专题7 圆锥曲线压轴小题（解析版）

专题7圆锥曲线压轴小题

一、单选题

1.（2021•河北沧州•高三月考）已知点P为抛物线上一动点，4（1,0）,5（3,0）,则NA朋的最大值

为（）

A.3B.工C.工D.工

6432

【答案】B

【分析】

先讨论x=l和x=3两种情况，解出NA尸8；进而讨论xwl且工工3时，利用直线的到角公式结合基本不等式

即可求得.

【详解】

根据抛物线的对称性，不妨设P（."）G＞。）,

若工=1,则P（l,2）,\PA\=2,|AB|=2,所以tan/AP8=|=1n/AP8=；；

2后

若x=3,则尸（3,26）,

\PB\=2^,IAB|=2,所以tan乙4P8===>ZAPB=-

^3T6

若且xw3,此时yw2且），工26,

y____y

：『=上上，所以tan“P8=II__幺——

x-\x-3一）'x2-4x4-3+/

x-3A-l

tanNAPB-2y_2________2_______<_1-\

因为）,2=4%,所以11313.1.11411V3111，则

16'16'y16-yjy116"yyy

当且仅当y=2时取“=”,

416y

而"2,所以。＜4相柠.

综上：NA%的最大值为f.

4

故选：B.

【点睛】

tanZAPB=2y_2________?_______

本题核心的地方在“"14/1]/*[*]:]”这一步，首先分式

v+V3+3-

16'16,y16yyy

2y_22

“J_/+3=J_/+3”的处理,上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“_Lz+l+!+_L”这一步

1616'y16'yyy

的拆分，三个式子一定要相同（一），否则不能取得

V

2.（2021•安徽马鞍山•二模（文））在平面直角坐标系X。），中，若抛物线。:炉=2内（〃>。）的焦点为凡直线

户3与抛物线。交于A,B两点,|A/]=4,圆七为的外接圆，直线OM与圆上切于点M,点N在圆

E上，则河的取值范围是（）

A.——,9B.[—3,21]C.—,21D.[3,27]

【答案】B

【分析】

由己知及抛物线的定义，可求〃，进而得抛物线的方程，可求A,B,/的坐标，直线A厂的方程，可得圆

的半径，求得圆心，设N的坐标，求得"的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函

数的值域，可得所求范围.

【详解】

解：由题意，设蚱,A）,所以1">3+勺4,解得〃=2,

所以抛物线的方程为V=4x,A（3,2g）,B（3,-2>/3）,E（l,0）,

+12,解得玉=5,即E(5,0),

二圆的方程为（x-5）、f16,

不妨设）%>0,设直线SW的力程为丁=依，则%>0,

根据走IS出kI=4,解得4=4]，

4

V=­X

由，-3,解得M

(x-5)2+y2=16

设N(4cose+5.4sin。)，所以OMON=与cose+晟sin，+9=£(3cos，+4sin，)+9,

因为3cos8+4sin0=5sin（6+^）G[-5,5],

所以OM二所€[-3,21].

故选:B.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为8-5尸+），2=16,然后利用直线OM与圆E切于点

M,求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可

得所求范围..

3.12021•全国•高三专题练习（理））已知点产为抛物线1y2=4/的焦点，M（T,0）,点N为抛物线上一动点，

当圈最小时，点可恰好在以例，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（）

A.3+26B.2+20C.D.2^-1

24

【答案】B

【分析】

作出图形，可知NM与抛物线相切时，耨j取得最小值，求出点N的坐标，利用双曲线定义求出2〃，结合

c=i,可求得£,再利用1求得结果.

aa~\a）

【详解】

由抛物线的对称性，设N为抛物线第•象限内点，如图所示：

故点N作N8垂直于抛物线的准线于点儿由抛物线的定义知易知轴，可得

dMF=/BNM

7---7=7---7=cosNBNM=cosZNMF

\NM\|MV/|

当取得最大值时，犒取得最小值，此时NM与抛物线丁=©相切,

设直线MW方程为：户=攵（汇+1）,

r=4x22

联v.整理得kx+(2公-4)x+/=o,

y=k(x+l)

其中A=-1642+16=0，解得：A=±l,由N为抛物线第一象限内点，则k=l

贝ijf+(2-4)x+l=0,解得：x=l,此时丁=4,即y=2或)，=-2

所以点N的坐标且N(l,2)

由题意知，双曲线的左焦点为M(T0),右焦点为F0,O)

设双曲线的实轴长为为,则2.=|NM|-|N-||=2&-2,=

又I，则?=a+1

/?仁)一1=(上+1『-1=2+2上

故渐近线斜率的平方为

故选:B

【点睛】

方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下:

①直接求出。力，从而求出，;②构造〃力的齐次式，求出?；③采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来

求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.

