专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题答案

专题七不等式

第二十讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

答案部分

2019年

2x+3>,-6..0,

1.解析由约束条件卜+,，-3,,0,作出可行域如图：

y-2,,0,

化目标函数z=3x—y为），=3x-z,由图可知，当直线y=3x-z过A（3,0）时,

直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9.

2.解析作出约束条件表示的可行域，如图所示.

4A-3V+I>0，/

4,z=y-x,则y=x+z,当此直线经过可行域内的点区时，z=y-x取最小值；当此直

线经过可行域内的点A时，z=y-x取最大值.

由/,得A（2,3）,由『，得8（2,-1）,所以（y—x）.=-1-2=-3；

4x-3y+l=0l）x=2v7v7nun

I♦

(y-x)=3-2=1.

一/max

化目标函数z=-4x+y为y=4x+z,由图可知，当直线y=4x+z过4时，z有最大值.

x=-\

联立<解得人(-1,1).所以Z的最大值为(4)x(—1)卜1=5.

x-y+2=0

故选C.

x-3>,+4>0

4.解析：作出卜工-)，-4《0表示的平面区域，如图所示

x+y>0

分别联立其中两个方程，得A(2,2),B(-1,1),C(1,-1),则Z3=3x2+2x2=10.

故选C.

2010-2018年

1.D【解析】解法一点（2,1）在直线X—y=l上，ca+y=4表示过定点（0,4）,斜率为一。

的直线，当时，工一少二2表示过定点（2,0）,斜率为L的直线，不等式工一冲《2

a

表示的区域包含原点，不等式1+），＞4表示的区域不包含原点.直线以+y=4与直

线x-ay=2互相垂直，显然当直线or+y=4的癖率一。＞0时，不等式or+y＞4表

示的区域不包含点（2,1）,故排除A：点（2,1）与点（0,4）连线的斜率为-之，当

2

-a＜--1,即。时，Qx+y＞4表示的区域包含点（2,1）,此时不一。》＜2表示的

区域也包含点（2,1）,故排除B；当直线ox+y=4的斜率一。二一|,即。二白时，

办+），＞4表示的区域不包含点（2,1）,故排除C,故选D.

解法二若（2,1）EA,则,2"十：,解得。＞3,所以当且仅当时，

2—〃W222

（2,1）史4.故选D.

2.C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

作出直线y=—3x.平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由|一'+）'=1

5[x+y=5

x=2

得《，即C（2,3）,所以4nli*=3x2+5x3=21,故选C.

"3

3.D【解析】可行域如图阴影部分,

由图可知，目标函数2=%+丁过(3,0)点z取最大值3.选D.

4.A【解析】如图为可行域

结合目标函数的几何意义可得函数在点3(-6,-3)处取得最小值，最小值为

Zmin=-12-3=-15,故选A.

5.B【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得

最小值z=O—3=-3.在点8(2,0)处取得最大值z=2—0=2,选B.

6.D【解析】不等式组可行域如图阴影部分,

当z=x+2)，过A(T,2)时取得最大值3,选D.

7.D【解析】如图阴影为可行域，可知在A(2,l)时，zn,n=4,无最大值.

所以z=x+2y的取值范围是［4,+8).选D.

8.D【解析】不等式组可行域如图阴影部分,

"标函数2=工+2y过点。(3,3)时，取得最大值Z3=3+2x3=9,故选D.

9.c【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(»y)为平面区域

内任意一点，则Y+y2表示|0P|2.显然，当点P与点A合时，|。口2,即/+),2取

得最大值，由1x+)y=2，解得《x=3

2x-3y=9y=T

故A(3,T).所以V+y2的最大值为32+(_[)2=]0故选c.

x+y=2

10.B【解析】画出不等式组的平面区域如图所示，由/'->+=°得A(l,2),由

口+)-3=0

2x-y-3=0

得B(2,l),由题意可知，当斜率为I的两条直线分别过点A和点8时,

x+y—3=()

两直线的距离最小，^V\AB\=7(1-2)2+(2-1)2=72.故选B.

lx-i「3Mo

11.A【解析】画出可行域(图略)，可知在点(0,1)处Z取得最小值Zmm=2x0—l=—|.

