四川省泸县2026届高三数学上学期1月月考试题【含答案】

数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分分．注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置．选择题答案使用铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解.【详解】由，可得，，.故选：D.2.若复数是纯虚数，则实数a的值是（）A.1B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算、复数分类可得答案.【详解】依题意，由于是纯虚数，所以，解得.第1页/共21页

故选：A.3.若圆与直线交于、两点，则（）A.1B.C.D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后结合圆的弦长计算公式求出弦长.【详解】圆，半径，圆心为，则圆心为到直线的距离为，所以.故选：C4.已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数是奇函数，再结合指数和对数运算公式，即可求值.【详解】因为，所以，所以，又是奇函数，所以.故选：B5.从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（）A.216个B.162个C.108个D.180个【答案】D【解析】【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可.【详解】当选的数字包括时，共有种数字组合，第2页/共21页

而不能放在首位，则每个组合的情况数为个，可得总情况数共有个，当选的数字不包括时，共有种数字组合，此时每个组合的情况数为个，可得总情况数共有个，即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确.故选：D6.已知数列为等比数列，，，若是数列的前项积，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先写出数列的通项公式，再根据指数的运算性质以及等差数列的求和公式化简，结合二次函数求最值.【详解】由题意可得，，则，因为的对称轴为，且开口向下，所以当或时，有最大值，最大值为.故选：B7.已知函数在上有最大值，则的最小值为（）A.1B.4C.7D.【答案】C【解析】在的最第3页/共21页

小值.【详解】因为图象关于直线对称，所以，解得，因为，且在上有最大值，所以存在，使得，当，，则，解得又且，当时，满足所以的最小值为故选：C.8.关于对称，则其最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】转换为二次函数求最值即可.【详解】，因关于对称，故的根应为和，所以，得，，即.令，则，代入得：，令，，函数开口向上，对称轴为，，因此，函数的最小值为.故选：B第4页/共21页

二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6B.已知变量,线性相关，由样本数据算得线性回归方程，且由样本数据算得，，则C若随机变量服从正态分布，，则D.在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则各项系数和是【答案】AB【解析】【分析】根据概率的计算、线性回归方程、正态分布以及二项式定理的相关知识逐项判断.选项A，可通过计算对立事件的概率来求解；选项B，根据线性回归方程过样本中心点来计算的值；选项C，利用正态分布的对称性来计算概率；选项D，根据二项式系数的性质确定的值，再通过赋值法求各项系数和.【详解】选项A：总事件数，从6件产品中任取2件，即，“至少取到1件次品”的对立事件是“取到2件正品”，其事件数为，因此，，A正确.选项B：因为线性回归方程过样本中心点，又因为，，则将其代入线性回归方程可得：，所以，解得，B正确.选项C：因为变量，所以正态曲线关于对称，因为，则，由对称性，，第5页/共21页

因此：，C错误.选项D：二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式共有9项，故，令，可得各项系数和为，D错误.故选：AB.10.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.公差B.C.D.数列的前31项和为272【答案】BCD【解析】ABCD差数列求和公式，结合分组求和，可得答案.【详解】为等差数列，，，则，解得，所以，故A错误，B正确；令，解得，所以，所以，故C正确；因为，则，所以，进而数列的前31项和第6页/共21页

，故D正确.故选：BCD.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，点为点在准线上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，为坐标原点，则（）A.，，三点共线B.C.直线与有两个交点D.有最大值【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，然后设出直线的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理得到相关点的坐标关系再逐一分析选项.【详解】抛物线，则,所以焦点，准线，设直线的方程为，，联立，消去可得：，由韦达定理得.根据题意，，则，,因为，且，即,所以，.可得，即，，三点共线，故A选项正确；已知点为线段与轴的交点，，则点坐标为，所以，则，第7页/共21页

又因为，所以，即，故B选项正确；，可得直线的方程为，令，可得，即，则，直线的方程为，即．联立，消去可得0.其判别式，所以直线与有一个交点，故C选项错误；，则，，又因为，，则，当且仅当，则此时，即有最大值，D选项正确.故选：ABD.第8页/共21页

第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】将离心率用含的式子表示，解方程即可得解.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以.所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：13.单位向量，满足，则与的夹角为______．【答案】##【解析】【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程，可得答案.【详解】由是单位向量，则，由，则，设的夹角为，则，即，解得.由，则.故答案为：.14.侧棱长为2的正三棱锥中，棱上存在点，使得，以为球心的球与平面相切，则该球被三棱锥截得的几何体的体积为______．第9页/共21页

