专题十 概率与统计第二十八讲 统计初步答案

专题十概率与统计

第二十八讲统计初步

答案部分

2019年

I.因为从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，所以系统抽样的分段间隔为

也％0,

100

因为46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第•组随机抽取-个号码为6,

以后每个号码都比前一个号码增加10,所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，

设其数列为{q},则4=6+10(〃-1)=10九一4,

当72=62时.，/2=616.即在第62组抽到616.故选C.

2.解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

-10x0.97+20x0.98+10x0.993

x=-------------------------=0.98.

10+20+10

3.解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调杳的100个企业中产值增长率不低于40%的企

14+7

业频率为-----=0.21.

100

2

产值负增长的企业频率为一=0.02.

100

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值

负增长的企业比例为2%.

(2)J=-^(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30,

S2=-!-£"(巧一刃2

lootr')

=*[(-0.40)2x2+(-0.20)2x24+0?x53+0.202x14+0.402x7]

=0.0296,

s=V0.0296=0.02x774«0.17,

所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.

4.解析由题意可作出维恩图如图所示：

所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，

70

则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：一=0.7.故

100

选c.

5.解析(1)由已知得0.70=。+0.20+0.15,故々=0.35.

b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

6.解析一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为工=4(6+7+8+8+9+10)=8,

6

所以该组数据的方差为

$2=1((6-8)24-(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)24-(10-8)2]=".

63

7.解析(I)由题知，样本中仅使用A的学生有27+3-30人，仅使用B的学生有M+L25人，

A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

40

估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为——x1000=400.

100

(II)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取I人，该学生上个月的支付金额大于2000

元”，则P(C)='=0.04.

25

(III)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查I人，该学生本月的支付金额大于2000

元

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(II)知，

P(E)=0.04.

答案示例1：可以认为有变化.理由如下:

P(£)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额

大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：

事件E是随机事件，P(£)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的.所以无法确定

有没有变化.

8.解析(1)由己知，老、中、青员工人数之比为6:9:10,由于采用分层抽样的方法从中

抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.

(ID(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

{AB},{AC},{AD},{AE}4A尸},{3,C},{B,£>},{3,E},{8,F},{C,D},{CE},{CF},{D,E},{D,F}{E,F}

,共15种.

(ii)由表格知，符合题意的所有可■能结果为

{48},{4。},{4七},{4尸},{氏。},{氏£},{氏/},{。,£},{。,/},{。,尸},{瓦/},

共11种.

所以，事件M发生的概率P(M)=*

2010—2018年

1.A【解析】通解设建设前经济收入为。，则建设后经济收入为2。，则由饼图可得建设

前种植收入为0.6〃，其他收入为0.04。，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74。，

其他收入为0.1。，养殖收入为0.6〃，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16。，所以

新农村建设后，种植收入减少是错误的.故选A.

优解因为0.6v0.37x2,所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A

是错误的.故选A.

2.B【解析】由统计知识可知，评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，选B.

3.A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；选A.

4.A【解析】甲组：56,62,65,70+X,74,乙组：59,61,67,60+y,78.要使两

组数据的中位数相等，则65=60+y,所以>，=5,

「56+62+65+(70+/)+7459+61+67+65+78…弁

又--------------------------=---------------------,解得x=3o,选A.

55

5.D【解析】由图可知0C在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C以上，A正确；

由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均

最高气温都约为10℃,基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不

是5个，D不正确，放选D.

6.B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1〜8号，所以进入30秒跳绳决赛的

6人从卜8号里产生.数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则

得分为63,a,60,63,。一1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号，5号学

生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学

生必进入30秒跳绳决赛，故选B.

7.D【解析】自习时间不少于22.5小时的有200x(0.16+0.08+0.04)x2.5=140,故选

D.

8.D【解析】结合图形可知，2007年与2008年二氧化硫的排放量差距明显，显然2008年

减少二氧化硫排放量的效果最显著；2006年二氧化硫的排放量最高，从2006年开始

二氧化硫的排放量开始整体呈下降趋势，显然A、B、C正确，不正确的时D,不是

正相关.

2g

9.B【解析】依题意，这批米内夹谷为工xl534kl69(石).

