专题18 统计与成对数据的统计分析-2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版）

专题18统计与成对数据的统计分析

思维导图

一、知识速览

1、抽样调查

知识点1随机抽样瞥2、简单随机抽样

〈3、分层抽样

1、频率分布直方图

统计与成对数知识点2用样本估计总体2、百分位数

据的统计分析3、样本的数字特征

1、两个变量的线性相关

知识点3成对数据的统计分析2、回归分析与回归方程

3、残差分析

4、独立性检验

二、考点速览

知识旅理

知识点1随机抽样

1、抽样调查

（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体.

（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体.

（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中

个体的数目叫做样本容量.

2、简单随机抽样

（1）定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样本（/区N）,如果

每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样

本，叫做简单随机样本.

（2）两种常用的简单随机抽样方法

①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器

中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取〃次，就得到一个容量为〃的样本.适用于总体个数较

少的情况。

②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.这里仅介绍随机数表法.随

机数表由数字0,1,2,…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的.适用于总体

个数较多的情况，但是当总体容品很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便.

（3）简单随机抽样的特征（只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样）

①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.

③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.

④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平.

3、分层抽样

（1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定

数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.

（2）分层抽样问题类型及解题思路

①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.

_样本容量各层样本数量

③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=腓蓊=雅就嬴L

【注意】分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取〃，=〃•乂（i=l,2,.«）个个体（其

N

中i是层数，〃是抽取的样本容量，M是第i层中个体的个数，N是总体容量）.

知识点2用样本估计总体

1、频率分布直方图

（1）频率、频数、样本容量的计算方法

频率

①KiX组距=频率.

②样幻,本=频率'样本容量，样本容量x频率=频数.

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1.

（2）频率分布直方图中数字特征的计算

①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中，'立数为x,利用x左（右）侧矩形面积之和

等十0.5,即可求出”.

③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边

中点的横坐标之和，即有i=xpi+xpi++xj”,其中互为每个小长方形底边的中点，p“为每个小长方

形的面积.

2、百分位数

（1）定义：一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有〃％的数据小于或等于这个

值，且至少有（100-〃）％的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组〃个数据的的第〃百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=〃x〃％.

③若i不是整数而大于i的比邻整数则第〃百分位数为第/项数据；若i是整数，则第p百分位数为

第j项与第在1项数据的平均数.

（3）四分位数：我们之前学过的中位数，相当于是笫50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的

分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此

称为四分位数.

3、样本的数字特征

（1）众数、中位数、平均数

①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平.

②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平

均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平.

一Ij—12一—

其中，x=（x,y）称为样本点的中心.

〃1〃曰

（3）相关系数

若相应于变量x的取值为,变量），的观测值为耳（1<i<〃），

n__，r__

Z（w一幻日一）‘）£大身一〃”

则变量X与y的相关系数厂=||,

鬲…喈.一方向二—晨思…9

通常用，•来衡量X与y之间的线性关系的强弱，厂的范围为-IWrWl.

①当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关.

②卜|越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；上|越接近0,表示两个变量间几乎不存在线性相关关

系.当|“=1时，所有数据点都在一条直线上.

③通常当卜|>。・75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系.

3、残差分析

对于预报变量y,通过观测得到的数据称为观测值）力通过回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预

测信等于残差，4称为相应于点（4耳）的残差，即有自=K-1.

残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存

在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

（1）残差图：通过残差分析，残差点（46）比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，

其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适.

（2）通过残差平方和。=之（），厂少了分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反

1=1

之，不合适.

Z（y,一y.）2

（3）相关指数：用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：R2=\-^—.

Zu-y）2

;=1

浦越接近于1,说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好.

4、独立性检验

（1）分类变最：变显的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量.

（2）列联表：

①定义：列出的两个分类变晟的频数表称为列联表.