12.D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、)，吨，则利润z=3x+4y.

3x+2y<12

x+2y<8

由题意可列，,其表示如图阴影部分区域:

A：>0

y>0

当直线3x+4)，一z=0过点A(2,3)时，z取得最大值,

所以Zmax=3x2+4x3=18,故选D.

13.C【解析】画出可行域(图略)，可知目标函数在点(2,3)处有最大值9.

x+y-2<0

14.B【解析】由于不等式组(x+2)，—220,表示的平面区域为三角形A8C,

x-y+2m>0

4

且其面积等于一，再注意到直线A3：1+)，-2=0与直线8。：工一)，+2m=0互相垂

3

直，所以AA5C是直角三角形；易知4(2,0),B(1-/n,/??+1),C(—~—)；

33

从而5.相=42+2,7川〃7+1|-42+2〃小誓^=：,化简得：(机+1尸=4,解得

〃?=-3,或加=1；校验知当〃=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍

去；所以"7=1；故选B.

15.B【解析】作出可行域(图略)可知，目标函数过点(4,-1)时取最大值.

16.A【解析】作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(l,l)处，z取得

最大值，故ZM=-2x1+1=-1.

17.C【解析】将目标函数变形为y=2x-z,当z取最大值，则直线纵截距最小，故当〃叱()

时，不满足题意；当机＞0时，画出可行域，如图所示，其中8(-----显

2m-12/n-l

然。(0,0)不是最优解，故只能B(二一,」一)是最优解，代入目标函数得

2m-12m-\

------也一=2,解得根=1,故选C.

2m-12m-1

18.A【解析】根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分所示

10、‘1/》+》、，25

^=-(2^.y)<-(­)-=y.

当且仅当x=3,y=5时取等号，对应点落在线段AC上.

25

故最大值为一.故选A.

2

19.C【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，

当目标函数z=x+2y经过可行域内的点A(2,-1)时，取得最小值0,故x+2y20,

因此Pl，〃2是真命题，选C.

20.D【解析】画出约束条件表示的平面区域如图,

z=y-ar取得最大值表示直线z=y-双向上平移移动最大，。表示直线斜率，有两

种情况：。=-1或。=2.

21.C【解析】平面区域Q为如图所示的阴影部分的△A4Q,

因圆心C(〃,b)£。，且圆C与x轴相切，所以点。在如图所示的线段上，线段

的方程为y=l(-2WxW6),由图形得，当点。在点N(6,l)处时，a2+b2^

得最大值+r=37,故选C.

x+y-2>0

22.D【解析】作出线性约束条件kx-y+2>0,的可行域.当4>()时，如图(1)所示,

y>()

此时可行域为)，轴上方、直线1+)，-2=0的右上方、直线依一y+2=0的右下方的

区域，显然此时2=了一工无最小值.当Av-l时.z=y-x取得最小值2；当左二一1

时，z=y-x取得最小值-2,均不符合题意，当一1＜々＜()时，如图(2)所示，此时可

2

行域为点4(2,0),B(---,0),C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z=y-x经过

k

23.平移直线

。O

由图象可知当直线广J经过点8时’直线广针J的截距最

大，此时Z取得最小鱼由「一"1=°得厂=3,即8(3,4),代入直线2=21-3)，

x=3Iy=4

得z=3x2—3x4=-6,选B.

24.A【解析】y=|x|与)，=2的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是(0,0),

(一2,2),(2,2).且当取点(一2,2)时，)，二-6取最小值.所以选A.

25.C【解析】作出可行域，如图，则在A点取得最大值16,在B点取得最小值-8,

则。一〃=24,选C.

