专题7-1立体几何压轴小题截面与球（讲练）-2023年高考数学二轮复习

专题7-1立体几何压轴小题；截面与球

目录

讲高考..................................................................................01

题里全归纳..............................................................................06

【题型一】截面最值...............................................................06

【题型二】球截面.................................................................09

【题型三】截面综合难题...........................................................12

【题型四】线面垂直型求外接球.....................................................15

【题型五】特殊三角形定球心型.....................................................18

【题型六】定义法列方程计算型求球心...............................................20

【题型七】内切球.................................................................23

【题型八】棱切球型最值...........................................................27

【题型九】内切球与外切球一体综合.................................................28

【题型十】球综合.................................................................32

专题训练.........................................................................36

讲高考

I.江西•高考真题）如图，在四面体A8CO中，截面A月产经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球

心O,且与8。、OC分别截于E、尸.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三

棱椎A-EFC的表面积分别为其,邑,则必有（？??？）

A.S）＜S2B.5,>5;C.S、=S,D.S2的大小不能确定

【答案】C

【分析】连接OA、OB、OC、OD,OE,OF,表示出乙_B的、匕.EFC，即可得到*与S?的关系.

【详解】解：连接OA、OB、OC、OD,OE,OF,

则匕-弼。=Vt）-AB/）+Vo-AB/；++^O-AFD,^A-EFC=匕-Aft+%-AEC+“O-EFC»

乂^A-BEFD=匕-EFC，

而以上等式右边的每个三（四）棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，乂面AE/公共，

故S：）+S4AHK+SBKFD+S6]*=+S"t£c+S『FC，即，=S?.

故选：c.

2.（2022.全国•统考高考真题）在正方体ABCO-A与GR中，E,"分别为A氏8C的中点，则（????）

A.平面与上/_L平面8DRB.平面4石尸3_平面48。

C.平面与石厂//平面4ACD.平面用石尸〃平面

【答案】A

【分析】证明斯/平面即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,设A8—2,

分别求出平面8£尸，\BD,AG。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体/WCD—4BC。中，

AC18。且。。L平面ABCD,

又瓦1u平面A8C。，所以

因为瓦尸分别为ABIC的中点，

所以瓦'/AC,所以EF上BD，

乂BDCDR=D,

所以所上平面8。2，

又Qu平面8卢尸，

所以平面与石厂J.平面80%,故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A5=2,

则4(2,2,2),£(2,1,0),尸(1,2,0),4(220),4(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C,(0,2,2),

则际=(-1,1,0),函=(0J2),丽=(2,2,0),西=(2,0,2),

职=(0,0,2),正二(一2,2,0),福=(—2,2,0),

设平面片EF的法向量为正=(M，x，zJ，

,.th-EF=-x.+y.=0j一/、

则有＜1/'八，可取勿=22-1),

7

tir-EB.=3,1+2z,=0'

同理可得平面4出)的法向量为另,

平面AAC的法向量为a=(1,1,0)，

平面4G。的法向量为&=(1,1,一1),

则"q=2—2+1=1/0,

所以平面用石产与平面A6Q不垂直，故B错误；

in

因为正与〃2不平行，

所以平面与£尸与平面4AC不平行，故c错误；

因为而与胃不平行，

所以平面与E产与平面AC。不平行，故D错误，

故选:A.

02/53

选项RCD解法二：

解：对于选项B,如图所示，设4808卢=",即口8。=%，则MN为平面B卢厂与平面A8Q的交线,

在ABMN内，作BP_LMNF点儿在AEMN内,作GP工MN,交EN于点、G,连结8G,

则NBPG或其补角为平面B*F与平面A.BD所成二面角的平面角，

PG2+PN2=GN\

底面正方形A8CO中，E/为中点,则所_LAO,

由勾股定理可得NB2+NG2=BG',

从而有：NB?+NG?=(PB2+PN》(PG2+PN2)=BG?,

据比可得尸斤+^^工氏；？，即NBPGH90,

据比可得平面B'EF1平面A.BD不成立，选项B错误：

对于选项C,取A4的中点，，WAHWB.E,

由于4”与平面AAC相交，故平面同石尸〃平面AAC不成立，选项C错误;

对于选项D,取A。的中点股，根明显四边形人的人”为平行四边形，则

由于AM与平面4G。相交，故平面四£?〃平面AC。不成立，选项D错误；

3.(2022•全国•统考高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为38和46,其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为(????)

