中考数学专项训练 动态几何压轴题（解析版）

中考数学动态几何压轴题专题练习

一、解答题

1.(2021.重庆.字水中学一模)如图，在AABC中，NACB=90。，点。为A8边上任意一点，连接

A。，以点。为旋转中心，将线段D4顺时针旋转90。，点A的对应点是点E,连接4E,取AE的中

点尸，连接。尺

(1)如图1,若/。。=30。，。尸=6,求线段CO的长.

(2)如图1,连接C凡求证：AC+CD=gCF；

(3)如图2,若AC=6,BC=8,点。在线段8c上运动，点G在线段QE上运动，连接4G,取线

段4G的中点P,连接8P、BF、PF,当线段P8最大时，直接写出48尸尸的面积.

o

【答案】(1)3&；(2)见解析；(3)Q

【提示】

(1)由题知AADE为等腰直角三角形，根据"'=6,算出4),再利用特殊角三角函数求出8即可;

(2)过户作"/_LC尸交C4延长线于〃，根据ASA证△<”>/法■尸，即可得出结论；

(3)根据题意知，当。点向右移动，G点向右上移动时/好变大，当。点向左，G点向左下移动时/好

也变大，分别求出两种情况的最大值，再比较得出的最大值，然后根据面积公式求出三角形面积

即可.

【解答】

解：(1)由旋转知，A40E为等腰直角三角形，

•/DF=6,

；.AD=6y/2,

又•.•NC4O=30。，

.•.CD=4Dsin3O0=6V2x-!-=3V2;

(2)过点尸作/77_Lb交。延长线于“，

H

图1

,ZCFD+ZCFA=9(r,ZHAF+ZCFA=9(y>,

:.ZCFD=ZHFA,

••・AAOE为等腰直角三角形，点F为其斜边上的中点，

..ZFAD=ZFDE=45°,

•.•ND4C+NS4=90°,NED8+NS4=900,

:.ZDAC=ZEDB,

乂•.•NH4〃=I80°-N/^0-N£WC,NCDF=19一NFDE-NEDB,

/HAF=ZCDF,

在AC。”和AHAb中，

乙CFD=乙HFA

■AF=DF,

ZHAF=ZCDF

:.ACDF=^HAF(ASA),

AH=CD)HF=CF,

「.△07/为等腰直角三角形，

二AH+AC=CH=V2CF,

即AC+CQ=&。尸；

(3)根据题意知，当。点向右移动，G点向右上移动时变大,

当。点向左，G点向左下移动时第也变大，

二•取两种情况下的最大值再比较大小，确定的最大值，

①当。与8重合，G与产重合时，如图3,

F(P)

AE(G)

图3

此时，BP=DF=ABsin450=x/AC2+BC2-sin45°=x/62+82x—=5x/2,

2

②当O,G,C三点重合时，如图4,

vAC=6,

.-.CP=-4C=3,

2

:.PBNCP2+BC2=抬+于=用，

,•>>/73>5>/2,

・•・当O,G,C三点重合时，即图4情况下最大,

此时，〜尸为AACf的中位线，

/.PF=-CE=3,

2

■■^=^F-PC=1X3X3=|,

9

即当/Z最大时，AP/必的面积是5，

【点睛】

本题主要考查特殊角三角函数，全等三角形的判定和性质，图形的旋转等知识点，用临界值法找出

PB的最大值是解题的关键.

2.（2021•山东省诸城市树一中学三模）如图1,平行四边形48CD的对角线4C,8。相交于点

C。边的垂直平分线E4交8。于点E,连接AE,CE.

(1)过点A作A6/EC交80于点八求证：AF=BF；

(2)如图2,将△ARE沿AB翻折得到△/皿£.

①求证：BE'/ICE\

②若AE,UBC,OE=\,求CE的长度.

