四川省达州市2026届高三数学上学期10月月考试题【含答案】

四川省学年度高三数学上学期月月考试题卷（考试时间：分钟满分：分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一元一次不等式的解法化简集合，再根据集合交集计算即可.【详解】因为集合，集合，所以.故选：B2.（1–i）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A.B.C.D.第1页/共19页

【答案】B【解析】积.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.4.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R=3.28T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【答案】B【解析】1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角第2页/共19页

坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.-1【答案】C【解析】【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解.【详解】依题意，则为直线的斜率，结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或即的最小值为.故选：C6.等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件第3页/共19页

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．7.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为（）A.3B.4C.7D.10【答案】D【解析】【分析】根据切线的斜率与切点处导数值的关系，即可求解代入求值.【详解】由曲线在点处的切线方程为可知，设函数，则，则，故曲线在点处的切线斜率为10．故选：D8.已知函数为上奇函数，，且，则（）第4页/共19页

A.B.C.D.【答案】D【解析】且时，二项式系数的性质求解即可.【详解】函数为上的奇函数，，且，所以当且时，，，所以，所以，所以.故选：D二､多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】AB中的三角函数转化为只含正切的式子，再代值计算即可判断CD【详解】由题意可得，则，故A错误，B正确，所以，则C错误，D正确.故选：BD第5页/共19页

10.是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】ACD【解析】AB合向量的数量积求得结果；对于C，由欧拉线定理得，即，结合三角形重心的向量性质进行计算即可；对于D，利用正余弦定理及向量的数量积公式进行计算.【详解】对于A，的重心为，有，且，，故，故A正确.对于B，的外心为，有，故B错误；对于C，由欧拉线定理得，即，又，所以，故C正确；对于D，因为，，，所以由余弦定理又，所以，如图，，第6页/共19页

由正弦定理可得，所以，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：三角形的三条垂直平分线交于一点，即为外心，外心是三角形外接圆的圆心.（1）；（2），；.已知点F是抛物线C：A是抛物线C的准线与xA且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A.k的取值范围为B.C.若，则或D.点M关于x轴的对称点在直线NF上【答案】ABD【解析】的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A的定义结合几何图形推理判断B判断CD.【详解】抛物线C：的焦点，准线，点，直线，对于A，由消去得：，依题意，，第7页/共19页

解得且，因此k的取值范围为，A正确；对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则，因此，即，B正确；对于C，由，得，设，则，而，联立解得，C错误；对于D，直线的斜率，直线的斜率，，令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率，而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.ABCABCD1EF分别为棱CDAD1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_________．第8页/共19页

【答案】【解析】DADCDD1为xyz轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角的余弦值.【详解】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则A（2，0，0F（1，0，2D（0，0，0E（0，1，2∴=（，0，2=（0，1，2设，的夹角为，则异面直线AF与DE所成角的余弦值是．故答案：.13.已知为公差为1的等差数列，且依次成等比数列，则______．【答案】1【解析】第9页/共19页

【分析】写出等差数列的通项公式，得出的表达式，利用成等比数列，即可求出的值.【详解】由题意，，在等差数列中，公差为1，∴，∴，，∵依次成等比数列，∴，即，解得．故答案为：1．14.设，不等式在上恒成立，则的最小值_________________.【答案】【解析】【分析】构造函数，原不等式恒成立可转化为恒成立，利用导数求出函数最大值可得，可得，构造函数，求最小值即可.【详解】在上恒成立，即为在上恒成立，令，，若，则，可得在递增，当趋近正无穷时，趋近正无穷，不等式在上不恒成立，若，令，可得，令，可得可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，则，即则.令，，，令，可得，令，可得第10页/共19页

可得在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则的最小值是.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，构造函数，原不等式恒成立可转化为恒成立，利用导数求出函数最大值可得，可得，构造函数，求最小值即可.四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】1是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式.（2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.【小问1详解】设等差数列公差为，因为，所以第11页/共19页

所以是公差为2的等差数列，所以，因为成等差数列，所以，设的公比为，其中，所以，解得或，当时，，此时，为递增数列，满足要求，当时，，此时，为递减数列，不合题意，综上，.【小问2详解】由（1）得，，所以，所以是公差为3的等差数列，所以.16.已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】第12页/共19页

1）根据渐近线方程相同，设双曲线的方程为且，将所过点代入求参数即可；（2）联立直线与双曲线，应用韦达定理表示出线段AB的中点坐标，结合点在圆上求参数即可.【小问1详解】设双曲线的方程为且，将代入，得，解得，所以双曲线的方程为．【小问2详解】由，得，设，则中点坐标为，由韦达定理可得，所以，所以中点坐标为，且在圆上，所以，解得．17.如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；第13页/共19页

（3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.因为，所以，所以.又，，平面，所以平面.【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，，第14页/共19页

则，，，.设平面的法向量，则有令，得，，所以是平面的一个法向量.因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】假设存在，使二面角的正弦值为，即使二面角的余弦值为.由（2）得，，所以，，.易得平面的一个法向量为.设平面的法向量，，解得，令，得，则是平面的一个法向量.由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，故二面角的余弦值为，第15页/共19页

则有，即，解得，.又因为，所以.故存在，使二面角的正弦值为18.泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊Simeon-DenisPoisson1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数（1）对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1（2）已知，为正整数，若的最大值是，求的值；（3）若，试比较与0.99的大小，并说明理由.【答案】（1）（2）4或5（3）【解析】1）根据泊松分布，计算，由概率公式计算，，再相加即可；（2）计算，比值与1比较，确定概率单调性，利用的最大值是即可得到的值；第16页/共19页

（3）利用泊松分布的概率公式，计算，，，相加再与0.99比较即可.【小问1详解】根据题意比较大，而大小适中，所以满足近似泊松分布，则，，，在1000个产品中至多有1个次品的概率为.【小问2详解】，，则，又为正整数，所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增，的最大值是，或，综上，或.【小问3详解】，则，，，所以，即.19.设，.已知函数，.第17页/共19页

（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x，y）处有