A.1007tB.12871C.14471D.192立

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在I员1面的半径4,G再根据球心距，圆面半径，以及球的半

径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小弓，所以〃=舞-,2心=必-,即。=3他=4,设球

sin60_sin601

心到上下底面的距离分别为4W，球的半径为R，所以4=，*—9,4=」版—］6,故14-阂=1或

4+4=1,即h-9-J"16='或尿。+必飞=1,解得尸=25符合题意，所以球的表面积为

4.（2022•全国•统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/，其各顶点都在同一球面匕若该球的体积为364,

且3W/W36,则该正四棱锥体积的取值范围是（????）

【答案】c

【分析】设正四棱锥的高为〃，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正

四棱锥体积的取值范围.

【详解】•・•球的体积为36万，所以球的半径R=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2〃，高为/?,

则『=2.2+//，32=2a2+（3-h）\

所以6〃=尸，2a2=l2-h2

Ii2/4f\（/6

所以正四棱锥的体积助=彳>4/、力=7><（/2-玄）'三二八Z4--

555JoOV30

当34/V2#时，7>0，当2"</436时，V'<0,

l64

所以当/=26时，止四棱锥的体积V取最大值，最大值为三，

27c1

又/=3时，V=—,/=3后时，V=—,

44

04/53

所以正四棱锥的体积V的最小值为,

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是

43

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以3333L3」3当且仅当〃=4取到

)

当2时，得&,则33夜24

/；=3+3=9

当/=36时，球心在正四棱锥高线上，此时‘一5”-5,

与二空j二噌小。」挛了2旦〈竺

22夜，正四棱锥体积3372243,故该正四棱锥体积的取值范围是

2764

5.（2021・天津•统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为华,

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（????）

A.3万B.4乃C.94D.12乃

【答案】B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,

再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如卜图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，

设圆锥A。和圆锥8。的高之比为3:1,即AD=38O,

设球的半径为R,则生匕=也，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，80=1,AD=3,

-CDLAB,典1NCAD+ZACD=NBCD+ZACD=90,所以，NCAD=NBCD,

又因为NAQC=NBQC,所以，,

所以,».e.CD-xlADBD-x/5，

因比，这两个圆锥的体枳之和为;犷。。2.（4。+瓦））=：h3'4=4".

故选：B.

6.（2020.全国•统考高考真题）已知AB,C为球。的球面上的三个点，为AABC的外接圆，若0a的

面积为4几，AR=HC=AC=OO.,则球。的表面积为（？??？）

A.64兀B.48兀C.367：D.32兀

【答案】A

【分析】由己知可得等边~她（■接圆半径，进而求出其边长,得出0Q的值，根据球的截面性质，求

出球的半径，即可得出结论.

【详解】设圆。।半径为「，球的半径为R，依题意，

得+=44,.」=2,•••△A8C为等边三角形，

由正弦定理可得48=2八皿60。=26，

:.00、=AB=2g，根据球的截面性质0a，平面人8C,

00J_QA,H=04=go：+QA?=[OO：+/=4,

・••球。的表面积S=47rA2=64%.

故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

题型全归纳

【题型一】截面最值

【讲题型】

例题L正方体ASG。为棱长为2,动点P,。分别在棱8。，CG上，过点A,P,。的平面截

该正方体所得的截面记为S,设BP=x,CQ=yt其中x,ye[0,2],下列命题正确的是.（写出所

有正确命题的编号）

0

①当x=0时，S为矩形，其面积最大为4；②当x=y=l时，S的面积为彳；③当x=l,）01,2）时，设S

4Q

与棱的交点为R,则RR=4-二；④当y=2时，以凡为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值g.

【答案】②③④

【分析】由题意可知当x,y变化时，s为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可.