【答案】(I)见解析；(2)①见解析；②1+石

【提示】

(1)根据题意证明启N30RA4S),即可证明及)=责"在根据E"垂直平分C。可得

EC=ED,即可证的结果；

(2)①过点A作交EO于点/，根据(1)中结论，然后证明/即可；

ApFF

②求证则芸=吴，据此解答即可.

BECE

【解答】

证明：(1)•••四边形人"8是平行四边形，

：,OA=OC,OB=OD.

VAF//EC,

AZCEO=ZAFO,ZFAO=ZECO,

・•・ACOE^/^AOF(AAS),

：.CE=AF,OE=OF,

/.ED=BF.

*/E”垂直平分CO,

JEC=ED.

・••AF=BF；

(2)如图2,过点A作AF//EC交B。于点F.

E'D

E

II

BC

图2

①证明：由（1）可知△49尸丝△COE,AF=BF,

，ZABF=NBAF,

,/将AABE沿AB翻折得到AABE*,

,ZABE'=ZABF,

:.ZABE'=ZBAFt

:‘BE'HAFy

又：AFIICE,

：,RE'HCE\

②解：・・・AE7/8C,

由翻折可知/E'AB=NEAB,

/.ZABC=ZEAB1

,/AF=BF,

/.ZZvtS-Z/^A,

，ZABC-/FBA=4EAB-NFAB,

；・/EBC=/EAF,

VAF//EC,

/.ZAFE=/CEB,

：•AAEFS^BCE,

.AF_EF

''~BE~~CEy

设AF=CE=BF=x,

*：OE=OF=],

・•・EF=2OE=2,

.x2

••------—,

x+2x

***x=1+\/5.x-1—>/5（负根舍去,）

经检验：x=1+石是原方程的根，且符合题意,

:.CE=\->/5.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键.

3.(2021•江苏•苏州市景范中学校二模)如图1,在RiZ\A8C中，ZC=90°,边AC=6,8C=8,点

M、N分别在线段AC、8c上，将沿直线MN翻折，点C的对应点是点C';

(1)当M、N分别是边AC、8C的中点时，求出CC的长度；

(2)若CN=2,点C到线段"的最短距离是________；

(3)如图2,当点C'在落在边A8上时，

①点C运动的路程长度是______；

②当AM若时，求出CN的长度.

【答案】(1)y；(2)1;(3)©4;②筌

【提示】

(1)如图1中，设MN交CC于O,证明CCJ.A及且点C落在A8上，利用面积法求解即可；

(2)如图2中，过点N作NHJMB与H,先求出N”，当点C落在线段NH上时，点C'到线段A8

的距离最短，由此可得到结论；

(3)①如图3-1所示，当点N与8重合时，8c的值最大，最大值=8C=8,如图3-2中，当M与A

重合时，AC的值最小，最小值观察图形可知，当点U落在A4J_时，点。的

运动的路程长度为4;②如图3-3中，过点M作于邑过点N作N£LA/T于尸，设CN=x,

5、4z

则828-x,/VF=H8-.r),"=、(87)利用相似三角形的性质，构建方程求解即可.

o5

【解答】

解：(1)设MN交CC于O

•・•加、N分别为AC、8c的中点

：,AM=CMfCN=BN

J.MN//AB(中位线定埋)，MN=-AH

2

,：MC=MC,NC=NC'

垂直平分CC

/.oc=oc\oc=^cc

:.CCA.A8且点C落在AB上

•・•ZC=90°

・••AB7AC、BC?=10

图1

(2)如图2中，过点N作NH_LA8与”

VNC=NC=2,BC=8

JBN=BC-CN=6

,Sinden=-----=-----

BNAB

.AC.BN18

AB5

•・•点C'是在以N为圆心，CN长为半径的圆上，

・•・当点C'落在线段NH上时，点C到线段AB的距离最短

Q

・•・最短距离=%，一汽仁=不；

图2

(3)①如图3-1所示，当点N与B重合时，8c的值最大，最大值=8C=8,

如图3-2中,当M与A重合时,8。的值最小,最小值;A8-A当MB-AC=4

观察图形可知，当点C'落在4?上时，点C’的运动的路程长度为4

4M

图3-2

②如图3-3中，过点M作ME_LA6于心过点N作Nr_LA3于凡设CN二x,则

・.5/人”二四，c“人"二生

BNABBNAB

..册=3=%7),BF=a，gx)