4.(2021•安徽省怀宁中学高三月考(理))已知抛物线6：/=2外(〃>0)的焦点到准线的距离为!，点

。仇,为)在抛物线G上，点A3在圆G：/+y2-4.y+3=0上，直线D4,分别与圆Cz仅有1个交点，且

与抛物线G的另一个交点分别为P.Q,若直线PQ的倾斜角为120。，则％=()

A.士虫B.-百或立C.-立或GD.土也

333

【答案】C

【分析】

根据题意求得〃=得到/=)，，设过点。与圆G相切直线的斜率为L，得到切线方程辰-、+£-㈢。=0,

利用与祟L,结合韦达定理，求得…二十早，联立方程组仁丁出=。.取得

k=x+x()f得到与=占一/,%=%一-%,

结合&也=-6,列出方程，即可求解.

【详解】

由抛物线C,:x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为4,可得〃=J,

所以抛物线的方程为/=)，，

又由。2：/+/一4〉，+3=。，可得圆心坐标为G（0，2）,半径r=l,

设过点。（玉,兄）与圆相切的直线的斜率为攵，

可得方程为旷-%=■%-%）,即y-x；=k（x-%）,即依一y+x；-处,=。,

则圆心到直线的距离为卜"「"“"Li’

整理得小-1)公+(4.r0-2£)&+片-4*+4=0,可得用+&=2M

/T

联立方程组，与5°,可得/_京7；+5=0,

r=y

2

即k(x-x0)=x-x：,所以&=x+七,

所以为,=4一.％,%=也一与，

因为直线尸Q的倾斜角为120。，所以kpQ=-g

r组/)'。一力x—工.2A-(A---2)

00=-,73,

可得％=-....=------=xQ+xp=kl+k2-2x0=，----2天=

XQ—XpXQ-Xf,%-1

解得=75=~~.

故选：C.

A的连线的斜率｛=-；,AP的中点为E,记0E的斜率为心E，且满足七£+4勺=0,若。、D分别是x轴

、〉'轴负半轴上的动点，且四边形48co的面积为2,则三角形CO。面积的最大值是（）

D.2

A.3-25/2B.3+20c.2-V2

2

【答案】A

【分析】

求出直线方程，与椭圆方程联立，表示出点E坐标，即可根据&泣+4K=0求出。，根据四边形的面积结合

基本不等式可求.

【详解】

由题意知：a=2,直线Q4的方程为），=-；（％-2）,

y=_；（­）

联立方程可得（4从+1）/一4工+4—16从=0,

TV=,

因为工=2是其中一个解，则另一个解与满足与+2=*—，即/=二^生，

所以“黑？则可得心的中点《就'就>则%"

因为心+秋=0,所以尸_i=o,解得。=1,则即c=G，

设（一/〃.0）.£>（0,-〃）、”?>0.〃>0,则由四边形48CD的面积为2,有：（〃?+2）（〃+1）=2,

2

即mn+"7+2〃=2,由基本不等式得〃】〃+〃】+2〃=2之mn+2“八⑵”,yfmii<2->/2»

从而三角形CW的面积S=,〃42-0尸=3-2虚，等号当m=2&-2,n=g时取到.

所以三角形COO面积的最大值为3-2夜.

故选:A.

6.（2021・云南•峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））正方体A8CO-A4G。中，M,N分别为48,

46的中点，/>是边G。上的一个点（包括端点），。是平面上一动点，满足直线MN与直线AN夹

角与直线MN与直线NQ的夹角相等，则点。所在轨迹为（）

C.抛物线D.抛物线或双曲线

【答案】D

【分析】

根据题设分析可知：。点轨迹为以AN为母线，MN为轴，A8为底面直径的圆锥体，及其关于4片反向对

称的锥体与平面PM片的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断。所在轨迹的形

状.