【详解】解：

06/53

当x=0时，点P与点B重合，「乂台，〃。，此时S为矩形，当点。与点G重合时，S的面积最大,

5=2x2&=4夜.故①错误；

当x=l,y=l时,P0为』BCC1的中位线,PQ//BG，•.♦8CJ/AR,.•.必〃相，「.S为等腰梯形APQA

的面积,

过尸作PE1A。于E,PQ=VJ,AD、=2立,AE=—,AP=6，PE=—

22

S梯平户凿=-x372x=-»故②正确;

可得AF//CG，ACQRSAD'FR,鬻=鬻

由国可设S与DA交于点尸,

D\KkD、

4

•••CQ=y，则GQ=2—y,••.R"=4__,故③正确;

y

5

11Q

当)，=2时，以修为定点，S为底面的棱锥为修-APG",%_.”=2%-叼〃=2'992乂2'2=(故④正

故答案为：②③④.

【讲技巧】

求截面方法：

I.平行线法：

(1)利用两条平行线确定一个平面，

(2)一个平面与两个平行平面相交，交线平行

2.相交线法：

(1)两条相交直线确定一个平面

(2)若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内

【练题型】

1.如图，长方体A8CO-A4GA中，AB=BC=4,M=3,M是线段。G的中点，点N在线段8c上，MN

//BD,则长方体ABCO-A8C。被平面4MN所截得的截面面积为.

【答案】776

【分析】先判断出截面是五边形AEM/VF,再求出相关边长，通过S画形心,w=S△用.+品边形EWVF计算面积

即可.

如H,M是线段RG的中点，点N在线段8C上，MN〃3Q,所以N为&G的中点.延长A0交直线MN于

08/53

点P,连接4。交QR卜点£延长AQ交直线MN「点Q,

连接AQ交网于点工则PM=MN,NQ=MN.于是易得E?F分别为DD'BBi的三等分点，因此截面为五边

形AEMNF,

AE=AF=2^EM=FN=6MN=2夜，所=4及，

过A作A7_LPQIT，交EFJ-S,由A£=4/=2石，AP=4Q=3有可得AS=2>/lAr=3后，故

+

S%边形AEMNF=S^AEFS四边形EMV「《32园灯血7折

故答案为："1限.

2.如图，在正四棱台ABCD-ARCR中，上底面边长为4,下底面边长为8,高为5,点M,N分别在A4，RG

上且AM=2N=1.过点的平面。与此四棱台的下底面会相交，则平面。与四棱台的面的交线所围

成II形的面积的最大值为

A.18"B.306C.6aD.360

【答案】B

【分析】由题意可知，当平面a经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱

台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积.

【详解】当斜面a经过点8CNM时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时a为等腰梯形，上

底为MN=4,下底为BC=8

此时作正四棱台ABCQ-A8GA俯视图如下：

则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5

因为正四棱合ABC。-A&GA的高为5,所以截面等腰梯形的高为斤亨=5夜

所以截面面积的最大值为S=1x（4+8）x5应=30夜

所以选B

【题型二】球截面

【讲题型】

例题1.在三楂锥A-8CQ中，AB=BC=CD=DA=2丘,ZADC=ZABC=90°,平面A8C_平面ACQ,

三棱锥人一8CQ的所有顶点都在球。的球面上,E,r分别在线段OB,C。上运动（端点除外），4七=&。厂.当

三棱锥E-AC/的体积最大时，过点尸作球。的截面，则截面面积的最小值为（？??？）

3

A.兀B.也兀C.-HD.2兀

【答案】C

【分析】作出图形，辅助线，找到球心位置，求出半径，设CF=x,则8E=&x<2,所以0<xv&，表

达出三棱锥E-AC/的体积V=-|工-乎+?，得到当x=E时，V取得最大值，当垂直于截面时,

32

截15圆的面积最小，求出截面面积的最小值

【详解】如图，取AC的中点。，连接。F,0B,

因为/ADC=NA8C=90。，所以OA=O8=OC=OO=，AC,即。为球心,

2

则球。的半径公=2.又A8=BC,所以08_LAC,

又平面A8C_L平面ACQ,平面ABC/O平面ACO=AC,O8u平面43C,

所以OBJ_平面4CD.