AB5V7AB5V7

VZA=ZA,NAEM=NACB=90

/.Z\MEA^>/\BCA

.AM_AEEM

'~AB~~AC~~BC

・•.AE=鹿，ME=㈣

555

oxan

•・,MC=MC'=AC-AM=C)--=—

1111

・•・CF=AB-AE-EC-BF=\O------(S-x)=---(S-x)

55555v7115V7

由翻折的性质得：NACB=NMC'N=90

NEC'M+/FC'N=90

•••/ECM+/EMC=90

，/EMC=NFCN

・•・^MEC^^CFN

.EMEC

••正一丽

14442

•工二一

(8-X)

H4和t

解得T；

经检验X=—是分式方程的解

【点睛】

本题主要考查了翻折变换，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，三角函数，以及直线到圆距离

最短，中位线定理等知识，解题的关键在于构造直角三角形利用相似三角形解题.

4.(2021.辽宁新抚•模拟预测)如图，P为正方形对角线8。所在直线上的动点，连接CP,

将CP绕点。逆时针旋转90°得线段CQ,连接。Q,。。与直线AC相交于点M,4c与B。相交于点

O.

(1)求证：PZA2OM;

(2)当夕在直线4。上运动时，探究线段OP,OM,CM的数最关系，直接写出探究结论；

(3)若A8=4,DQ=6,直接写出人M的长.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2a-1或20+1.

【提示】

(1)根据旋转的性质可知C?=CQ,进而证明A。。。丝△QC8,可得PO=8Q,再根据中位浅的性质

得出08=20”,即可得证

(2)分情况讨论，由(1)的结论，结合线段OP,OM,CM,。。，OC之间的关系，可列出线段

OP,0M、CM的数最关系；

(3)分情况讨论，当例在04的左侧或者右侧时，根据勾股定理求得。”的长度，即可求得力例的

长度.

【解答】

(1)证明：连接8Q

•••四边形ABC。是正方形

:・CD=CB,N8C£>=90。，/BDC=NACB=45。,OB=OD

JZPDC=135°

又CP=CQ,NPCQ=90。

NPCD=Z.QCB=90°-NQCD

:."CD建AQCB(SAS)

.・.PD=BQ,/QBC=ZPDC=135°

・•.Z0BC+ZACB=18O°

...OM//BQ

DMDO_x

・•.DM=MQ

OM=3BQ=；PD

・••PD=2OM.

(2)①当尸在B。延长线上时：如图

•••四边形ABCO是正方形

•••OC=OD

OP=OD+PD.CM=OM+OC

..OP-CM=OD+PD-OM-OC

=2OM-OM=OM

即:OP—CM=OM.

②当尸在线段0。上时，如图：

由（1）可知=

•;OP=OD-PD,CM=OC-OM，OC=OD

CM-OP=OC-OM-OD+PD

=PD-OM=2OM-OM=OM

即：CM-OP=OM.

③当P在线段OB上时，如图:

由（1）可知20=20例

•;OP=PD-OD,CM=OC-OM,OC=OD

:.CM+OP=OC-OM+PD-OD

=PD-OM=2OM-OM=OM

即：OP+CM=OM.

-,-OP=PD-OD,CM=OM-OC,OC=OD

OP-CM=PD-OD-OM十OC

=PD-OM=2OM-OM=OM

即：OP-CM=OM.

综上所述：当尸在BD延长线上或尸在。B延长线上时，OP—CM=OM;

当P在线段。。上时，CM-OP=OM;

当户在线段08上时，OP+CM=OM.