26.B【解析】约束条件对应AA8C边际及内的区域：A(2,2).8(3,2),C(52二3)

22

则z=3x+ye[8,ll].

27.C【解析】约束条件对应A/WC边际及内的区域：,4(1,0),3(-1,2),。一1,一2)

则z=x+2ye1-5,3J.

28.A【解析】作出可行域，直线3x-y=0,将直线平移至点(2,0)处有最大值,

13

点(±,3)处有最小值，即-已副z6,应选A.

22

y=2x

29.B【解析】由题意，-z可求得交点坐标为

x+y-3=0

x+y-3,,0

（1，2）要使直线尸2x上存在点（x,y）满足约束条件,x-2y-3„0,如图所示.则

x...m

3-m>2m可得,・••实数m的最大值为L故选B.

30.B【解析】做出不等式对应的可行域如图，山z=3工一2），得），=1x一］,山图象可知

当直线），=3X一反经过点以0.2）时，直线），=3工-三的截距最大，而此时

•22-22

z=3x-2y最小为z=3x-2y=T,选B.

31.D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数

0\5.彳-"107

过点4（5,15）时，2x+3y的最大值为55,故选D.

32.B【解析】画出区域D如图所示，而2=而•次=后+），，所以y=-JL:+z,令/。：

y=-V2x,平移直线4过点（、/5,2）时，z取得最大值，故々於=0xg+2=4.

33.B【解析】如图先画出不等式|x|+|y|Wl表示的平面区域，易知当工=0,），=1时,

x+2y取得最大值2,当x=O,y=-l时，x+2y取得最小值-2,选B.

34.A【解析】画出可行域，可知z=x+5y在点（一^,』一）取最大值,

1+洲\-\-tn

2

由一!一+上—<2解得1<〃7V0+1.

1+机l+m

35.B【解析】当直线z=lx-5y过点B时,Zm^=-14,当直线z=2.r-5y过点D（0,-4）时,

zmax=20,所以z=2r-5y的取值范围为（-14,20），点D的坐标亦可利用A3=OC

求得.

36.A【解析】作出满足约束条件的可行域，如右图所示,

x-y+2=0♦

/3x-4y=0

可知当直线z=3x-4y平移到点（5,3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3：

当直线z=3x-4），平移到点（3,5）时，目标函数z=3x-4.y取得最小值-11,故选A.

37.6【解析】作出可行域为如图所示的A43C所表示的阴影区域，作出直线3x+2y=0,

并平移该直线，当直线过点4（2,0）时，目标函数z=3x+2y取得最大值：且

Zmax=3x24-2x0=6.

C¥-V+1=O

38.9【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线x+)，=0,

平移该直线，当直线过点8(5,4)时，z取得最大值，zmax=5+4=9.

1[2x+y+3=0

39.3【解析】易知z=x+§)，在可行域的顶点取得最大值，由2；，+4—0

15

J

由

得

解得

可2x+y+3=()

yzs

33

x-2=0

11

得

得

由

解

y可Z<x-2=0

3-3-

x—2y+4=0

x-2I

解得《一，代入z=x+-),可得z=3：可知，Z的最大值为3.

y=33

v2x

40.3【解析】作出不等式组,，所表示的平面区域如图中阴影部分所示,

x+1Wy

令z=2y—x,作出直线2y—x=0,平移该直线，当直线过点A(l,2)时，2y—x取

得最小值,最小值为2x2-1=3.

41.-2：8【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2),(1,1),(4,—2)为顶

点的三角形及其内部区域(图略).由线性规划的知识可知，目标函数z=x+3y在点

(2,2)处取得最大值，在点(4,一2)处取得最小值，则最小值Zmm=4—6=-2,最大

值Zmax=2+6=8.