设。尸=羽则8石=岳<2，所以0<x<&，

所以三棱锥E-ACF的体积V=：S/XOE=%；CFADOE

当*=立时，V取得最大值2.由于CM=08=OC=O/）,

23

在ACO尸中，由余弦定理得：

0F=yloc2+CF2-20C-CFcos^ACF=J4+--2x2x—x—=—，

V2222

根据球的性质可知，当。尸垂直于截面时，截面圆的面积最小，

设比时截面圆的半径为〃所以r=jR2-O尸

则截面面积的最小值为口2=元（半）=|兀

故选：C.

【讲技巧】

用一个平面a去截球，若平面a经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面a不经过

球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。

【练题型】

L已知一个正四面体的棱长为2,则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度

为.

10/53

病兀

【答案】

亍

【分析】两个球相交形成的截面图形为圆面，根据几何形质求出截面圆的半径即可.

【详解】设外接球半杼为外接球球心到底面的距离为/?.

则/?+「=亚/=力2+±,所以==逅，两球相交形成形成的图形为圆,

332

“66

如图，在中，cosZDPO=-i=sinZDPO=—,在△P/g中,

c1,666

2xlx——

2

DO】=PDsinZDOP=噜，

所以交线所在圆的半径为叵,所以交线长度为2小回=叵.故答案为：造逅

6633

2.在正四棱锥P-A8CD中，已知PA=AB=4,。为底面A8CD的中心，以点0为球心作一半径为迪的

3

球，则平面2W截该球的截面面积为.

【答案】83成#8兀3

【分析】取C。中点E，连接左.作OG_LP£，根据线面垂直的判定与性质可证得OG1平面尸8,由球

的性质可确定G为所求截面圆的圆心，设”为该截面圆与庄的一个交点，利用勾股定理和面积桥的方式

可求得拈，即截面圆的半径，由此可得所求面积.

【详解】由正棱锥性质知：P。，平面ABCO,

取CD中点E,连接夕石，作OG_LPE,垂足为G,

•.♦PO_L平面A8CD,C£>u平面A8CO,.•.夕O_LCO，

E分别为ACC。中点，」.。匠〃?!。，又AD1CD、：.OE工CD,

fOEu平面POE,POnOE=O,\C£)A平面PO£,又。Gu平面POE,

..OGLCD,又OG工PE,CD,PEPCD,CD^}PE=E,

.,.OG_L平面PCO,则由球的性质可知：G为平面PCO截球。所得截面圆的圆心,

设H为该截面圆与庄的一个交点，连接。〃，

APE=>/874=273,又S.POE=3POOE;PEOG,..OG=00”=迥

“22PE3

v0/7=—,:.HG=ylOH2-OG2=—,即截面圆的半径,•=冬区，

333

「•截面圆的面积S=4/=”.故答案为：g.

33

【题型三】截面综合难题

【讲题型】

例题1.如图，在四棱锥Q-EFG〃中，底面是边长为2&的正方形，QE=QF=QG=QH=4,M为QG的

中点.过作截面将此四棱锥分成上?下两部分，记上?下两部分的体积分别为匕，匕，则5的最小值为

【答案】A

【分析】先判断A为△QEG的重心，再利用重心得到‘+'=3,求出匕网十%_惭=46孙，进而得

XV

到方，借助基本不等式求出最小值即可.

【详解】

--------------

过Q作平面EFG”的垂线，垂足为0,连EG,EM,设EM,Q。的交点为A,在△。”尸中过A作直线8c交

QH、QF于&C两点，由相交宜线确定平面，则四边形ECM6为过EM的截面.由计算可得EG=4,,得AQEG

为正三角形，。。=26，所以A为AQEG的重心，设Q8=xQ〃,QC=y。/,由向量运算可得

QA=^Qd=^QH+^-QF,又班=l的,配=y炉，可得Q斤反炉=,农，所以

333xy

—]一1—,]|1]

QA=QB+QCt由三点共线，得丁+丁=1,即_+_=3,易得石到平面QH尸的距离为OE=2,M

3x3y3x3yxy

12/53

到平面。〃尸的距离为1,因为Sd2nc=；Q3QCsin?=4ViD，，所以

匕=LQBC+Vs=|'。犷（1+2）=J。・。。•sin9=46*曝…=JxR&『x26=华，得

DNDJJ

-

16匕_4&y_14]],.Fj

%=耳飞回46D「一十F，由一73,3=-+->2^-,得

初,，当且仅当4=），=；取等号，所以匕4-3个-4_42,即力勺最小值为1

故选：A.