②2x2列联表：假设有两个分类变量X和匕它们的可能取值分别为｛.叫，*｝和｛9，然｝，其样本频数列

联表（称为2x2列联表）为2x2列联表

为总计

Xaba+b

X?Cdc+d

总计a+cb+dn=a+b+c-k-d

(3)独立性检验；计算随机变量"=------厂，——利用/的取值推断分类变量x和y是否独

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)

立的方法称为/独立性检验.

a0.100.()50.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

L方法技巧J

一、应用随机数法的两个关键点

1、确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；

2、读数时注意结合编号特点进行读取.若编号为两位数字，则两位两位地读取；若编号为三位数字，则三

位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下去，直到获取整个样本.

【典例1】(2023•宁夏银川•银川一中校考一模)对50件样品进行编号3,02,……,50,在如下随机数表

中，指定从第2行第11列开始，从左往右抽取两个数字，抽取6个编号，则抽到的第6个编号是()

486285008938155698822776173903

536660891248395326163490263640

006207961329901923643865964526

A.48B.24C.26D.36

【典例2】(2023上.上海.高三控江中学校考阶段练习)总体由编号为01,02,03,L、50的50个个体组

成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行：

93124779573789184550399455739229

61116098496573509847303098373770

23104476914606792662206205229234

若从表中第6行第6列开始向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是.

二、解决分层抽样的常用公式

先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数.

一、上山上门卜样本容量各层样本容量

（1）抽样比—总体容量—各层个体总量；

（2）层1的容量：层2的容量：层3的容量=样本中层1的容量：样本中层2的容量：样本中层3的容量.

【典例1】（2023上•湖北武汉•高三武钢三中校考阶段练习）某企业为了解员工身体健康情况，采用分层随

机拄样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检.已知该企业营销部门和研发部门的员工人

数之比是5:1,且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72,则参加体检的人数是

C.108D.144

【典例2】（2023.山东潍坊.统考模拟预测）某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的

得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽

取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为人.

三、频率分布直方图的计算

1、由频率分布直方图进行相关计算需掌握的2个关系式

（2）程篇鬲=频率，此关系式的变形为篇拿=样本容量，样本容量x频率=频数.

2、利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法

（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值.

（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和.

（3）众数：最高的矩形的中点的横坐标.

【典例1】（2023上•贵州黔东南•高三天柱民族中学校联考阶段练习）（多选）某工厂为了了解一批产品的质

量，从中随机抽取了100件产品测量其长度，所得数据都在区画［5,40］中，其频率分布直方图如图所示，则

0.02

0.01

10152025303540长度/mm

A.a=0.05

B,估计产品长度的样本数据的70%分位数是27mm

C.估计产品长度的样本数据的众数是22.5mm

D.估计产品长度的样本数据的平均数是23mm

【典例2】（2023上•云南昆明•高三校考阶段练习）（多选）在一次考试中，某地抽取一组样本，将学生的考

分按［0,10）,［10,20）,…，［90,100］分成10组，得到如下频率分布直方图:

根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A.规定分数不低于60分为及格，则及格率为0.6

B.样本的中位数为60

C.以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次考试的平均分为60分

D.规定此次考试80%的考生定为合格等级，则合格等级的学生最低分为40分

四、百分位数的计算

计算•组〃个数据的的第〃百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=〃xp%.

③若i不是整数而大于i的比邻整数j,则第〃百分位数为第J项数据；若i是整数，则第〃百分位数为第i项

与第-1项数据的平均数.

【典例1】（2023上•陕西榆林•高三子洲中学校考期中）某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简

单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的

80%分位数为（）

A.92B.93C.92.5D.93.5

【典例2】（2023上•广东惠州•高三统考阶段练习）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分

分别为：29,30,38,25,37,40,42,32,那么这组数据的第75百分位数为（）

A.37.5B.38C.39D.40

五、用样本的数字特征估计总体的数字特征

利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据

（1）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、

方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.

