每天的新增病例数不超过5，可判断A，B错误；再根据平均数及极差综合判断C，D中数据的可能取值，分析是否符合条件.【详解】对于A选项，若平均数，不能保证每天新增病例数不超过人，不符合题意；对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为，标准差是，显然不符合题意；对于C选项，若极差等于或，在的条件下，显然符合指标；若极差等于，假设最大值为6，最小值为4，则，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C正确；对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选：CD【点睛】本题考查统计的数据特征，解答本题时，一定要注意平均数、标准差等对数据的影响，其中C、D选项的判断是难点，可采用假设法判断.10.已知函数，则（）A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称C.在单调递增 D.函数有两个零点【答案】ACD【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D.【详解】函数定义域为，又，令，，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递增，故选项C正确；因为，所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确；因为，所以函数，函数，所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数，则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示：故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确.故选：ACD．11.已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（）A.恒过的焦点 B.，的横坐标之积为定值4C.，距离的最大值为6 D.直线的斜率恒为定值【答案】ABD【解析】【分析】对AC，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而根据求解可得的方程为，的方程为即可判断；对B，根据韦达定理结合求解即可；对D，根据中点坐标求解的坐标即可判断.【详解】对AC，设直线的方程为，的方程为，，，，，联立，得，所以，，，所以，解得或，所以的方程为或，同理可得的方程为或，又，所以的方程为，的方程为，所以恒过焦点，恒过点（6，0），且，距离的最大值为，A项正确，C项错误；对B，，B项正确；对D，由题得，同理得，所以，D项正确.故选：ABD第II卷非选择题92分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案.【详解】由题知，，解得：.故答案为：.13.如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】【分析】根据线面垂直判定定理得出平面，则即为所求的线面角，再计算求解.【详解】连接与交于点，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以平面，又，则平面，故即为在平面上的射影，即为所求的线面角，又，，故.故答案为：.14.在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为_____________．（用数字作答）【答案】969【解析】【分析】根据给定条件，利用隔板法列式求出正整数解个数即可.【详解】点是三棱锥内部（不包括表面）的整点，则当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为；，当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为，所以三棱锥内部的整点的个数为.故答案为：969四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知正项数列的前n项和为，且满足，（1）求（2）求【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合等差数列的定义和通项公式求出.(2)由第一问的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【小问1详解】根据题意可得，当时，，解得，由，代入得，整理后得，即，根据等差数列的定义可知，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，【小问2详解】由(1)可知，，16.如图，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D­GH­E的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由中位线定理得EF∥DC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，，从而证得结论成立；（2）先证得BA，BQ，BP两两垂直．然后以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC．又因为EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以AB∥GH.（2）在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°.又因为PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BA＝BP＝BQ＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，2，－1)，＝(－1，－1，2)，＝(0，－1，2)．设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，由，，得，取y1＝1，得＝(0，1，2)．设平面PDC的一个法向量为＝(x2，y2，z2)，由，，得，取z2＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝.因二面角D­GH­E为钝角，所以二面角D­GH­E的余弦值为．【点睛】本题考查线面平行的判定定理和性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，把几何问题转化为计算．17.众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据.x1234567y614203774108203（1）根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）；（2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差.参考数据：，其中；参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）（2）平均数为167.5，方差为42.6【解析】【分析】（1）利用对数变换将非线性回归模型转化为线性回归模型，再根据给定的参考公式求出线性回归方程的系数，进而得到与的回归方程；（2）根据分层抽样的性质，利用平均数和方差的计算公式来求解全体学生身高的平均数和方差.【小问1详解】已知，两边取常用对数可得，设，，，则回归方程变为.先计算，，，.根据参考公式，，将，，，代入可得：..则，因为，，所以，则；，则.所以与的回归方程为.即【小问2详解】全体学生身高的平均数.根据方差公式（其中为各层人数，为各层方差，为各层平均数，为总平均数）.将，，，，，，代入可得：则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6.18.已知函数，为的导函数，（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，（i）求的取值范围；（ii）记较小的一个零点为，证明：.【答案】（1）在上单调递减，在单调递增；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；（2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明.【小问1详解】当时，，函数的定义域为，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.【小问2详解】（i）函数的定义域为，，①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.∴当时，取得最小值，最小值为.因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.设，易知函数在单调递增.因为，所以的解集为.综上所述，实数的取值范围是.（ii）因为，由，结合（i）知，要证，即证，即，当时，因为，，不等式恒成立；当时，由得.即证.即证.即证.设，，由，所以在单调递增.所以，故原不等式成立.所以.19.记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为．（1）求点的坐标；（2）证明：是递减数列；（3）记的面积为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）联立，可解得，的