4

42.[1,13]【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角

2

形及其内部，如图所示，因为原点到直线2x+y-2=0的距离为弱,

所以(f+y2)mM=g乂当(X,)，)取点(2,3)时，/+产取得最大值13,

故V,+y20的取值范围是-4JR.

5

43.216000【解析】由题意，设产品A生产/件，产品B生产)，件，利润z=2100x+900y,

1.5x+0.5y„150

x-i-0.3y„90

线性约束条件为c"八，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所

5x+3y,,600

0

示，又由xcN,ywN,可知取得最大值时的最优解为(60,100),

所以ZmIlkalAx=2100X60+900X100=216000(元).

44.-10【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当

2=2工+3)一5经过点4(-1,一1)时，z取得最小值,

Zmin=2x(-1)+3x(-1)-5=-10.

45.7【解析】由目标函数z=2x+3y的可行域为AA3c边界及其内部(如图所示〕.令

z=0,即2x+3y=0,平移直线2x+3y=0至目标函数的可行域内，可知当

2x+3y=z过点A(2,l)时，z取得最大值，即=2x2+3xl=7.

46.4【解析】作出可行域(图略)，作出直线/。：3x+y=0,平移直线/。，当直线:z=33+)，

过点A时，z取最大值，由《，解得4(1,1),z=3x+y的最大值为

x-2y+1=0'

4.

47.4【解析】如图阴影部分，可知SMM=gx2x(2+2)=4

48.[1,-]【解析】由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为(1,0),(1E),(2』)，都

22

代入lWav+yW4,可得

49.一2【解析】画出可行域(图略)，由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参

照直线2x+y=(),可知在点伏,公处z=2x+y取得最小值，故z=2k+k=4

解得A=-2.

50.3【解析】做出可行域可知，当x=3,y=3的时候z有最大值3

51.2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示)，=—去+z.当攵>0时，直线/()：y=-kx

平移到A点时目标函数取最大值，即当4〃+4=12所以k=2，当攵<0时，直线：)，=-"

平移到4或8点是目标函数取最大值，可知左取值是大于零，所以不满足，所以太=2,

所以填2.

52.6【解析】画出可行区域，即为五边形区域，平移参照直线x+y=0,x+y在点(4,

2)处取得最大值，此时(x+))a=4+2=6.

53.[-3,3]【解析】约束条件对应四边形OABC边际及内的区域.：

0(0,0),A(0,1),8(1,2),。(3,0)Mz=x-2ye[-3,3].

Itn

54.3【解析】画出可行域，可知z=x+5y在点(——,——)取最大值为4,解得阳=3

1+m1+/«

55.1【解析】目标函数z=2x—)，，当工=0时;z=—y,所以当.y取得最大值时，z的

值最小；移动直线2/-)，=0,当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时

z=2xl-1=1.

56.—6【解析】根据厂"2'+'"9得可行域，根据z=x+2y得)，二一2+三，平移

6<x-y<922

)，二—易知在点(4,一5)处z取得最小值一6.

2

57.4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是(0,0),(0,2),(』,0),(1,4),易

2

见目标函数在(1,4)取最大值8,所以8="+4=6出=4,所以。+方22，^二4,

在。=〃二2时是等号成立.所以〃的最小值为4..

58.15【解析】设购买铁矿石A和B各x,y万吨，则购买铁矿石的费用z=3x+6)，，x,

0.5x+0.7y21.9

y满足约束条件•x+().5y这2,表示平面区域(图略)则当直线z=3戈+6y过

x20,y20

点、B(1,2)时，购买铁矿石的最少费用z=最.

70x+60y^600,lx+6yW60,

5x+5y230,x+yN6,

59.【解析】(I)由已知，满足的数学关系式为•即＜x—lyW0,

x20,0,

320,y20,

该二元•次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

(II)设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y.

考虑z=60x+25y,将它变形为),二—弓工+点，这是斜率为一弓，随z变化的一

zz

族平行直线.力为直线在y轴上的截距，当存取得最大值时，z