【练题型】

L在三棱锥P-ABC中，顶点?在底面的射影为△ABC的垂心。（。在AABC内部），且PO中点为M,过

4M作平行于BC的截面。，过BM作平行于AC的截面々，记。，夕与底面ABC所成的锐二面角分别为4,

%,若NPAM=NPBM=O,则下列说法错误的是（？?????？）

A.若4=冬，则AC=8C

B.若4H4,则tan0、-tan4二；

C.。可能值为2

D.当。取值最大时，a=4

【答案】C

【分析】对选项A,先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明△修。与△尸8。全等，然后根据直线OC

垂直并平分线段48即可判断AC=8C；对选项B,找到角的关系NR4M=NP4O-/做40和

/PBM=/PB0-/MB0,然后分别运用正切的两角差公式解得01—=1•即可；对选项C和D，均是先

OAOB2

根据NRW=NPAO-NM4O运用正切的两角差公式，然后通过换元得到•个一元二次方程，然后根据判

别式即可判断.

【详解】

如空所示，连接延长49交与F,连接延长B。交AC与G,设平面ABCf）平面a=/

顶点P在底面的射影为aABC的垂心0,BC〃平面a,平面AB"]平面a=/。则有：直线"C与/平行

又AO_L8C,则AO_L/。PO_L平面ABC,则PO_L3C

又AO_L8C

则8cd.平面PAO

从而PA_L/

故NM4O为a与平面/WC的二面角，即4％4。=4

同理可得：NMBO=4

对选项A,ZPAM=NPBM=8,又4=4，则有：ZPAO=ZPBO

可得：△QAO与△心O全等，则AO=O6

又根据。是△A8C的垂心，则，0CVAB

练上司得：直线。。垂直并平分线段A8

可得：AC=I3C,故选项A正确；

对选项B,易知有如下角关系：

ZPAM=ZPAO-ZMAO

/PBM=ZPBO-/MBO

乂NPAM=/PBM=9,则有：

tanZPAM=tanZ.PBM

...tanZ.PAO-tanZ.MAO

tanZ.PAM=----------------------

1+tanZ.PAOtan/.MAO

.,tanZ.PBO-tanZ.MBO

tanZ7.rPtnBM=---------------------

1+tanZ.PBO-tan/.MBO

OPOMOPOM

OAOA

可得:__7)B~~OB

0PoM，0PoM

14-

OA2OB?

OM21

解得:=

OAOB~2

OM2J

则lan4-tan0=故选项B正确;

2OAOB2

对选项C,若夕=5，则有：tan/B4M=tanNP4。-lanNM4。_G

61+tanZIPAO-tan乙MAO3

则隹OMOAB

lOM^OA23

化笥后可得：2f—Y-V3—+1=0

IOA)OA

令~777=/，则有：2广一4+1=0

OA

则有：△=3-8=-5<0,此时方程无解.，故选项C错误;

对选项D,设lan9=a(a>0),则有：一""“

2OM+OA-

可化徇为：2a----------+。=0

I04JOA

/OM“士,

令"777"=%，则n有：2ax--x+a=0

OA

则有：A=l-8t/2>0

解得：

4

故。取得最大值时，tan<9=—,止匕时3(14=也=立

41OA2

同理可得：tan^=—=

OB2

故tan&=tan02,且可©£„

则有：4="，故选项D正确；

故选：C

2.如图，OE是边长为6的正三角形A8C的一条中位线，将△4OE沿直线OE翻折至△4。石，当三棱锥

A-C。的体积最大时，四棱锥4-8CQE外接球。的表面积为；过反'的中点M作球。的截面,

则所得截面圆面积的最小值是.