(3)①当点”在的左侧时，如图：

•••A8=4,OQ=6,四边形ABC。是正方形,

...400=45。

AO=DO=/ADxsinZADO

=4xsin45°=4x旦=23

2

由（1）可知DM=MQ=goO=3

：.OM=dDM?-DO,=西-（2扬2=1

AM=AO-OM=2s/2-\

由①可知AO=2JIOM=1

...AM=AO+OM=2>/2+\

综合①②AM=2>/2-l或2上+1.

【点睛】

本题考查了图形的旋转，旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，中位线的性质，勾

股定理，理解以上性质并根据题意作出图形是解题的关键.

5.（2021•云南五华•一模）如图所示，菱形ABC。中，AB=1,NAAC=60°,点E是/W访上的动点

（不与点A、8重合），线段CE的垂直平分线8分别交80,CE于点、F,G；AE,所的中点分

别为点用，N

(2)求MN+NG的最小值；

(3)在点E的运动过程中，/C£尸的大小是否变化？若没有变化，请直接写出NC痔的度数；若有

变化，请说明变化情况.

【答案】(I)见解析；(2)(3)不变，NCM=30。为定值

【提示】

(1)连接。尸，根据菱形的性质以及垂直平分线的性质即可求证；

(2)连接AC,根据中位线以及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求得

MN+NG=5(A尸+CF),根据A尸+b的最小值，即可求解；

(3)根据等腰三角形以及三角形外角的性质，求得角之间的关系,然后化简，即可求解.

【解答】

证明：(1)连接。尸，

•••AG垂直平分CE,

:.CF=EF、

••・四边形48co为菱形，

・•・A和。关于对角线8。对称，

・•・CF=AF,

/.AF=EF；

________________C

一

B

(2)连接AC,

•••河和川分别是人£和£尸的中点，点6为。£中点,

:.MN=；AF,NG=gcF,gpMN+NG=^(AF+CF),

当点尸与菱形人AC/)对角线交点。重合时，

4尸+C尸最小，即此时MN+NG最小，

「菱形ABC。边长为1,ZABC=60°,

.'△A6c为等边三角形，AC=AB=\,

即MN+NG的最小值为

(3)不变，NCEb=30。为定值

由(1)^FC=EF=AF

:.ZACF=ZCAF.ZFAE=NFEA,4FCE=/FEC

由图可知：ZBCE=60°-(ZACF+ZECF)=60°-(ZCAF+ZCEF),ZE4F=60°-ZGAF

ZCE4=60°+/BCE=/CEF+ZFE4=NCEF+ZEAF

・••60°+60°-(ZC4F+ZCEF)=60°-ZC4F+ZCEF

解得：ZCEF=30°.

【点睛】

此题主要考查了菱形的基本性质，涉及了三角形中位线、垂直平分线、直角三角形等有关性质，熟练

掌握并灵活运用有关性质是解题的关键.

6.(2021.云南官渡•二模)已知，矩形ABC。中，AB=6,BC=8,点。是4c边上一点，点/＞是相

(1)如图1,若点〃，点E都在A£＞边上，连接求证：四边形8QE。是菱形;

(2)如图2,若点。在A3边上，点E落在AO边上，AE=2后,求4P的长；

(3)如图3,若点尸在人8边上，AQ=4,当点E落在矩形ABC。内部，连接AE,EC,求四边形4£CQ

面积的最小值.

4

【答案】(1)见解析；(2)4P=§;(3)30

【提示】

⑴根据折叠的性质和四边形ABC。是矩形，可判断四边形伏2样是菱形；

⑵由折叠的性质知道三角形8Q户沿尸。折叠得到三角形EQP,四边形A8CO是矩形，可以用勾股定

理求出A尸的长；

(3)连接AC、PC,过点E作EF_LAC于点尸，过点尸作户〃J_4C于点〃，四边形A8CD是矩形,

得到床边形A第=SMX+S-三角形8QP沿。。折叠得到三角形EQP,当/),E,/共线时，防最

小，求出S-Sgsc、S“8c之间的关系可求出四边形4ECD面积的最小值.

