四川省泸州市泸县2025～2026学年高一数学下学期开学考试试题【含答案】

一、选择题（共8题，每题5分，符合题意的选项只有一个）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，，所以.2.已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据弧长、半径与圆心角的关系，可得半径r的值，代入面积公式，即可得答案.【详解】设扇形的半径为r，则，解得，所以扇形面积.故选：B3.中，“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据求出角的值，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】在中，若，则或，因为，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：C.4.已知，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用同角关系以及两角和的正切公式计算可得结果.详解】由可得，解得；则.5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义域，奇偶性与特殊值判断函数图像.【详解】已知函数，定义域为，排除A，D选项，令，，故函数为奇函数关于原点对称，当时，，排除C选项.故选：B6.已知

则的值等于（）A.-2 B.4 C.2 D.-4【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入求解.【详解】因为所以.故选：B7已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和差公式辅助角公式，结合角的范围即可求解.【详解】，所以.又因为，，所以，.故选：B8.已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解.【详解】函数的定义域为，由，得，即，则，由于，故，令，则存在x，使得，转化为存在，使得有解，由于的对称轴为，则在上单调递增，故，故，结合，可得.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】应用特殊值，判断A、C，根据，的单调性判断B、D.【详解】当时，则，而，又，∴A，C不正确；∵，都是上单调递增函数，∴B，D是正确的.故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若最小正周期为，则B.若，则是的对称中心C.若在上单调递增，则D.若在上恰有2个零点，则【答案】AC【解析】【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求出可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；对于B，若，则，所以，所以是的对称轴，故B错误；对于C，时，，因为在上单调递增，则，解得，故C正确；对于D，时，，若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.故选：AC.11.已知函数，且时，，则（）A.B.C.的取值范围为D.函数的值域为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D.【详解】作出函数的图象，由图可知，若，则，A正确；因为，可得，所以，可得，B错误；依题意，，得，则，且当接近时，接近，接近4，此时，且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷，则的取值范围为，C正确；函数，，设，则，则，，所以函数值域为，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若幂函数是偶函数，则_________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的知识来求得的值.【详解】由于是幂函数，所以，解得或，当时，是奇函数，不符合题意.当时，是偶函数，符合题意.故答案为：13.函数的定义域是________．【答案】【解析】【详解】由，得，所以，所以，所以函数的定义域是．14.如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________．【答案】【解析】【分析】连接OC，设，根据条件及三角函数的定义，可得BC、AB的表达式，代入面积公式，结合二倍角公式及辅助角公式，可得面积S的表达式，根据的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案.【详解】连接OC，设，在中，，则，因为为矩形，所以，又，则，则，所以矩形面积，因为，所以，所以当时，即时，有最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知角，的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交于A，B两点，且，已知点．（1）求，的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【小问1详解】由知，又，故所以同理.【小问2详解】16.已知函数．（1）化简；（2）已知，都是锐角，，，求的值．【答案】（1）且（2）【解析】【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可；（2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得.【小问1详解】由题意，根据诱导公式得：函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足.【小问2详解】因为锐角，已知，所以，因为，都是锐角，所以，又因为，所以在第二象限，即，所以.所以，将数据代入得：.17.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）已知在上单调递增，求的取值范围；（3）若，求在上的值域．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；（3）根据二次函数的图象与性质，即可求解.【小问1详解】当时，函数，不等式，即，解得或，即不等式的解集为.【小问2详解】由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为.【小问3详解】由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为，又因为区间端点比距离对称轴更远，故函数在处取最大值，在上的值域为.18.设函数．（1）求证：为定值；（2）若，求的最小值；（3）若，且满足，求实数m的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据，可得解析式，代入即可得证.（2）由（1）及条件可得，根据指数幂的运算性质，结合基本不等式，即可得答案.（3）根据奇偶性的定义及复合函数的单调性的求法，可得的奇偶性和单调性，结合条件及的定义域，即可得答案.【小问1详解】证明：令，解得，即的定义域为,由，得，所以.【小问2详解】令，根据反比例函数性质可得在上单调递增，又在上单调递增，根据复合函数的性质可得在上单调递增，由（1）得，，且，所以，则，即，因为，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.【小问3详解】由题意，令，解得，即的定义域为，关于原点对称，则，所以为奇函数，由（2）得在上单调递增，由，得，所以，解得，故实数m的取值范围.19.已知函数的一条对称轴为．（1）求；（2）若，，求的值；（3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）将代入解析式由三角函数值计算可得结果；（2）将已知条件化简可得，将两式平方相加再由两角和的正弦公式计算可得结果；（3）由不等式恒成立利用换元法可得不等式对任意恒成立，再利用基