14/53

【分析】由题意，当面AQE_L面"CDK时三棱锥A-C")的体积最大，即可确定^AQE的外接圆圆心01,

四边形8COE的外接圆圆心。2,再确定四棱锥A-8。。£的外接球球心0,外接球的半径，求外接球。的

表面积；以EC为直径的球。的截面圆的面积最小，求截面圆面积的最小值

【详解】由题可知，当面AOE，面8CDE时，三棱锥A-。石。的体积最大，

取的中点G,连接4G,易知△石的外接圆圆心O1位于A。且靠近点G的三等分点处，

设BC的中点为。2,连接外七，。2。，则025=02。=02。=。2七=3,

可知。2为四边形8CDE的外接圆圆心，过01作平面AQE的垂线，

过。2作平面灰刀石的垂线，两垂线的交点即四棱锥A-BCDE的外接球球心。.

连接。夕，易得四边形。。。。2为矩形，0。2=*=冬连接。£,

在RhOQE中，。炉=。。；+。2炉=(*)+3]=?，

・•・四棱锥A-BCDE外接球o的表面积为4〃2=39%.

由题可得，以成•为直径的球。的微面圆的面积最小，最小值为传外;=与，=竺?=

\2)4444

故答案为：3%等

【题型四】线面垂直型求外接球

【讲题型】

例预1.已知三棱锥S—A8C的所有顶点都在球。的球面上，SA_L平面ABC,SA=2,若球。的表面枳为

16，则三棱锥s—ABC的体积的最大值为（????）

A.毡B.C.%叵D.673

22

【答案】A

【分析】根据球的表面积公式求巴球的半径，从而求出三角形A8C的外接圆半径，三棱锥底面三角形力4c

面积最大时，三棱锥S—48C的体积取得最大值，求出三角形为等边三角形时，三角形ABC面积最

大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.

【详解】设球的半径为七则4玳2=16兀，解得：R=2,

设三角形ABC的外接圆半径为r,则J+/=2，

即1+产=4，解得：r=>/3，

当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S—A8C的体积取得最大值，

如图所示:

要想“3C面积最大，当4位于BC垂直平分线与圆的交点（BC与A点位于圆心两侧）时，此时三角形

ABC为等腰三角形时，面积最大，

连接8。并延长，交圆于点。，连接C。，则BD=2X/5,BCLBC,

设NC4O=a,ae（0,lJ,则8c=26cosa,OE=Gsina,A£=4O+OE=G+^sina,

则S^ABC=；BC-AE=^x2\/3cosax(6+6sina)=3cosa(1+sina),

令y=3cosa(l+sina),则/=-3sina(1+sina)+3cos2a=-6sin2a-3sina+3=-3(sina+1)(2sina-1),

当即兀时，y'当

sinaw0,g,>0,sinae

6

nn

即aw时，y<o,

6,2

71It

即y=3cosa(l+sina)在a弓上单调递减,

单调递增，在ae652

所以当a=?时，）'=3cosa（l+sina）取得最大值，

6

Ttf.冗）96

y=3cos-1+sin—=-----,

%6（6）4

则三棱锥S-/WC的体积的最大值为叵x2=^

342

【讲技巧】

线面垂直型：

存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外

接圆半径是r,满足正弦定理）

16/53

L模板图形原理

【练题型】

1.已知三楂锥S—ABC的所有顶点都在球。的球面上，S4_L平面ABC,S4=2,若球。的表面积为16产，

则三棱锥S-A3。的体积的最大值为(????)

A.—B.3GC.亚D.6G

22

［答案］A

【5析】根据球的表面积公式求匕球的半径，从而求出三角形A8C的外接圆半径，三棱锥底面三角形ABC

面积最大时，三棱锥S—A8C的体积取得最大值，求出三角形A8C为等边三角形时，三角形ABC面积最

大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.

【详解】设球的半径为凡则4成2=16兀，解得：R=2,

设三角形的外接圆半径为r,则(竽J+/=外,

即1+产=*解得：，.=6，

当三棱锥底面三角形ABC面积最大时，三棱锥S—A8C的体积取得最大值，

如绍所示：

要怛“IBC面积最大，当人位于8c垂直平分线勺圆的交点(8C与八点位于圆心两侧)时，此时三角形

ABC为等腰三角形时，面积最大，

连接30并延长，交圆「点。，连接CQ,则4。=2>/5,/3。_1_8。，

设NCB£)=a,a€(0,；J,则BC=2石cosa,OE=y/5sina»AE=AO+OE=\/3+\f3sina.