（2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

【典例1】（2023上•云南楚雄•高三统考期中）现有一组数据为，x?,不，乙，虫的平均数为8,若随机去

掉一个数看（i=l,2,3,4,5）后，余下的四个数的平均数为9,则下列说法正确的是（）

A.余下四个数的极差比原来五个数的极差更小B.余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大

C.余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大D.人掉的数一定是4

【典例2】（2023•浙江金华•校联考模拟预测）有一组样本数据1,32«3,5,4,2,则（）

A.这组样本数据的极差不小于4B.这组样本数据的平均数不小于4

C,这组样本数据的中位数不小于3D.这组样本数据的众数等于3

【典例3】（2023•全国•校联考模拟预测）已知样本数据《、出吗必必都为正数，其方差

/=工（42+4+《+裙+d―80）,则样本数据2q+3、2%+3、24+3、24+3、2/+3的平均数为______.

5

六、判断相关关系的2种方法

1、散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点

都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系；

2、相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1时，相关性越强

【典例1】（2023•浙江杭州•统考二模）某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间

的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉。（10,2）后，下列说法正确的是（）

%

.£(8,11)

3（2,6）

/•C（3,5）

：（1，4）・0（10,2）

O

A.相关系数，•变小B.决定系数R2变小

C.残差平方和变大D.解释变量x与预报变量），的相关性变强

【典例2】（2023上•天津蓟州•高三校考开学考试）对■两个变量X,进行线性相关检验，得线性相关系数

4=0.8995,对两个变量〃，V进行线性相关检验，得线性相关系数与=-09568,则下列判断正确的是（）

A.变量x与）'正相关，变量〃与-负相关，变量工与的线性相关性较强

B,变量X与丁负相关，变量〃与y正相关，变量％与>的线性相关性较强

C.变量X与y正相关，变量〃与v负相关，变量”与n的线性相关性较强

D.变量1与y负相关，变量〃与y正相关，变量〃与u的线性相关性较强

七、线性回归分析问题的类型及解题方法

1、求回归直线方程

①计算出x,y♦Evyi或Z（为一X）GLy），Z®-*）2的值；

r=li=]i=lf=l

②利用公式计算回归系数Ab;

③写出回归直线方程£=源+;;.

2、回归模型的拟合效果：利用相关系数，•判断，当仍越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.

【典例1】（2023•江西景德镇•统考一模）对某位运动员近5次比赛成绩统计如下表：

比赛次数X12345

得分y3940484850

根据表可得y关于x的线性回归方程为：y=3x+a,则下列说法不正确的是（）

A.。=36B.y与x的相关系数r>0

C.得分J的方差为22.8D.预测第6次比赛成绩约为54

【典例2】（2023上•广东广州•高三广东广雅中学校考阶段练习）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与

疫恃防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益）'

（亿元）的数据统计如下：

研发投入工（亿元）12345

产品收益）'（亿元）3791011

（1）计算x,y的相关系数乙并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若

（）.3<|/j<0.75,则线性相关程度一般，若|「|>。.75,则线性相关程度较高）

（2）求出〉关于x的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果

保留一位小数）参考数据：£（上一寸=40,次”,=139.

t=ll-l

X（x-x）（Z.-y）

附：相关系数公式：「I”，

名（七-f）（x-方

回归直线方程的斜率-----------，截距力=9-尻.

/=!

八、非线性回归分析的求法

（1）根据原始数据作出散点图；

（2）根据散点图选择恰当的拟合函数；

（3）作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；

（4）在（3）的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程.

【典例1】（2023上•重庆渝中.高三统考期中）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代

表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：

年份201720182019202020212022

编号工123456

企业总数量）’（单位：百个）5078124121137352

（1）若用模型）=能阶拟合V与x的关系，根据提供的数据，求出V与x的经验回归方程；

（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家

区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未

参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该

公司获得此次信息化比赛的“优胜公司已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为方，甲胜丙的概率为:，乙胜

丙的概率为:，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司''的概率.

66

参考数据：»＞，=285»＞必=1（）6・。5,其中，％=Iny

1=11*1

参考公式：对于一组数据（%,£）（，=123,…,〃），其经验回归直线»=立+6的斜率和截距的最小二乘估计分

Zx/-疝

另IJ为6=号---------,a=y-bx

r-1

【典例2】（2023•广西南宁・南宁三中校考一模）数据显示中国车我音乐己步入快速发展期，随着车载音乐的

商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），

具中年份2。18—2。22对应的代码分别为1-5.