【详解】

由题设，。点轨迹为以AN为母线，为轴，4B为底面直径的圆锥体，及其关于4々反向对称的锥体与

平面PM片的交线，如下图示：

当P是边C|R上移动过程中，只与下方锥体有相交，。点轨迹为抛物线；

当P是边Ci。上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q点轨迹为双曲线；

故选:D

7.（2021・吉林白山.高三期末（文））已知双曲线C：1=l（a＞0内＞0）与直线＞=履交于A,8两点，点

产为C上一动点，记直线B4,必的斜率分别为⑥八，kpB，C的左、右焦点分别为入，匕.若kpA・kpB=；,

且C的焦点到渐近线的距离为1,则（）

A.。=4

B.C的离心率为亚

2

C.若尸乙，则△尸耳鸟的面积为2

D.若△尸耳工的面积为26,则△尸匕工为钝角三角形

【答案】D

【分析】

设点4（X1,户），8（-x\,-y\）,P（xc,阿，利用点差法求解直线的斜率，得到〃、〃关系，

通过点到直线的距离求解c,求出”，b,即可推出离•心率，判断A,B的正误；

设P在双曲线的右支上，记归国=人则归用=4+/,利用心_LP&转化求解三角形的面积，判断C；

设P（M,卯），通过三角形的面积求解。的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判

断D.

【详解】

设点A（%i,yi）,B（-xi,-yi）,P（xo,和）

则耳-4=],且£-耳=1,两式相减得正遂=七近

a'b'a'b~a~b~

所以转=耳，因为3％=尸斗第M所以上」，-4

片一年a~（%一%）（%）+菁）4/4a2

故双曲线C的渐近线方程），=±；x

因为焦点（c,0）到渐近线的距离为1,

所以5=1,C=V5,所以。=2，8=1,离心率为冬故A,B错误.

对于C,不妨设。在右支上，记|叫|=乙则|尸凰=4+，

因为PFJPF”所以Q+4产+『=20

解得,=指—2或r=-V6-2（舍去），所以尸2的面积为

；|P用|P用=g（太-2）x（而+2）=l,故C不正确；

对干D,设尸（必，泗），因为Sr*,=32闾=石闾=2石，所以尻|=2,

将|%|=2带入C?-尸=1，得片=20,即闻=26

由于对称性，不妨取P得坐标为（26，2）,则归国=J（2石—6）2+2?=3,

\PF]=7（2N/5+^）2+22=7

|P居『+任用2一陷.

9+20-49

因为cos/尸石片=<0

2|明忻同2x3x275

所以NPF2a为钝角，所以为钝角三角形，故D正确

故选：D

8.（2021・全国•高三专题练习）已知△A8C的边长都为2,在边A5上任取一点。，沿CO将△38折起，

使平面以7。，平面4。口.在平面8C。内过点8作/32，平面人。。，垂足为P,那么随着点。的变化，点。

的轨迹长度为（）

A.7B.-C.—D.7t

633

【答案】C

【分析】

根据题意，先确定点夕轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可.

【详解】

由题意，在平面BCO内作8QJ_CQ,交CO于Q,因为平面8CD_L平面ACO,平面BC。与平面4c。交于

CD,所以3Q_L平面ACQ,又3P_L平面ACO,所以P,Q两点重合，于是随着点。的变化，8P_LCO始终

成立，可得在平面人BC中，BPLCP始终成立,即得点P的轨迹是以8C为直径的圆的一部分，由题意知

随着点。的变化，N8C。的范围为0,9,可得点P的轨迹是以3C为直径（半径为1）的圆的;，即得点

JD

12

P的轨迹长度为§x2;rxl2=-7T.

故选：C.

22

9.（2021・全国•高三专题练习）已知双曲线\-4=1（。>0,6>0）的离心率为2,Fi,人分别是双曲线

a~b~

的左、右焦点，点M（-。，。），N（0,b），点尸为线段MN上的动点，当西'•配取得最小值和最大值时，△

尸回尸2的面积分别为Si,S2,则不■二（）

A.273B.4C.4GD.8

【答案】B

【分析】

先利用双曲线的离心率得到2=/,写出直线MN的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运

a

算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.

