四川省泸州市泸县2025～2026学年高二数学上学期12月月考试题【含答案】

高级高二上期第三学月考试数学试题注意事项：．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.．考生必须保持答题卡的整洁.第I卷选择题（分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过，两点的直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用两点求出直线斜率即可得解.【详解】设倾斜角为，因为，所以，又，所以.故选：D2.样本数据：，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（）A.16B.19C.20D.22【答案】C【解析】【分析】利用百分位数的定义进行求解.【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.故选：C.3.过、两点的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】A第1页/共17页【解析】【分析】根据直线的截距式定义求解.【详解】根据截距式方程得出过、两点的直线方程是.故选：A.4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A.B.且C.D.【答案】C【解析】【分析】根据方程表示椭圆且焦点在轴上，列出不等式求参数范围.【详解】由题意.故选：C5.若点在圆：的外部，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接代入点坐标并结合二元二次方程为圆的条件即可得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得，解得.故选：C.6.若方程表示圆，则的取值范围是（）A.B.C.D.R【答案】D【解析】第2页/共17页【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果.【详解】因为该方程表示圆，所以，所以.故选：D7.若直线被圆截得的弦长为2的最小值为（）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案.【详解】圆化为标准方程为，所以圆心坐标为，半径为，可得圆心到直线的距离为，若直线被圆截得的弦长为2，则，整理得，即，又，所以，当且仅当即时等号成立，则的最小值为2.故选：C.第3页/共17页8.如图所示，在平行六面体中，，则的值为（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解.【详解】因为，，所以.故选：A.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知空间向量，，则下列选项正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】第4页/共17页ABC，根据夹角公式即可求解D.【详解】A：，A错误；B：由知，，解得，B正确；C：由知，，解得，C错误；D：若，，则，D正确.故选：BD10.在正方体中，下列说法正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.直线与底面所成的角为C.直线与垂直D.二面角大小为【答案】ACD【解析】AB垂直判断C，根据二面角定义计算判断D.【详解】对于A，连接，因为，所以是平行四边形，则是异面直线与所成的角，，是等边三角形，异面直线与所成的角为，故A正确；第5页/共17页对于B，底面，直线与底面所成的角为，，故B错误；对于C，连接，平面，平面，平面，，故C正确；对于D，平面，是二面角的平面角，二面角大小为，故D正确.故选：ACD.已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（）A.当时，四边形的周长为定值8B.当为直角三角形时，C.当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为D.当直线与的斜率之差为2时，【答案】ACD【解析】【分析】由题意，根据椭圆的定义即可判断AP的坐标，代入三角形面积公式中即可判断B；设出A，B，P的坐标，结合斜率公式即可判断C；将直线与的斜率之差表述出第6页/共17页来，结合点P在椭圆上，可得，代入三角形面积公式中即可判断D.【详解】对于A：因为椭圆，所以，，，即，，则四边形的周长为，正确；对于B：当时，设，因为点P在椭圆上，解得，取，则，错误；对于C：因为直线交椭圆C于A，B两点，所以A，B两点关于原点对称，设，，，因为，两式相减并整理得，因为，，所以，正确；对于D：易知，，所以，整理得，因为点P在椭圆上，所以，解得，则，正确．第7页/共17页故选：ACD第卷非选择题（分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.圆的半径大小为___________.【答案】【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解.【详解】将圆的一般方程化为标准方程为，所以圆的半径大小为.故答案为：.13.两平行线，之间的距离为____________.【答案】【解析】【分析】将直线方程化为，再根据两平行线间的距离公式计算即可.【详解】直线方程可化为，所以两平行线，之间的距离为.故答案为：.14.三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是______.【答案】【解析】到求出点在平面上的射影到点距离的最大值和最小值，再根据勾股定理求出的最大值和最小值，得到答案.【详解】取的中点，的中点，连；由等腰三角形的性质，，由已知平面第8页/共17页与平面垂直，可得平面，进而可得出，，两两垂直，如图建立坐标系：根据几何关系，可求出坐标：，，，，.不妨记旋转过程中点所在的平面为，由题目已知，在旋转过程中，点在平面截以为圆心，为半径的球所得到的圆上.记点在内的射影为，到平面的距离为垂线段的长度，记该距离为.由，可用坐标法计算点到平面的距离为：，由勾股定理，由几何关系，，可知当最小时，最小；最大时，最大.在平面上的几何关系如下图：可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为.故答案为：点的范围扩大为以为圆心，半径为的整个球面.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第9页/共17页15.已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）设为中点，求直线的方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）8【解析】1）先确定中点的坐标，根据两点确定直线的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线方程.（2）法一：确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积；法二：通过判断直线与的关系，可得为直角三角形，利用直角三角形的面积的计算方法求三角形面积.法三：利用行列式的方法求三角形面积.【小问1详解】中点的坐标为.所以直线的斜率.所以直线的方程为，即.【小问2详解】法一：因为,所以直线的方程为，即.所以点到直线的距离.因为，所以.法二：因为，，所以.所以.第10页/共17页因为，，所以.法三：由题意：.16.是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50[50，60[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率；（3）已知落在平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差【答案】（1）（2）（3），【解析】1）根据频率之和为1求的值.（2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可.（3）根据加权平均数与方差公式计算即可．第11页/共17页【小问1详解】由题意，解得：.【小问2详解】由题可知，成绩在区间的频数为：；成绩在区间的频数为：.利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为.再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：.小问3详解】因为落在与的频率比为，所以，．17.已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】1）由椭圆的定义求解，（2）由点差法得直线斜率后求解，【小问1详解】由题可知，则由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆，第12页/共17页∴，∴∴的轨迹方程为：【小问2详解】设,∵都在椭圆上，∴，，相减可得，又中点为，∴，∴，即直线的斜率为，∴直线的方程为，即,因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件.故直线的方程为.18.椭圆过点且离心率为，的直线交椭圆于，两点，定点.（1）求椭圆的方程；（2）若面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】1）待定系数法求解出值，则椭圆的方程可知；（2）设出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据，代入韦达定理求解出参数值，则直线的方程可知.第13页/共17页【小问1详解】由题意可知，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】当直线的斜率为时，显然不符合题意；因为，设，联立，可得，则，，因为，所以，解得，所以直线的方程.19.的高为2，，，是上靠近①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上.第14页/共17页（1）求证：直线平面；（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若平面与平面所成的锐二面角为45°，求的值.【答案】（1）证明见详解（2）（3）【解析】1）根据题意可知，进而可得，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；（3）设，求平面的法向量，利用空间向量结合面面夹角运算求解.【小问1详解】在图①中，过作，垂足为，则，可知点与点重合，即，在图②中，可得，又因为，