湖南省多校2025-2026学年下学期高三数学4月联考试卷（含答案）

2026届高三核心素养测评数学本测评共150分,时间120分钟.一、单项选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x-A.-1,1B.-12.已知随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,且X∼A.EX=EYB.D3.已知x为复数，下列选项中是方程i2026⋅A.cosπ6C.cosπ34.已知数列an满足a2=6,anA.2B.3C.4D.65.已知两条直线l1:y=2x,l2:y=12x,有一动圆M与l1交于A,B两点,与A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线6.在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边作角x和角x-π3,x∈π2,3π2,它们的终边分别与单位圆交于点M,N,设线段MN的中点P的纵坐标为A.-12B.-327.已知函数fx满足fx≥0,则“fx单调递减”是“存在h>0,对任意的xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点Ax1,y1,Bx2,y2,定义dAB=x1-y22+x2-y12为AA.1-2B.1+2二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.设数列an的前n项和为Sn,满足SA.aB.SC.Sn+D.若bn=log14an,数列1bnbn+110.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2A.若F是BB1的中点，则直线AF与CB.由B1,C,C.C1E与平面BCE所成角为D.三棱锥C1-B111.数学中有许多形状优美的曲线,曲线C:x2+y2=23x-A.曲线C与直线y=x有B.曲线C与圆x2+y2C.曲线C所围成的图形的面积为:8D.若点P在曲线C上,点Q0,-2,线段PQ三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x(单位:万元)，并绘制成右侧的频率分布直方图，则a=_____；x的第80百分位数为13.如图,设Ox,Oy是平面内相交成60∘角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量OP=xe1+ye2,则把有序数对x,y叫做向量OP14.函数fx=sinx四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆的标准方程和离心率；(2)若直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C相交于P，Q两点(点P在x轴上方)，PF=-2QF(O为坐标原点),求直线l16.(本小题满分15分)△ABC中,AB⊥BC,P是△ABC(1)若sin∠BAP=14，求(2)若AB=BC，求△ABC中AC17.(本小题满分15分)如图，四棱锥P-ABCD顶点A在平面α内，其余顶点均在平面α同侧，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形,AB=PA=2,点M为PD的中点,点B与点D到平面(1)求证:AM⊥PC(2)求平面PCD与平面α夹角的余弦值.18.(本小题满分17分)已知函数fx(1)求不等式0<f(2)已知a<0，求g(3)若0<x1<x2,x0∈x19.(本小题满分17分)流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌α和致病菌β共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈。(1)若有某种治疗方案M，有23的概率能杀灭致病菌。α.若这种治疗方案能杀灭致病菌α，则它有34的概率能杀灭致病菌β.若这种治疗方案不能杀灭致病菌α,则它有14的概率能杀灭致病菌β.求使用治疗方案M痊愈的条件下,能杀灭致病菌α(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天(假定药物使用时，均按疗程服用3天)，超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌α和致病菌β的概率分别为45、710,且对于同一种药物,杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌α和致病菌β的概率均为(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为P0.设针对药物C的nn≥3次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为Pn，且每次治疗结果相互独立.高三·数学·核心素养·参考答案选择题1.C2.D3.D4.A5.C6.B7.A8.B9.ACD10.BD11.ABD填空题12.0.25.4 13提示:1.由题意得,A=x∣x-2.由题可得EX=13.∵i2026⋅x3=-1,∴x3=1,x∈C,∴x4.依题意,an+1-2=an+2n,令n=1,得a2-2=a1+5.