四川省合江县2025～2026学年高二数学上学期1月期末试题【含答案】

注意事项:答卷前，考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.考生作答时，选择题用铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.全卷满分分，考试时间分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线上与焦点的距离等于9的点的横坐标为（）A.2B.3C.6D.9【答案】C【解析】【分析】由抛物线方程和抛物线定义即可求解.【详解】由题抛物线开口向右、焦点为，准线方程为，设抛物线上与焦点的距离等于9的点为，则点到准线的距离为，.故选：C2.已知复数满足（（）A.1B.C.iD.【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故，故选：C第1页/共21页

3.已知点，动点满足，则动点的轨迹是（）A.射线B.线段C.双曲线的一支D.双曲线【答案】C【解析】AB分析可得答案.【详解】根据题意，点，则，若动点P满足，且，则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支，故选：C.4.已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若与互斥，则C.若，则事件与相互独立D.若与相互独立，则【答案】A【解析】ACCD.【详解】对于A，若，则,故A错误，对于B，若与互斥，则,故B正确，对于C,,结合，故事件与相互独立，C正确，对于D,若与相互独立，则,D正确，故选：A5.平行六面体中，，，，，则线段的长度是（）第2页/共21页

A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.【详解】，，，即线段的长度为.故选：D.6.设甲、乙两人每次投进篮球概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可.【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：，若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：.故选：D第3页/共21页

7.斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为，故选：A8.已知圆，圆，M､N分别是圆､上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时（）A.B.C.D.9【答案】B【解析】【分析】求得圆关于轴的对称圆的方程，结合的圆心、半径求得的最小值以及此时，从而求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为.第4页/共21页

圆关于轴的对称圆的方程为，圆心为，半径.圆的圆心为，半径为.所以的最小值为.此时直线的方程，也即直线的方程为，即，令，解得.所以.故选：B36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.经过点，倾斜角为的直线方程为B.方程表示的直线过定点C.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为D.若方程表示圆，则【答案】AC【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、直线过顶点、截距式方程以及圆的标准方程，可得答案.【详解】对于A，当时，不存在，此时直线方程为，故A错误；对于B，将代入直线方程，则方程恒成立，故B正确；对于C，当截距为零时，直线方程为，故C错误；对于DD正确.故选：AC.10.在长方体中，，，动点P在体对角线下列结论正确的有（）第5页/共21页

A.当P为中点时，为锐角B.存在点P，使得平面APCC.的最小值D.顶点B到平面APC的最大距离为【答案】ABC【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则有，从而求出可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D.【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，第6页/共21页

设，则，故，则，，对于A，当为中点时，，则，，则，，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C正确；对于D，，，设平面的法向量，则，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，第7页/共21页

当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，求得，，从而利用空间向量法逐一分析判断各选项即可.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（）A.点的坐标为B.过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线C.若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为D.过点作抛物线到直线的距离的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用焦点坐标公式即可求解；对于B，将直线方程与抛物线联立求出，再用斜率相等证明点共线；对于C，表示出抛物线上任意一点到直线的距离，结合函数单调性即可求解；对于D，求出在切点处的切线方程，利用两切线都过点，从而求出直线的方程，再求出点到直线的距离，利用导数即可求解.【详解】如图：第8页/共21页

易得，设直线的方程为，，.将直线与抛物线联立，化简整理得，则，所以，又，所以，又为公共点，所以三点共线，故B正确；设抛物线上的点到直线距离为则，令，，因为，所以，所以，所以，当时，取得最小值，又在时单调递减，故时取得最小值.故C错误；设，则抛物线在处的切线为：，化简得，同理抛物线在处的切线为，又点在两切线上，故，，第9页/共21页

所以直线的方程为：，即.点到直线的距离为：，令，则令，得.当时，；当时，，故时取得最大值：，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.椭圆的长轴长为______．【答案】8【解析】【分析】根据椭圆方程确定椭圆的，即可求解长轴长.【详解】解：由椭圆的几何性质可知，∴，∴长轴长。故答案为：8．13.数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______．【答案】【解析】【分析】根据已知数据的平均数和方差，利用性质，求出所求数据的平均数和方差.【详解】数据，，，的平均数为6，数据，，，的平均数,第10页/共21页

数据，，，的方差为4，数据，，，的方差,.故答案为：.14.如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包平面，则线段长度的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围.【详解】设分别是的中点，连接.根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，又因，可得，则得，由于平面，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，而平面，平面，平面平面，第11页/共21页

故点的轨迹即线段.，三角形是等腰三角形，底边上的高为，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆过两定点，且圆心在直线上；（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点，若，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】，建立关于的方程，求解即可得圆的方程；（2）根据直线与圆相交得弦长公式，确定圆心到直线的距离，讨论直线方程即可求得.【小问1详解】解：设圆的方程为∵圆心在直线上，则又∵圆过点两点，第12页/共21页

则，又，联立解得：则圆的方程为；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线得距离弦长符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，∵，∴圆心到直线的距离为，解得，则直线的方程为，综上，直线的方程为或16.率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．【答案】（1）83.3；84（2）【解析】1）由频率分布直方图计算可得x，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得：第13页/共21页

（2）先借助分层随机抽样定义计算出从，，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得．【小问1详解】，则，；，故40百分位数在层，则40百分位数为，平均数；【小问2详解】因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为：，，，从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为23，抽取的人编号为4、5、6，记事件“抽取的两人都及格”，所以；，所以；∴．17.如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，平面平面.（1）证明：平面；（2）证明：二面角的正弦值与二面角的正弦值相等.第14页/共21页

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】1平面证结论；（2）取的中点，取的中点，可证，，，以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的正弦值和二面角的正弦值，可证结论.【小问1详解】因为四边形是正方形，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，又因为，平面，所以平面；【小问2详解】取的中点，取的中点，因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为四边形是正方形，所以，以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，则，设设设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，第15页/共21页

又是平面的一个法向量，所以，所以，所以二面角的正弦值为；又是平面的一个法向量，所以，所以，所以二面角的正弦值为；所以二面角的正弦值与二面角的正弦值相等.18.在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C与y轴相交于点PM关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.（1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求M点坐标，使得的面积最小.【答案】（1），第16页/共21页

（2）存在或，（3）的坐标是或.【解析】【分析】根据渐近线方程得,点在双曲线上，列出方程组求解即可;（2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论;（3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标.【小问1详解】由已知得,解得,所以双曲线的方程为.小问2详解】设,如图:根据题意知，直线斜率存在，则，则则直线:,令得,因为点关于轴的对称点为,所以,则,令得,因为,平方可得,第17页/共21页

因为,则,因为即，所以,则,即,所以存在或满足条件;【小问3详解】如图因为，又，则,代入上式得:,当时，时，，第18页/共21页

则，当且仅当，即时取等.当时，，则，当且仅当,即时等号成立,故应在时取得取最小值，此时,即所以的坐标是或时,的面积最小.19.已知椭圆在COC的长半轴为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E明：