【数学】二项式定理第一课时课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理

6.3.1二项式定理·人教A版·选择性必修第三册·第一课时学习目标1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.4.通过该节的学习,理解从特殊到一般的思维方法,培养观察归纳能力、抽象思维和逻辑思维能力.教学过程0101.导-情境导入0202.思，议-二项式定理0303.展-题型训练0404.测，评-达标检测与评价01.导-情境导入第一章节“密码箱的秘密”

思考你能快速写出这个密码吗？“密码箱的秘密”

追问二项式定理02.思，议-二项式定理第二章节探究(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2

问题1

在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？问题1:其各项的形式如何？

每一项都是a2－k×bk

(k＝0,1,2)的形式.

a2abb2各项的个数（系数）是多少?下面我们再来分析一下形如a2－kbk的同类项的个数.项的形式是，我们从是否选b的角度来考虑:

这是由2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数，即a2只有1个；

这是由1个(a+b)中选a,另1个(a+b)中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数，即ab共有2个；

这是由2个(a+b)中都选b得到的.因此，b2出现的次数相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数，即b2只有1个.由以上分析可以得到：

问题2

仿照上述过程，你能用计数原理写出(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？a3a2ba2ba2bb3ab2ab2ab2合并同类项之前展开式共有：项的形式：由以上分析可以得到：

合并同类项之后展开式共有：4项a4a3bab3b4a2b2项都不取b取一个

b

取两个

b

取三个b

取四个b

系数C40C41C42C43C44问题2

仿照上述过程，你能用计数原理写出(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？

合并同类项之后展开式共有：5项新知探究猜想：下面我们对以上猜想的正确性予以说明：

每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项.

因此，由分步乘法计数原理可知，

在合并同类项之前，展开式共有2n项

在合并同类项之后，展开式共有n+1项定义新知二项展开式的通项:共有n＋1项上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做

(a＋b)n的二项展开式.问题3

仔细观察式子，你发现了它有怎样的特征？1.二项式系数：2.项数：3.指数：①各项的次数均为n②各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n.(展开式的第k+1项)(1)二项式定理对任意的数a,b都成立，

若设a＝1,b＝x，(其中a，b可赋值)则有（2）令x=1，得

即二项展开式中的二项式系数的和等于

.

×××√练103.展-题型训练第三章节解析探究一探究一二项式定理的展开式

第4项的二项式系数；

追问：第4项是什么？

探究二二项式系数与项的系数问题

追问2.本例条件不变,求二项展开式中的所有有理项.求有理项:对于有理项,是指其所有字母的指数恰好都是整数的项.

解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.

追问3.本例条件不变,求二项展开式中的所整式项.求整式项：求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数.

第四章节04.测，评-达标检测与评价课堂小结二项式定理()二项展开公式右边的多项式二项式系数二项展开式的通项

巩固练习课本P31

解：

解：由通项公式，可得巩固练习课本P31

解：