【解答】

(1)证明：I•四边形A8QP沿尸。折叠得到四边形/EQP

:・BQ=EQ,PB=PE

NBQP=NEQP

•・•四边形48co是矩形

AAD//BC,即PE〃8Q

・•・4EPQ=/BQP

NEQP=NEPQ

EP=EQ

：.BQ=EQ=EP=PB

・•.四边形BQ砂是菱形.

(2)解：•・•三角形BQP沿P。折叠得到三角形EQP

，PB=PE

•••四边形ABC。是矩形

・•・Z7DAE=9O°

在R/AAPE中，ig/\P=x,\fAPE=PB=6-x

••A^+AE2=PE2

即丁+(2南=(6T『

44

.0二一，即AP=-

33

(3)解：连接A。、PC,过点五作AC于点产，过点P作PHIAC干点H

Spq边形AECD='^MDC+S^EC

=—x6x8+—x10xEF

22

=24+5收

・•・当叱最小时，四边形AEC。的面积最小

V/1B=6,AP=4

，PB=2

・・•三角形BQP沿PQ折叠得到三角形£QP

PB=PE=2

・••点E在以〃为圆心，2为半径的圆上

・••当尸，E,尸共线时，EF最小

即广，_LACH寸，EF=PH-2

=

•^MHCSg/x?=24,SAW=]X2X8=8

S#AC=；X4CXP"

B[J16=-xl0xP//

2

.也」6

••rn=—

5

.2-6

55

•**S四边形AECD=24+5x—=30

J

【点睛】

此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及圆的相关知识，熟悉掌握它们的性质是解题的关

键.

7.（2021・湖南岳阳•一模）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、

A、。在同一条直线上），发现跳：=右且8E_LDG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答:

（1）将正方形但'G绕点A按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到吗？若能，请给出证

明，请说明理由;

⑵把背景中的正方形分别改成菱形A&,G和菱形ABC，将菱形A£FG绕点4按顺时针方向旋转（如

图2）,试问当NE4G与的大小满足怎样的关系时，BE=DG\

ArAR7

⑶把背景中的正方形分别改写成矩形曲p和矩形且就=而=屋AE=2a,AB=*

（如图3）,连接DE,BG.试求。炉+8G?的值（用即。表示）.

B

【答案】（1）见解析;

【提示】

（1）由正方形的性质得出A£=AG,ZE4G=9O°,AB=ADyNR4O=900,得出NKAB=NG4O,

则可证明AAE3AAGD（SAS）,从而可得出结论;

（2）由菱形的性质得出隹=AG,AB=ADf则可证明瓦汪△4G。（SAS'）,由全等三角形的性

质可得出结论；

(3)设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P,证明△EAfis/iGA。，得出NE84=NGA4,得出

GD1EB,连接EG,BD,由勾股定理可求出答案.