254

10.C【解析】由题意，息体中青年教师与老年教师比例为幽=3；设样本中老年教师

9009

的人数为x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相笔，即

320160八

——=—,解得x=180.

x9

11.C【解析】因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样

的方法最合理.

12.C【解析】因为该校女教师的人数为110x70%+150x(l-60%)=77+60=137.

13.B【解析】第一组(13(),13(),133,134135),第二组(136,136,138,138,138),

第三组(139,141,142),第四组(142,142,143,143,144),

第五组(144,145,145,145,146),第六组(146,147,148,150,151),

第七组(152,152,153/53,153),故成绩在［139,151|上恰好有4组,

故有4人，选B.

1nnn

14.C【解析]由3?=25,可得分段的间隔为25.故选C.

40

15.A【解析】所抽人数为(3500+2000+4500)x2%=200,近视人数分别为小学生

3500x10%=350,初中生4500x30%=1350,高中生2000x50%=1000,.••抽

取的高中生近视人数为1000x2%=20.选A.

16.D【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方

法，每个个体被抽到的概率都是《•，故故选D.

17.C【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理

的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.

18.B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道

P=(0.03+0.025+0.015+0.01)*10=0.8,故分数在60以上的人数

为600x0.8=480人.

19.B【解析】由图可知去掉的两个数是87,99,所以87+90x2+91x2+94

+90+x=91x7,x=4.

=1[(87-91)2+(90-91)2X24-(91-91)2X2+(94-91)2X21=—.

77

45+47

20.A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即------二46,众数是45,极差为

2

68-12=56.所以选A.

21.分层抽样【解析】因为不同年龄的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进

行分层抽样，才能了解到不同年龄段客户对公司服务的客观评价.

89+89+90+91+91

22.90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为--------------------=90.

3()0

23.18【解析】应从丙种型号的产品中抽取60x——=18ft.

1000

24.①16：②29【解析】①由于前一天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16

种商品第二天未售出；答案为16.

②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商

品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的酒品都是第一天售出过的，此时商品

总数为29.分别用表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形.故答

案为29.

25.11［解析］由J=5得(2%+1)+(2々+1)+.一+(2夕+1)

n

二2x"l+/+…+工+1=2无+1=11.

n

26.(I)3；(II)6000【解析】(I)0.1xl.5+().lx2.5+().lxa+().lx2

40.1x0.8+0.1x0.2=1,解得4=3；(II)区间［050.9］内的频率为

1-().1x1.5-().1x2.5=0.6,则该区间内购物者的人数为1(XXX)x().6=6(X)0.

27.24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm的频率是(0.025

+0.015)x10=0.4,又样本容量是60,所以频数是0.4X60=24.

4

28.60【解析】应从一年级抽取300?-----------60名.

4+5+5+6

29.10【解析】设五个班级的数据分别为。v〃vcvdve。由平均数方差的公式得

a+/?+c+d+e_r(6/-7)2+(/?-7)2+(c-7)2+(J-7)2+(^-7)2_曰缺攵小饪户

一，，-4,业然各I括号

55

为整数。设。一7,〃一7,。一7,，/一7,6—7分别为〃,名r,5",(p,q,r,s,tsZ),

则………⑴

p~+q~+广+r+厂=20-(2)

设/(x)=(x-pF+(犬-q¥+*—r)2+3-SA=

4.v2-2(p+q+r+s)x+(p2+q2+r2+s2)=4x2+2tx+20-r2,因为数据互不相

同，分析f(x)的构成，得/(幻＞0恒成立，因此判别式A＜0,得，＜4,所以，工3,

即eSK)。

3

30.15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的三，利用分层抽样的有

10

3

关知识得应从高二年级抽取50X—=15名学生。

10

4

31.160【解析】总体中男生与女生的比例为4:3,样本中男生人数为280x—=160.

7

32,9【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10x1+0.12x1=0.22,总城市数为11X).22=50,

最右面矩形面积为0.18x1=0.18,50x0.18=9.