【详解】

由于双曲线的离心率为]JI+（T=2,故3=6

所以直线MN的方程为），=6（x+a）,

设小6/+6），re[-«,0],

焦点坐标为£（—c,。）,6（c,0）,

则P£=（-c-ty-V3/-\/3«）,

PF?=（c-i,-®-y/^a）

则可•％=产一。2+3（，+。）2

=r-4/+3(1+4

=4r+bat-a2

3

由干故当f=时取得最小值,

此时yr=\Z5x(-(a)+6a=^^：

当/=0时取得最大值，此时必,=、64.

10.(2()21•陕西咸阳•高三开学考试(文))已知椭圆C:二+2=13>>>0)/,K为。的左、右焦点,

erb~

P(〃曾)(〃?>0,〃>0)为。上一点，且△尸耳鸟的内心若△刊例的面积为乃,则"的值为()

348

A.-B.-C.—D.3

533

【答案】C

【分析】

利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得。=囱4=虫罗，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率,

再结合焦点三角形的面积公式，求〃的值.

【详解】

由题意可得，的内心/(3)到X轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，

二|。制+1P/^|+阳6|=24+2c,:.S△%乃=3(2a+2c)x1=〃+(?=2/，.又c=ea,:.b="7),

a'=b'"。++a2e2=a2,即（l+e）?+4/=4,二5/+2e-3=0,解得6=—或—1（舍），.t.c=-a.b=-a.

-2」555

।338

::，

又S△"仍=-\fi'f2\n=cn,:.-a+a=-un,解得〃=彳.

故选：c.

11.（2021・全国•高三月考（文））已知抛物线C：），2=2px（〃>0）的焦点为尸，过点尸的直线与c交于A,

8两点，与y轴正半轴交于点。，与抛物线C的准线/交于点£若忸F|=2|A耳，则阴二（）

\DE\

23

A.—B.1C.—D.2

32

【答案】C

【分析】

作AA」/,BB'上1,垂足分别为4,且38'与）'轴交于点M,

作AG_LB*,FH1,垂足分别为G,H,由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可

【详解】

如图，作A4'_U,BB'JJ,垂足分别为A,8',且34与）'轴交于点”，

作AG-LB*,FH1BB',垂足分别为G,H.

设|A尸|=机，则|&G|=|A4[=/w,忸&|=忸耳=26,故忸G|=”

因为△BHFs^BGA,

所以西L网二

所以忸G|\AB\3'

2

所以忸叫二§/〃.

因为忸77|=〃，

所以§〃?+〃=2〃?，

所以〃=则忸==

因为G为明的中点,且4G〃y轴,

所以A为战的中点，即|AE|=|AB|=3〃?.

因为ABN*ABBE,

\BD\=\BM\=2

F人忸目\BB'\\BB'\3,

所以忸力|二4〃?，

所以|/叫=2m,

网_网二

故M2m2'

故选：C

22

12.（2021.河南.高三月考（理））三知点入，生分别为椭圆，:*■+表■=1（〃>/?>0）的左、右焦点，点M在

直线/:工=-〃上运动，若/甲W8的最大值为6（）。，则椭圆。的离心率是（）

A.-B.1C.正D.3

3223

【答案】C

【分析】

设直线用石，的倾斜角分别为a,P，M（-aj）（f>0）,且4加巴=6-。，利用差角正切公式、基本

不等式求（tan4”入）2关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.

【详解】

由题意知，爪-a。），E（c,0）,直线/为x=rj设直线用耳，M5的倾斜角分别为。，P,

由椭圆的对称性，不妨设M为第二象限的点，即M（-a,Z）,（/>（））,则Uma=—L,tan^=—.

c-ac+a

•/LFXMF1-p-a,

tan/7tana=6+ac-a

tanZ.FMF=tan(/?-«)=

}2I+tanatanpr

2

b即1二8时取等号，又tanZF\MF,得最大值为;=tan60。=G,

当且仅当f=---,

b

:.c=&,^c2=a2--,整理得£=正，故椭圆C的的离心率是走.