【解答】

(1)•・•四边形AEFG为正方形，

/.AE=AGtZE4G=9O°,

又:四边形ABC。为正方形，

AAB=AD,ZB/V9=90°,

，NE4G-ZBAG=ABAD-/BAG

ZEAB=ZGAD,

在乙AE8和△AG。中，

AE=AG

ZEAB-ZGAD,

AB=AD

.・.Z\AE四△AGO(SAS),

，BE=DG；

(2)当NE4G=N8AD时，BE=DG,

理由如下：

*/ZEAG=ZBAD,

・•・ZEAG+ZR4G=/BAD+/BAG

・・・/E4B=NGAD,

又•・•四边形4£/七和四边形ABC。均为菱形，

AAE=AG,AH=Af),

在△4仍和△AGO中，

AE=AG

<NEAB=/GAD,

AB=AD

/.AAE哈AAGD(SAS),

BE=DG；

(3)设BE与DG交于Q,BE与AG交于■点P,

E

D

C

由题意知，AE=2at

ATAR2

—=—=-,ZEAB=ZGDA=90°+ZGAB,

AGAD3

J^EAB^GAD,

:.ZEI3A=ZGDA,

•・•ZADB+ZABD=/GDA+NQDB+ZABD=90°,

.•・NQDB+NQBD=NEBA+NQDB+ZABD=90°,

：・GDLEB,

连接EG,BD,

/.ED2+GB2

=EQ2+QD2+GQ2+QB2

=EG2+BD\

..AEAB2

•-----=-----=—,AE=2a,An=2b,

AGAD3

AAG=3a,AD=3b,

在RmEAG中，由勾股定理得：EG2=AE2+AG2,同理BD1=AB2+AD2,

ED2+GB2

=(2a)2+(3a)2+(2b)2+(3b)2

=\3a2+\3b2•

【点睛】

本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股

定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键.由(3)可得结论：当四边形的对角线相

互垂直时，四边形两组对边的平方和相等.

8.(2021•河南涧西•三模)在R/AA3C中，AB=AC=3,N8AC=90。，点。为边BC的中点，以C。

为一边作正方形CQ所，

(1)如图1,点石恰好与点A重合，则线段/3E与的数量关系为；

(2)在⑴的条件下，

①如果正方形CDE/绕点C旋转，连接BE、CE、AF,线段跳:与A/的数量关系有无变化？请仅就

图2的情形给出证明；

②正方形绕点。旋转的过程中，当以点4凡C,E为顶点的四边形是平行四边形时.直接写

出线段A/7的长.

【答案】八)BE=OAF；(2)①无变化，证明见解析；②或白痴

【提示】

(1)先利用等腰直角三角形的性质得出AO=&,再得出8E=48=4,即可得出结论；

(2)①先利用三角函数得出/=①，同理得出/=正，夹角相等即可得出尸s/XBCJ

CB2C£2

进而得出结论；

②分两种情况计算，当点F在BC边上时，AF=；BC,当点尸在BC边的延长线上，运用勾股定理即

可得出结论.

【解答】

解：(1)在RQ43C中，AB=AC,

根据勾股定理得，BC=叵AB,

•・•点。为BC的中点,

：,AD=^BC=—AB,

22

•・•四边形CO石尸是正方形，

：,AF=EF=AD

'：BE=AB,

:・BE=6AF,

故答案为：8£=应从产

(2)①无变化

理由如下：在RSABC中，ZBAC=90°

,?AB=AC=2

・••ZA^C=Z4CB=45°

••//A。夜

••sinX.ABC==—

BC2

在正方形8E产中，

ZFEC=-ZFED=45°

2

在RtaCEF中，ZCFE=90°

.CF6

sinZr£C=——=——

CE2

,CFAC

••---------

CEI3C

•・•ZFCE=ZACB=45°

，4FCE-AACE=4CB-ACE

・•・NFCA=NECB

.•・殷=生=也

AFAC

工BE=42AF

・•・线段BE与AF的数量关系无变化

②如图，当点尸在BC边上时,

此时，点尸是8c边的中点，

:△ABC是等腰直角三角形，A8=8C=3

,BC=gB=3叵

：.AF=-AB=-42

22

如图，当点尸在8。边的延长线上时，过点A作AG_L8C于点G,

a

由①知，AG=CD=CG=CF=3收

333

在RmAGF中，AGq亚,GF=GC+CF=>72+->/2=35/2

AF=7AG2+GF2=J(—)2+(3y/2)2=-V10

V22

综上，线段的长为或:加.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，E方形的性质，旋转的性质，相似三角形

的判定和性质，解(2)(3)的关键是判断出AAC尸s^BCE.第三问要分情况讨论.

9.(2021・湖北哪阳•模拟预测)如图1,正方形48CO的一边8。及一等腰直角三角板CE尸斜边CF

在同一条直线MN上，连接43点。为Ar的中点，分别连接。0、EO.

(1)则线段。。与石。的关系是二

(2)如图2,若将三角板CEF绕点C顺时针旋转。角，((T<a<45。)，猜想线段。。与EO的关

系，并证明你的猜想；

(3)在(2)的条件下，当。=15。，CD=2,CF=4夜时，请画出图形，并直接写出7)0的长.

