字节精准教育联盟2026届高三下学期4月期中考试 数学+答案

四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三下学期4月期中数学试卷一、单选题1．已知全集，集合，，（

）A． B． C． D．2．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C．1 D．3．已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．已知向量，若，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．25．已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．66．已知随机变量的分布列为，则（

）A． B． C． D．7．函数，是（

）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数8．已知是R上的奇函数，当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题9．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表：日期1234567预测误差1033下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（

）A．这组数据的众数是3B．这组数据的60%分位数是0.5C．这组数据的方差大于5D．若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小10．已知函数，则（

）A．当时，有3个零点B．当时，有两个极值C．当时，在上单调递减D．图象对称中心的横坐标不变11．已知曲线为上一点，为坐标原点，则（

）A．C关于轴对称B．关于轴对称C．的取值范围分别为D．的最大值为2三、填空题12．在数列中，，其前n项和为，则＝______13．直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________．14．在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______四、解答题15．已知数列的首项，前项和为，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求数列的前项和．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．17．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．(1)证明：平面；(2)若在同一个球面上，求该球的半径；(3)求平面与平面所成角的余弦值．18．已知函数，其中.(1)若，求的单调区间；(2)若，（i）证明：在区间内有且仅有1个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：.19．已知双曲线左右焦点分别为，且，在上，为坐标原点．(1)求的方程；(2)设直线与右支交于两点，且直线倾斜角互补，记中点为．（i）判断直线斜率是否为定值，请说明理由；（ii）若不在上，记，，求的最大值．参考答案1．D【详解】由，可得，又，所以.2．C【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.3．A【详解】设圆锥的体高为，母线长为，底面半径，则底面积，侧面积，解得，易知，所以体积.故选：A.4．A【详解】因为，则，则，所以，解得.5．C【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上，由抛物线定义可知，点到直线的距离为3，因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5.故选：C6．A【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得.即，所以.

故选：A.7．C【详解】由周期公式可得的最小正周期是，又，是偶函数.故选：C8．D【详解】函数在上单调递减，则函数在上单调递增，而是R上的奇函数，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，当时，，则，所以时，，则，故时，，当时，在上单调递增，此时，综上，函数在上单调递增，由，得，解得，所以实数x的取值范围是.9．ACD【详解】将数据从小到大排序得：，，，0，1，3，3.对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确；对于B，，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；对于C，平均数，方差，故C正确；对于D，原平均数为0，新数据小于0，加入后平均数变为，确实变小，故D正确.10．ABD【详解】对于A，当时，，则，所以当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，又，，所以有3个零点，故A正确；对于B，由，当时，方程的，设其两根为，易得在和上单调递减，在上单调递增，故在和处分别取到极小值和极大值，所以有两个极值，故B正确；对于C，由B，当时，在和上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D，因为，

所以图象对称中心坐标为，，图象对称中心的横坐标不变，故D正确.故选：ABD.11．ABC【详解】用换方程中的，化简后方程不变，故关于轴对称，同理可得，关于轴对称，故AB均正确；由，得，解得，同理可得，故C正确；在曲线上，所以，所以，当时，取得最大值，故D错误.故选：ABC.12．【详解】由可得数列为等比数列，公比为，首项为,所以13．【详解】令，得，即,令，得，即,圆心，，所以，直线经过圆心，,所以,.14．【详解】（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.15．(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，①当时，，由，解得，当时，，②①-②得：，即，从而，又因为，且也满足上式，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得，则，从而，所以，，令，①则，②①-②得：，所以，又，所以．16．(1)(2)的分布列为【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；所以选派的人中恰有人会法语的概率．（2）由题意可知，所有可能的取值为，，，，，所以的分布列为数学期望为．17．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面，又因为平面，平面平面，所以平面．又因为平面，所以．由题意平面，所以平面．（2）取中点中点，连接，则，因为平面，平面，所以，所以，在中，为中点，所以.以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则．设该球的球心坐标为，则解得.所以该球的半径为.（3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接，平面平面平面，平面平面，所以平面．而平面，故，又因为，平面，故平面，而平面，所以，则为平面与平面的所成角.直角三角形中，，所以平面与平面所成角的余弦值为.法二：平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则即取，得平面的一个法向量为.所以平面与平面所成角的余弦值为.18．(1)的单调递减区间为，无单调递增区间；(2)证明见解析【详解】（1）求导得：，因为，对任意，都有，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；（2）（i）由（1）知，当时，令，当时，，故在上单调递减，因为，所以，又因为，所以在区间内存在零点，即结合在上单调递减，可得在区间内有且仅有1个零点，且；则当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，又因为，所以根据单调性可知：，又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减，可知：在区间内有且仅有1个零点，又因为时，结合在单调递增，所以，即在区间函数没有零点，所以在区间内有且仅有1个零点，（ii）由题意可知：，即，消可得：，当时，构造函数，求导得，则在时单调递增，即，所以，即可知，则，两边取对数得：，即.19．(1)(2)（i）直线斜率为定值，理由见解析；（ii）．【详解】（1）方法①：由题意，则，解得，故双曲线方程为．方法②：由题意，则，利用定义：，，故双曲线方程为．（2）（i）结论：直线斜率为定值，理由如下讨论：若直线斜率不存在，记，则，记直线斜率分别为，，不符合题意，舍去．故直线斜率