3a22

关键点点睛：设点"坐标及MF?的倾斜角，由/£加用与直线M",的倾斜角的数量关系，结合

差角正切公式及基本不等式求（tar4MK）niax关于椭圆参数的表达式，进而确定椭圆参数的数量关系.

13.（2021.重庆.西南大学附中高三开学考试）已知双曲线4/-亡=1的左右焦点分别为Q,八，点M是双

3

曲线右支上一点，满足丽•近=0,点N是人尸2线段上一点，满足布=见质.现将AM修尸2沿MN折

成直二面角耳-MN-E，若使折叠后点B距离最小，则兑为（）

A.2B.3c.AD.2

351313

【答案】B

【分析】

由已知条件及双曲线的定义可得l"M|=3,\F2M|=2,将△MF.B沿MN折成直二面角£-MV-5后，过

人作应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求片鸟最小时的大小，进而求尤值.

【详解】

222

||-16M|=2〃=1,\F}M|+|F2M|=|FR|=13,

・・・/〃|=3,\b2M|=2,

将aMn广2沿MN折成直二面角—过6作匕"_LMN,易知月”，面

设川MF】=a,在R/AMHK中有//6=3sina,A//7=3cos«,

・•.在△M”居中，ZHMF1=；-a,有HF；=MF；+MH?-2MF2MHeosZHMFz，

.*.HF；=4+9cos?a-12cosaC（>s（~-ct）=4+9cos?a-6sin2a,

・•・=HF^+HF；=4+9cos26z-6sin+9sin2a=13-6sin2a>7,当且仅当sin2a=1,a=工时等号成

4

立.

F.NF.M3X3

・・・Q,尸2距离最小时，MN为角平分线，故*=±7=5=L，可得2=?

NF?FyM21-z5

故选：B

【点睛】

关键点点睛：由双曲线的定义求IKM|、IEMI,结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求耳耳与

出W片的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.

14.(2021•浙江金华•高三月考)已知椭圆C:]+y2=l和直线"次=0">，点A,B在直线/上，射线0A08

分别交椭圆C于M，N两点.则当AOMN面积取到最大值时，"OB是()

A.锐角B.直角C.钝角D.都有可能

【答案】A

【分析】

设出直线OA及08的方程，求出点M,N的坐标，进而表示出&OMN，分析可知当加，〃异号时，SQM、,最

大，通过换元/=-加，利用基本不等式可得当〃"?=-3时，SAWV最大，进而得到tan/M@V>0,由此即可

得出答案.

【详解】

解：设直线OA的方程为）=〃“，直线08的方程为），=",易知点

“（后1后9小叫后"'后7〃），

2

S.1《〃石疝="〃/」1（77-77/）

々WWN-2\（2谓+1）（2/?+1）'

易知，当〃？，〃异号时，S&0MN最大■，不妨设〃>。，〃?<0,令一"7=1,/>0,

则SAOMN⑵，；禽+M岩基r冬当且仅当T，即T时取等号,

一，J1

tan/MON=--------=--^-=2«+->0,为锐角.

1+mn2〃

2

故选：A.

15.（2021.安徽.合肥市第六中学高三开学考试（理））已知双曲线的左右焦点为石，F”过鸟的

a~h~

直线交双曲线于M,N两点（例在第一象限），若△MR八与△NFJE的内切圆半径之比为3：2,则直线肋V

的斜率为（）

A.瓜B.2瓜C.GD.2百

【答案】B

【分析】

数形结合，设M4=MC=，〃，从刀=86=〃，BF?=CF?=i,依据双曲线定义可知〃=〃+c,利用直线/的

倾斜角6与/。2日。大小相等，简单计算即可

【详解】

设圆OI与△MG6的三边的切点分别为A民C，如图，

令MA=MC=m,AF[=BF]=",BF2-CF2=t,

根据双曲线的定义可得，(in+n.)-(m+/)=,化简得〃=4+C,

由此可知，在AGJW中，QBLt轴于8,同理。/_Lx轴于3.