33.【解析】(1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35而的频率为

0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m?的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水最的平均数为

xi=4(0.05x1+0.15x3+0.25x2+0.35x4+0.45x9+0.55x26+0.65x5)=0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

—1

X2=—(0.05x1+0.15x5+0.25x13+0.35x10+0.45x16+0.55x5)=0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-().35)x365=47.45(1/).

34•【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需

时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间

至多79分钟.因此笫二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为S5.5

分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第

二种生产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分

钟；用笫二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生

产方式的效率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的

最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布

在茎7上的最多，关于•茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所

需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第

一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其也合理理由均可得分.

(2)由茎叶图知相="@=80.

2

列联表如下：

超过in不超过〃2

第一种生产方式155

第二种生产方式515

(3)由于K?二竺空生二?包=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式

20x20x20x20

的效率有差异.

35.【解析】(1)I日养殖箱的箱产量低于50kg的频率为

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)x5=0.62.

因此，事件A的概率估计值为0.62.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

“2200x(62x66-34x38)2

K=------------------------»15.705.

100x100x96x104

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg

到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，月新养殖

法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖

法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.

36.【解析】(I)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为

(0.02+0.04)x10=0.6,

所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.

所以从总体的400名学生中随机抽取一-人，其分数小于70的概率估计为0.4.

(1【)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,

分数在区间[40,50)内的人数为100—100x0.9—5=5.

所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400x^=20.

(III)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)x10x100=60,

所以样本中分数不小于70的男生人数为60x，=30.

2

所以样本中的男生人数为30x2=60,女生人数为1(X)-60=40,男生和女生人数的

比例为60:40=3:2.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.

37.【解析】(I)当一119时,y=3800；

当x>19时，=3800+500(x-19)=500x-5700,所以y与x的函数解析式为

3800,x<19,

(xsN).

-500x-5700,x>19,

(II)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,

故〃的最小值为19.

(III)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有7()台在购

买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100

台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为」7(4000x90+4500x10)=4050.

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

38.【解析】(D由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频

率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水最不超过2立方米的居民占45%.

依题意，漳至少定为3.

(II)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布

表:

组号12345678

分组[2,4](4,6](6网(8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]

频率0.10.150.20.250.150.050.050.05

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

4x0.1+6x0.15+8x0.2+10x0.25+12x0.15+17x0.05+22x0.05+27x0.05

=10.5(元).

39.【解析】

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均

值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区

用户满意度评分比较分散.

(II)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记C.表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；Cs表示事件“B地区用户的满

意度等级为不满意”.

由直方图得P(Q)的估计值为(0.01+0.02+0.03)x10=0.6,

P(CB)的估计值为(0.005+0.02)X10=0.25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

40.【解析】(I)以题意20x(0.002+0.0095+0.01l+0.0125+x+0.05+0.0025)=1,

解得x=0.0075

(ID由图可知，最高矩形的数据组为［220,240),・•・众数是220；24°=230.

V［160,220)的频率之和为(O.()O2+O.(X)95+().()lI)x2()=().45,

由题意设中位数为

・•・(O.(X)2+O.(X)95+0.()11)X20+0.()125x(々-220)=().5,

得：。=224,所以月平均用电量的中位数是224.

(III)月平均用电量为［220,240)的用户有().()125><20><18)=25户，月平均用电量为

［240,260)的用户有0.0075x20xl00=15户，月平均用电量为［260,280)的用户有

0.005x20x100=10户，月平均用电量为［280,300］的用户有0.0025x20x100=5

户'抽取比例=25+工。+5总所以月平均用电量在［22。,240)的用户中应抽取

25x』=5户.

5

41.【解析】(I)由所给数据计算得i=L(1+2+3+4+5+6+7)=4

7

一I

y=-(2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3

7

7_

£&-1)2=9+4+1+0+1+4+9=28

i=\

i(A-y)=(-3)x(-1.4)+(-2)x(-l)+(-l)x(-0.7)

/=1

+0x0.1+1x0.5+2x0.9+3x1.6=14

7__

Za—ay—),)14_..

b=——；----------------=—=0.5,a=y—bt=4.3-0.5x4=2.3.

Z(/.-/)228

Z=1

所求回归方程为y=0.5/+2.3.

42.【解析】(I)

频率/组距

0.040

0.038

0.036