年份代码X12345

车载音乐市场规模了2.83.97.312.017.0

（1）由上表数据知，可用指数函数模型），=〃•"拟合y与x的关系，请建立了关于1的回归方程;

（2）根据上述数据求得y关于X的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模.

参考数据:

05240.472

VVV1.67

1.9433.821.71.626.84

_15

其中匕='£•,v=-^v..

〉1=1

参考公式：对于一组数据（看,匕），（/，为），L,仇,匕）其回归直线-的斜率和截距的最小二乘法估

/__

Zujvi-nu-v

计公式分别为夕=上—工-，a=v-Pu-

-nu

i-i

九、独立性检验的一般步骤

（1）根据样本数据制成2x2列联表.

(2)根据公式/二------”------------计算.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（3）比较/与临界值的大小关系，作统计推断.

【典例1】（2023上•江西抚州•高三校考期中）“•带•路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之

路为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易

量（单位：亿人民币/天）得下表：

进口

[0,50](50,100](100,150]

出口

[0,50]32184

(50,100]6812

(100,150]3710

“2n(ad-bc)2,,

附：K=------------------,n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

（1）估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币''的概率;

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

进口

[0,100](100.150]

出口

[0J00]

(100,150]

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”

有美？

【典例2】（2023上•四川成都♦高三四川省成都列五中学校考阶段练习）最近，纪录片《美国工厂》引起中

美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国

制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上（含35周岁）工人300名，35周岁以下工人200

名，为研究工人的口平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计

了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上（含35周岁）”和“35周岁以下”分为两组，在

将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90』00)分别加以统计，得到如图所

35岁以下fti3s岁以上俎

_______Mi"_______,附表：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K?>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)从样本中Fl平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的

概率.

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2x2的列联表，并判断是否

有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

生产能手非生产能手合计

35岁以下

35岁以上

合计

・

易混易错

易错点1对统计图表中的概念理解不清，识图不准确

点拨：求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据。对•于频率分布直方图，应注意

图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1,当小矩形等高时，说明频率

相等，计算时不要漏掉其中一个.

【典例1]（2023下•河北秦皇岛•高三校联考开学考试）（多选）下图反映2017年到2022年6月我国国有企

业营业总收入及增速统计情况：

2017年到2022年6月国有企业营业总收入及增速统计图

A.2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加

B.2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降

C.2017-2021年中,我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年

D.2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元

【典例2】（2023上•云南曲靖•高三校考阶段练习）（多选）在某市高二年级举行的一次体育统考中，共有

10000名考生参加考试.为了解考生的成绩情况，随机抽取了〃名考生的成绩，其成绩均在区间[50,100],

按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80.90）,[90,100]分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在

B.考生成绩的中位数为71

C.考生成绩的第70百分位数为75

D.估计该市考生成绩的平均分为70.6（每组数据以区间的中点值为代表）

【典例3】（2023•河南•校联考二模）某银行为客户定制了A,B,C,D,E共5个理财产品，并对5个理财

产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图:

周岁

周岁

°ABCDE理财产品

理财人数比例选择各理财产品的人数比例

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）

A.44~56周岁人群理财人数最多

B.18〜30周岁人群理财总费用最少

C.力理财产品更受理财人青睐

D.年龄越大的年龄段的人均理财费用越高

易错点2对样本数字特征认识不到位

点拨：统计学的另一基本思想是通过科学合理地获取样本，再通过对样本数据的处理，用样本数字特征去

估计总体的相应数字特征。对此我们要有一个辩证的理解，即有时会出现偏差，而解决这一问题的方法是

适度增加样本容量，当样本容量越大，它对总体接近程度越大，可信度越高。

【典例1】（2023上•山东济南•高三统考期末）（多选）有一组样本数据内,孙…，七，其样本平均数为。现加

入一个新数据》用，且工用＜工，组成新的样本数据内，再，…，勺”用，与原样本数据相比，新的样本数据可能

（）

A.平均数不变B.众数不变C.极差变小D.第20百分