.•.002_L/轴过圆心。2作。。।的垂线，垂足为。，易知直线/的帧斜角0与/oqQ大小相等，不妨设圆。|

的半径用=3,设圆。2的半径6=2,则02a=5,OQ=l,所以根据勾股定理，ao=26,所以，tan"2而:

故选：B

【点睛】

关键点睛：得到〃=〃+c是关键，说明a。?，1轴，同时直线/的倾斜角。与/。2。。大小相等便于计算

16.(2021.山西大附中高三月考(文))已知抛物线产=161，过点M(2,0)的直线交抛物线于4B两点,F

为抛物线的焦点，若|A〃|=12,。为坐标原点，则四边形Q4FB的面积是()

cTo

A.20yliB.IOx/2C.5近D.—

2

【答案】A

【分析】

由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标,进而得到纵坐标，设出直线AB,

代人抛物线方程利用根与系数的关系求需|.力-”|，进而求出面积.

【详解】

抛物线V=l6x的准线方程为x=4设A(A)，X),由抛物线的定义可知，

玉-4=12小=8,y：=16x8,由抛物线的对称性，不妨令y=8收，设直线A8的方程为“=，羽+2,由

x=mx*+2

•~二’得＞2-16"-32=0,,%=-32,・•・y=—2血，四边形。川中的面积

y'=16x,

5=-|OF|-|y,-＞'2|=-!-x4xl0x/2=20＞/2,

22

故选：A.

17.（2021•陕西•西北工业大学附属中学高三月考（理））如图，。是坐标原点，P是双曲线

上：£—匚=1（。＞0力＞0）右支上的一点，/是E的右焦点，延长P。，尸尸分别交E于Q,R两点，已知。尸

a-b~

±FR,且IQ尸1=2|/•况I,则E的离心率为（）

【答案】B

【分析】

令双曲线E的左焦点为F'，连线艮］得口PFQF，,设|FR\=m，借助双曲线定义及直角/'PR用a表示出|尸F|,

IPFI,再借助RfWPF即可得解..

【详解】

如图，令双曲线上的左焦点为连接尸尸',。尸'小尸，

由对称性可知，点O是线段PQ中点，则四边形刊7。/7'是平行四边形，而QUFR,于是有oPF”'是矩形,

,

设怛用=，〃，则|PF'|=|户Q|=2m,|"产|=2加一2々,\RF\=m+2a,\PR\=3m-2af

zi/j

在-FPR中,（2〃?）2+（3相-2。）2=（m+2。）2,解得加=7或〃2=0（舍去），

从而有巧|吟,依1=年，RMPF中,传j+管）=2整理得"e=]与,

所以双曲线E的离心率为姮.

3

故选：B

22

18.（2021.陕西•高新一中高三月考（文））已知双曲线C：=_4=1（。＞0,力＞0）的一条渐近线被圆

（Tb-

/+/一]0）,=0截得的线段长不小于g,则双曲线。的离心率的取值范围为（）

【答案】D

【分析】

求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得“，人的关系,

即可得到所求的离心率.

【详解】

双曲线u1-I=l（a＞0,〃＞0）的一条渐近线方程设为云-冲=0,

a-b-

由题得圆F+（），-5尸=25的圆心为（0,5）,半径r=5,

可得圆心到渐近线的距离为"=岸雪=学，

则由题意可知2125-警28n解得：捺吟

所以双曲线C的面心率6=即ej"+oo、

a3|_3J

故选:D.

【点睛】

方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离

心率有以下几种情况：①直接求出“J从而求出e：②构造&C的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以

及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.

19.（2021・全国•模拟预测（文））已知椭圆C：1+马=1（〃＞力＞0）的两个顶点在直线亚=0上,

a~b~

6,工分别是椭圆的左、右焦点，点尸是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线/与直

线工=_2交于点M,设直线夕入，/6的斜率分别为勺，k2,则勺网的值为（）

【答案】A

【分析】

根据题意求出。=0，。=1，进而写出椭圆的方程，设点P的切线方程为>=去+，，?，与椭圆联立，由A=0

得到〃?2=2公+1,然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出人,网,进而化简整理即可求出结果.