则S^ABC=-BCAE=-X2>/3cosax(G+5/5sina)=3cosa(l+£ina)

22

令y=3cosa(l+sina),则/=-3sina(l+sin6r)+3cos2a=-6sin2a-3sina+3=-3(sina+l)(2sina-l),

当sinae(0,；),即。€(0看)时，y'>0,当sinae，

即aw7二］时，y*<0,

162J

7tTt

即)，=3cosa(l+sina)在a0,g单调递增,在ae上单调递减,

6,2

所以当a=F时，y=3cosa(l+sina)取得最大值,

6

Zwx=3cos7,1l+sin\

o6Vo

则三楂锥s—ABC的体积的最大值为L见=

342

I)

故选：A

2.已知ARC,。四点均在半径为为常数）的球。的球面上运动，且A8=AC,ABJ.AC,AD1BC,

若四面体A8CQ的体积的最大值为，，则球。的表面积为（？??？）

6

【答案】C

【蟀5】由题意要使四面体的体积最大，则。在底面A8C的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心N,则

外接球的球心在ON上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得R的值，进而求出外接球的表面积.

因为A3=4C,AB_LAC,AO_L8C,作AN_L8C于N,

则N为BC的中点，且AN=gBC,

若四面体ABCD的体积的最大值时，则ZW/面ABC,则外接球的球心在DN上，设为0,

设外接球的半径为R,连接04,则。4=OD=R,

V_=---BC-AN-DN=--2AN-AN(R+ON)=-AN2\R+ON)=-(OA2-ON2)(R+ON)

f)ABC32633

=-(R+ON)(R-ON)(R+ON)=-(R+ON)(2R-2ON)(R+ON)

36

[m+加+1"丁N）+（R+ON））=3•（竿）当且仅当2R-2ON=R+ON,即R=30N时取等号,

因为三棱锥的最大体积为1，所以可得R==,

6613J64

oq

所以外接球的表面积为5=4;*=4/；=?7r，故选：C.

164

【题型五】特殊三角形定球心型

【讲题型】

例预1.已知三棱锥底面是边长为2的等边三角形，顶点S与A5边中点。的连线S。垂直于底面48C,

且5。=百，则三棱锥S-A8C的外接球半径为（????）

A.73B.立C.V15D.巫

33

18/53

【答案】D

【分加】找到球心的位置，求出各边长，设出OE=O*=x,利用半径相等列出方程，求出半径.

【详解】连接C。，取CD靠近。点的三等分点，则E为等边三角形的外心，

过点E作EO//SD,则点。即为三棱锥S-A8C的外接球球心，连接OS,0C,

过点。作。交S。于点F,则0£=。£0/=石。，

因为底面ABC是边长为2的等边三知形，所以CO=6，CE=-CD=—.DE=-CD=—,

333

设OE=DF=x,则5/=5。一。尸=6-工，设外接球半径为K，则齐=。。2=。炉+日丁

R2=AS2=OF2+SF2=(G-x)2+［理)

故/+(割=(6—x『+悍|,解得：尸争

所以小闺+(手卜”心字

D

【讲技巧】

当几何体表面图形为特殊图形付，则过该表面的外接圆圆心做表现所在平面的垂线，该

垂线必过球心

【练题型】

1.在三棱锥A-BCD中，乙BAC=^BDC=8)c,二面角A-75C-D的余弦值为-g,当三棱锥A-6C£>的体

积的最大值为立时，其外接球的表面积为

4

A.5/rB.64C.7冗D.8%

［答案］B

【讪"根据两个射影，结合球的图形，可知二面角A-3C-。的平面角为N4WD；根据题意可知当

AB=AC,BO=C。时，三棱锥A-BCD的体积最大.根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可

求得球的半径，进而求得表面积.

【详解】如图，设球心。在平面ABC内的射影为。1,在平面BCO内的射影为。一

则二面角的平面角为7AMD,

点A在截面圆。i上运动，点。在截面圆。2上运动，

由国知I,当人3=AC,8O=CO时，三棱锥A-8CO的体积最大，此时A4BC与MDC是等边三角形，

=a

设BC=a,则AM=DM~^~'3co,h=AMsin(乃-NAM。)=^-a,

v,_>/2376