江西省萍乡市高三下学期二模考试数学试卷

萍乡市学年度高三二模考试试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（）A.114 B.115 C.120.5 D.121【答案】D【解析】【分析】根据百分位数公式，即可求解.【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123，，则第75%分位数是第8个数据121，故选：D.2.过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（）A.16 B.4 C.21 D.【答案】B【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解.【详解】圆的圆心，半径，则，所以.故选：B3.已知等差数列满足：，则的公差为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】将、代入，求出、值，再由等差数的性质求解即可.【详解】解：设等差数列的公差为，由，可知当时，则有，当时，则有，解得，所以，解得.故选：D.4.在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式求解即可.【详解】由条件可如图建系，设，则,则,设直线与所成角为，所以，所以，故选：C5.已知点及抛物线上一点，若线段的垂直平分线经过的焦点，则的横坐标为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】设,通过两直线垂直，斜率乘积等于，列出等式求解即可.【详解】抛物线焦点坐标为，设，则中点坐标为：，由线段的垂直平分线经过的焦点，可得：，解得：，所以的横坐标为4，故选：B6.将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（）A.720种 B.120种 C.32种 D.30种【答案】D【解析】【分析】根据的取值，进行分级，逐项判断即可.【详解】六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰序列，封顶必须是最大整数.封顶位置可在第2、3、4、5位，对于每个，左边需选个数并按升序排列，右边选个数并按降序排列.当时，左边选1个数，方式有种；当时，左边选2个数，方式有种；当时，左边选3个数，方式有种；当时，左边选4个数，方式有种；所以.故选：D.7.在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求.【详解】对进行化简，通分可得，即，又，解得；已知，由余弦定理，可得，根据基本不等式（当且仅当时取等号），则，可得，三角形面积，当且仅当时等号成立,故选：A.8.已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，得到，通过换元，，求的最大值即可.【详解】令，原不等式可化为：，代入，化简可得：，令，得到，再令，可得：，由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，所以当时，取得最小值，所以的最大值为，也即的最大值为，所以的最大值为，故选：A二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（）A. B.C.集合可能是 D.【答案】BCD【解析】【分析】由摩根定律，以及交并补混合运算知识即可求解.【详解】由题意知所以，对于A，因为，且，所以，A选项错误；对于B，由于，所以，B选项正确；对于C，已知，这意味着既属于A又属于B，若，当时，此时满足所有已知条件，故C选项正确；对于D，因为，又，所以，D选项正确；故选：BCD.10.已知定义在上的函数满足：，且当时，，则下列说法正确的为（）A.的最小正周期为2 B.在上单调递增C.在上单调递增 D.对，都有【答案】ACD【解析】【分析】中，用代替，再和相减，结合周期函数的概念即可判断A选项；利用导数求函数的单调区间，结合周期性即可判断BC选项；利用函数的周期性得,,再将代入即可判断D.【详解】已知①，用代替可得②,由②−①得：，即，所以函数的最小正周期是2，A选项正确；当时，对求导，可得，为增函数，因为，则，所以，所以时恒成立，即函数单调递减，因为函数的周期是2，与上的函数单调性一致，所以在上不是单调递增的，B选项错误；相当于，根据得，上的函数单调性与上的函数单调性相反，所以在上单调递增，C选项正确；因为函数的周期,,,由，令，得，即，所以，D选项正确;故选：ACD.11.若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（）A.若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列B.若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列C.数列的极差数列可能为等比数列D.数列的极差数列的极差数列仍是【答案】AD【解析】【分析】A选项可利用等差数列的定义进行验证；B选项可以举反例排除；当时，，则可判断C；推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是，则可判断D.【详解】对于A，设等差数列公差为d，当时，，，则，此时是等差数列，当时，，，，当时，，，结合等差数列概念可知A正确；对于B，形如，从开始奇数项依次减去1，偶数项依次加上1，则数列是一个以首项为0，公差为1的等差数列，但是数列不是等差数列，故B选项错误；对于C，当时，，则不可能为等比数列，故C错误；对于D，∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“极差数列”仍是，故D正确；故选：AD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数满足：，其中为虚数单位，则___________．【答案】【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模.【详解】因为，所以，所以.故答案为：13.若随机事件满足：，则___________．【答案】【解析】【分析】由条件概率乘法公式、全概率公式即可求解.【详解】由，可得：，可得：，由，可得，所以，故答案为：14.已知三棱锥外接球的球心为棱的中点，若，则该三棱锥体积的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意分析可知，可得，设点到平面距离为，结合体积公式可得，即可得最值.【详解】因为球心为棱的中点，则，，且，则点到直线的距离，可得的面积，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则，可得三棱锥的体积，当且仅当，即平面时，等号成立，所以该三棱锥体积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.DeepSeckApp于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应．DeepSeek公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示（单位：人）．效果1830岁用户人数3150岁用户人数有效120无效70总计150150（1）求出的值，并在显著性水平为的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关；（2）以频率估计概率，在所有推荐算法有效的人群中抽取3人，求恰有2人为3150岁用户年龄段的概率．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由独立性检验的知识求解即可得；（2）首先得到推荐算法有效的群体中抽到为3150岁用户年龄段的概率为，再结合独立重复试验的概率公式即可求得答案.【小问1详解】由题意得：，计算，所以在显著性水平为0.005的情况下，认为推荐算法的效果与用户年段有关；【小问2详解】样本的推荐算法有效的群体中抽到为3150岁用户年龄段的率为，以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为3150岁用户年龄段的概率为，则3人中恰有2人为3150岁用户年龄段的概率为：.16.如图，在几何体中，四边形与均菱形，，且．（1）求证：平面平面；（2）设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可；（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，，且为中点，又，，∵，平面BDEF，∴平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】连接，∵四边形为菱形，且，为等边三角形，∵为中点，∴，又，，平面，平面．故OA，OB，OF两两互相垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，∵四边形为菱形，，，．为等边三角形，∴．，,则，因为，即，所以，所以，，设平面的法向量为，则取，设与平面所成角为，则，解得或，又，所以.17.已知函数．（1）证明：函数有且只有一个极值点；（2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导得，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明；（2）求导得，设，再对分和讨论即可.【小问1详解】因为，所以，显然在上单调递增．且．故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，，则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点.【小问2详解】设，则，记，当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时在上至多存在一个零点，不合题意，当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减，（i）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；（ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；（iii）当时，，，故存在，使得，即，则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于，则，若要满足题设，只需，解得,又因为，所以取值范围是.综上所述，实数的取值范围为.18.已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度；（3）直线交椭圆于两点，交轴于点．为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3），定值【解析】【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可；（2）设，，不妨设直线，联立直线与椭圆方程由得到，，同理得到，，即可求出，，从而得解；（3）分析可得，设，，依题意可得为线段的中点，联立直线方程与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可求出点坐标，从而求出方程，再求出方程，两方程相乘，即可求出点轨迹方程，从而得解.【小问1详解】依题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】设，，根据对称性，不妨设直线，则，整理得，所以，则，此时，同理由点在圆和直线上且与圆相切可得，，所以，，则，所以，所以，所以线段的长度为；【小问3详解】显然，设，，由，可得为线段的中点，由，整理得，所以，而，，所以，则直线，在直线中，令得，所以，因为，所以直线，所以，即，即，所以存在点，使得的长度为定值.19.已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数．例如：因为，所以为二次切比雪夫函数．（1）求；（2）证明：对任意正整数，都有；（3）若函数有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）；