【答案】【解析】的中点作平面平面平面，再计算球的半径，最后计算球的体积即可求出.【详解】取线段的中点，连接，因为为等腰三角形，为等边三角形，所以，，又，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，所以，过点作平面，垂足为，则，因为，所以，则，即以为球心球的半径为，则该球的体积为，则该球被三棱锥截得的几何体的体积为.第10页/共21页

故答案为：四、解答题（共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.好地理解数学知识和实际应用．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关10050，，分成550分）成绩分组频数51513125（1）在样本中随机抽取一人，在已知该学生的成绩在区间内的条件下，求该学生成绩在区间内的概率；（2）用样本估计总体，以频率估计概率，从该校高三年级所有学生中随机抽取33人中成绩不低于70分的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】1）根据条件概率的计算公式计算即可；（2）的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，利用期望公式计算即可答案.【小问1详解】记事件“所抽取学生成绩在区间内”，记事件“所抽取学生成绩在区间内”，则．【小问2详解】第11页/共21页

由题意，从该校高三年级所有学生中随机抽取1人，该学生成绩不低于70分的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，则；；；；X的分布列如下表X0123P因为，X的数学期望．16.在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）已知为边上的一点，且．若，，求．【答案】（1）（2）【解析】1）利用正弦定理边化角，根据和角公式以及正切函数的公式，可得答案.（2）利用余弦定理解三角形，根据直角三角函数，可得答案.【小问1详解】已知，由正弦定理可得，由，所以，代入上式：，第12页/共21页

化简可得，由，则，上式两边除以可得：，即，由，则.【小问2详解】在中，已知，，，由余弦定理可得：，即，再由余弦定理可得：，由，则，即，可得，在中，.17.已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点．（1）若是的中点，求证：面（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】第13页/共21页

1）利用面面平行判定定理，证明平面平面，从而得到线面平行.（2）首先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，然后求平面法向量，最后计算两平面夹角的余弦值.【小问1详解】取中点，连接，在中，为中点，为中点，所以;在中，中点，为中点，所以;因为，，且，，所以平面平面.因为平面，所以平面【小问2详解】以为原点，为轴，的方向为轴，过垂直于底面的方向为轴,如图所示：菱形边长为，，为正三角形，故.侧面与底面夹角为，即(为在底面的投影).易知,,,；可知，；所以.又因为，易知，所以；平面的一个法向量为，易知,，第14页/共21页

因此，解得，令，可得；所以平面的一个法向量为，又由，令，可得；所以可得；设平面与平面的夹角为，所以；平面与平面夹角的余弦值为.18.关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；.（1）求在点处的切线方程；（2）若在是凸函数，求实数的取值范围；（3）若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析第15页/共21页

【解析】1）由题意和导数几何意义依次求出切点和切线斜率即可求解；（2）令，由求出参数m，令，将题设问题等价转化为在在即可得解；（3）先将题设问题等价转化为的有两个变号零点为，接着利用导数工具研究函数的单调和时恒成立得到即可分析求证.【小问1详解】依题意，，所以切点为，切线斜率为，所以在处的切线方程为；【小问2详解】令，则，所以依题意，所以，.则，若在是凸函数，则在R上单调递减，令，则在上恒成立，即在上恒成立，设，即，，所以时，时，于是在上单调递增，在上单调递减，于是；第16页/共21页

【小问3详解】由（2），由题在和的有两个变号零点为，又时，单调递增，此时至多只有一个零点，不符合题意；另外由（2）知时，单调，不符合题意，于是，令为减函数，令，所以时，时，即在上单调递增，在上单调递减，注意到，，而，，时，，于是有，此时，即，所以，又时，，时，，时，，即在，上单调递减，在上单调递增，而，又时，，时，，时，，又时，，于是只能有，即时，恒成立，这只需，于是.第17页/共21页

19.已知椭圆：的焦距和短轴长相等，且长轴长与焦距之差为．（1）求椭圆的方程；（2作两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线与，直线交椭圆于，两点，直线交椭圆于，两点，令弦与的中点分别为与，直线与轴交于点，其中相互平行，直线相互平行．（ⅰ）证明：为等比数列；（ⅱ）记的面积，数列的前项和为，若对于，均有，求实数的最小值．【答案】（1）（2的最小值为.【解析】1）设