设动圆的圆心坐标为x,y,圆心到直线l1:y=2x的距离为d1=y-2x5,圆心到直线l2:y=12x的距离为d2=2y-x5,又动圆M与l1交于A,B两点,与6.由题意可得,Mcosx,sinx,Ncosx-π3,sinx-π3,7.充分性分析:∵h>0,∴x+h>x,∵fx单调递减,∴fx+h <fx,∵fx≥0,∴fh≥0,∴fx≤fx+fh,∴f(x +h)<fx≤fx+fh,∴fx+h<fx+fh,∴“fx单调递减”是“存在h>0,对任意的x∈R,均有fx+h <fx+fhn的充分条件;必要性分析:设fx=0,x∈Q1,x∉Q,取h=2,当x∈Q时,x8.由函数可得x=lny-a+2,即y=lnx-a+2,∴y=ex-2+ a的反函数为y=lnx-a+2.由点Bx2,y2在曲线y=ex-2 +a上,可知点B1y2,x2在其反函数y=lnx-a+2上,∴ dAB=x1-y22+x2-y12相当于y=ex-2+a上的点Ax1,y1到曲线y=lnx-a+2上点B1y2,x2的距离,即dAB=dAB1=x1-y22+x2-y12,利用反函数性质可得y =ex-2+a与y=lnx-a+29.当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2.当n≥2时,Sn-1=2an-1 -2,∴an=Sn-Sn-1=2an-2-2an-1-2,即anan-1=2,∴数列an是以首项为2,10.对于A,直线AF与C1E是平行直线，故A错误；对于B，如图，过B1，C,E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形B1CEF,F为A1D1的中点(平行则四点共面),∴等腰梯形B1CEF的周长为32+ 25, B正确.对于C,∵C1E2+CE2=22+12+22+12=10≠ C1C2,∴C1E与CE不垂直，∴C1E与平面BCE不可能垂直，11.对于A,由y=xx2+y2=23x-2y,可得2x2=2x(3-1),∴x2=x3-1,即x2=x3-1,解得x=0或x=3-1,∴x=0或x=3-1或x=1-3,∴曲线C与直线y=x有3个公共点,故A正确;对于B,由x2+y2=5x2+y2=23x-2y,曲线C所围成的图形的面积为四个全等弓形OAB的面积之和,设弓形OAB的面积为S1,∵AB⏜所在圆的圆心为D3,-1,半径为2,OA= 23,在△ADO中,cos∠ADO=4+4-122×2×2=-12,∠ADO∈ 0,π,∴∠ADO=2π3,∴扇形ADO的面积S'=12×12.设销售额的第80百分位数为m,由已知1×(0.16+a+0.26 +a+0.12+0.06)=1,解得a=0.213.依题意、e114.由于f-x=sin-x+cos-x-sin-x-cos-x∣ =sinx+cosx-sinx-cosx=fx,且定义域为R,∴fx=sinx+cosx-sinx-cosx是偶函数,∴只需要研究x≥0部分,即fx=sinx+cosx-sinx- cosx∣,由于fx+2π=sinx+2π+cosx+2π- sinx+2π-cosx+2π=sinx+cosx-解答题15.(1)∵椭圆C:x2a2可得2又∵椭圆C的右顶点为抛物线y2=42x∴∴椭圆C的方程为x22+离心率为e=ca(2)由题意知l的斜率不为0,F1,0故设l的方程为x=my+由x=my+1x2Δ=8m2∵PF=-2QF,依题意知∴y1则y1解得m2=∴直线l的方程为x=-即y=-14216.(1)根据正弦定理得，PBsin∠BAP∴sin∠ABP=PA∵∠ABP<π根据正弦定理得PBsin∠∴sin∠BCP=PB(2)设AB=BC在△APB中,根据余弦定理P得4=化简得cos∠ABP=a在△CPB中,根据余弦定理P得2=化简得cos∠CBP=a∴sin∠=4a2∵cos∠ABP∴a2化简得a4-6a2+5=0,又PA+∴a=∴△ABC中AC边上的高52=17.(1)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，则直线以点A为原点,直线AB,AD,AP分别为x,y则A0,0,AM=PC因此AM⋅即AM⏜⊥PC∴AM⊥PC(2)由(1)得PD=0设平面PCD的法向量m=则m⋅PD=2b-2c=0设平面α的法向量n=点A∈α,AB=2,0,0,AD=0,2,得AB⋅nn=22由顶点P,B,C,D取x=1,y=1因此cos平面PCD与平面α夹角的余弦值为1+6418.(1)已知fx=xlnxx>0，对其求导可得f'x=lnx+1，(1当x变化时,f'x,x011f-0+f↘极小值↗(4分)f1=0,fe=e,结合fx的草图可得不等式(2)由题意可知gx的定义域为0,+∞且g'则当x∈0,e时,g'x<0;当故gx在区间0,e上单调递减,在e,+∞上单调递增.(7∵a<0当x∈0,e2时,xlnx-当x>e2时∵gx在e2∴当a<0时,fx有且仅有一个零点.(3)证明:由fx得x2则lnx要证2x1x2x1即证ln2x1令t=x2x1t即证ln2tt下证t-先证lnx设px当x∴px在1,+∞则px>p令Fx则只需证明Fx又∵lnx∴F'∴Fx在1,+∞上单调递减,则F即2x1x19.(1)设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌α为事件E，则PD=2∵事件E发生则事件D必发生,故PPE∣D(2)设PA表示药物A能治愈疾病S的概率，PB表示药物B能治愈疾病S则有P设先用药物A再