【详解】

•・•椭圆c的两顶点在直线公拉），-a=0上，・•・〃:&"=1,・.•椭圆。的方程为三+产=1,.•・6（T。）,

y=b+m

X22，消去）'得

5+），=1

(2尸+1片+4切a+2nr-2=0,:直线/与椭圆。相切，・I•・△=（）,即（45。2-4（2公+1）（2疗-2）=0,・1

i,2km..(2km]1kmni

+‘〃=M一.点尸上，又

2公+1'2公+1

2k1--0

〃『=2二+1,P"7,设点加（一2,乂），又M在切线y="+〃?上，.二

in'in22k

tn

M.2,m-2k）,”==・・・"=T・誓J]

-2-i3m-2k33

故选：A.

【点睛】

（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或），）建立一元二次方程，然后借助根

与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形.

20.（2021.全国•高三专题练习（文））已知双曲线/-《=1的右焦点为凡M（4.36），直线与），轴交

于点N,点尸为双曲线上一动点，且以卜3君，直线MP与以MN为直径的圆交于点M、Q,则归徵忖。的

最大值为（）

A.48B.49C.50D.42

【答案】A

【分析】

由己知可确定N点坐标，从而确定以MN为直径的圆，连接NQ、NP,PF,可将归阴忖。转化为一而•丽,

进一步利用向量的线性运算得到|PM|・|PQ|=49-而2，由双曲线性质可确定结果；

【详解】

由双曲线方程知：右焦点尸（2,0）,M（4,36）在双曲线上，

•••直线M/方程为），=浮（x—2）,令％=0,解得：yS：必0「3碎

・••以MN为直径的圆的圆心为尸，且|M目二7.

连接NQ,NP、PF,

•••Q在以MN为直径的圆上，.•.MQ_LNQ,.」PQ|二|两|・cos（;r-/M/W）,

.JPMH叫=|网啊cos（;r-ZMPN）=_两屈=_（而+而■）.（即+成）=方一#=49-浮;

•.•尸为双曲线上一点，fi|3>|<3V5,:.\PF\mm=c-a=2-\=\,.-.|PM|.|P^<49-1=48；

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法

转化为关于|尸产|的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于。点横坐标的函数的最值的求解.

2

21.（2021•全国.高三专题练习（理））已知椭圆后:三+丁=1的左焦点为F,过点PQ,/）作椭圆E的切线以、

PB,切点分别是A、B,则三角形4B/面枳最大值为（）

4

A.V2B.1C.2D.-

【答案】A

【分析】

设4（3,），）仅々,乃），并求出切线以、P8的方程，进而求出直线A8方程，并确定其过定点（I,。），且定点

为椭圆的右焦点尸2,再联立方程求得）[+丁2=消，）'通=*，再表示出兀的=华铝，利用基

本不等式求出范围即可.

【详解】

2

由椭圆方程、+y2=],知a?=2万=I,c?=1

••F（-LO）,设右焦点为玛（1,0）,即附|=2

设4（%,凹）.4（与,乃），

由椭圆的切线方程可知切线外的方程为与+yy=l,切线。8的方程为孽+%y二】

%+再=1

由于点P在切线处、PB上,则<故直线方程为x+）=l,

々+伪=1

所以直线A8过定点（1,0）,且定点为椭圆的右焦点尸2，

x+A?=l

联立方程/,,消去工得：，+2）V-2f），-l=0

万+）广=1

2r-1

由韦达定理得y+乃=产*，）1为=再工，

•••S\，ABF=gxI桃IM）\一%|=；x2xJ（），|+），2）2-4y%

『2t丫~~2夜VP77

令7r+1=/?»>!»则/=tn2-1>///4-->2,则°<1~2

mm+一

in

c_2>/2#71_242m_2〃亿rri

%F=入2=-T=—当且仅当〃?=1,即f=0时，等号成立，

m4—

m

故三角形AB/面积最大值为上

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得

最值，解题的关键是清楚椭圆方程£+£=1在椭圆上一点尸（和打）的切线方程为岑+苦=1，考查学生

crh-a~h~

的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.

22.（2021・全国•高三专题练习（理））已知尸是抛物线C：>2=2/»（〃>0）的焦点，直线/与抛物线C相交

于P,。两点，满足/巴^（2=看27r，记线段PQ的中点A到抛物线。的准线的距_离_为4,则胸d的最大值为

()

「x/3

A.3B.6D.

33

【答案】C

【分析】