E

MBFN

和

【答案】(1)DO=EO,DO1EO;(2)J_EO,证明见解析；(3)图见解析，DO=R.

【提示】

(1)延长D。交MN于点G,连接力EEG,先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出

4OD="OG,从而可得DO=GO.AZ)=EG,再根据等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定定

理证出△CDEwjGK,从而可彳导DE=GE,NCED=NFEG,然后根据等腰直角三角形的判定与性质

即可得；

(2)延长。。至点G,使力O=GO,连接。EEGIG,先证出二/OG,从而可得

AD=FG=CD,ZOAD=ZOFG,再根据平行线的判定与性质可得/FCN=/CFG,从而可得

/DCE=NGFE,然后根据三角形全等的判定定理证出EDE二加GE,从而可得

DE=GE,NCED=NFEG,最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得；

(3)设EF交MN于点、Q,过点E作“J_MN于点P,连接。£,先根据旋转的定义可得

4FCN=a=15。,从而可得NECN=30。,N£QC=60。，再分别在心/"，心/EQ,m目Q中，解直

角三角形可得CE=4,EQ=羊,EP=2,然后根据矩形的判定与性质可得NCDE=90。，利用勾股定

理可得。£=26，最后根据等腰直角三角形的判定可得用aDOE是等腰直角三用形，由此即可得出

答案.

【解答】

解：(1)如图，延长交MN于点G,连接DE,EG,

•.•四边形A8CD是正方形，

/.AD=CD,ADUBC,NBCD=ZDCN=90°,

ZOAD=NOFG、NODA=NOGF,

•••点。为A/,.的中点,

:.AO=FO,

^OAD=^OFG

在AAOD和AFOG中，，/。OA=/OG产，

AO=FO

W；(A4S),

/.DO=GO、AD=FG,

:.CD=FG,

♦.•△CE"是等腰直角三角形，

CE=FE,NECF=Z.EFC=45°,NCEF=90°,

NDCE=NDCN-Z.ECF=45°=NGFE,

CD=FG

在△CDE和△尸GE中，ZDCE=ZGFE,

CE=FE

:.^CDE=^FGE(SAS),

/.DE=GE、NCED=NFEG,

..zlDEG=ZCED+Z.CEG=z!FEG+/CEG=RCEF=90°,

是等腰直角三角形，

又•；DO=GO,

DO=EO,DO±EO-

(2)DO=EO,DO工EO,证明如下：

如图，延长OO至点G,使。。=GO,连接DE,EG,FG,

DO=GO

在少。。和AR9G中，”OD=N/OG,

AO=FO

:.^AOD^^FOG(AAS),

/.AD=FG,^OAD=ZOFG,

CD=FG,FGHAD//MN,

:"FCN=/CFG,

ZDCE=ZDCN+ZFCN-Z.ECF=45°+ZFCN

,ZGFE=ZEFC+/CFG=45°+/斤CN

/.NDCE=NGFE,

CD=FG

在△(7£>£和AFGE中，•NDCE=ZGFE,

CE=FE

:.《DE"GE(SAS),

DE=GE,ZCED=NFEG,

ZDEG=ZCED+Z.CEG=AFEG+NCEG=NCEF=90°,

.•.△OEG是等腰直角三角形，

又・；DO=GO,

DO=EO,DOA.EO-

(3)由题意，画出图形如下，设EF交MN于煎Q,过盛E；乍EPA.MN于熊P,连接OE,

在等腰口ACE卜中，CE=CFcosZECF=4x/2x—=4,

2

由旋转的定义得：/FCN=a=\5。、

/ECN=NECF-NFCN=30°,

ZEQC=900-ZECN=60°,

在mACEQ中，EQ=CEtanNECN=4x与=殍、

在朋AEPQ中，EP=EQ&hyZEQC=^^x—=2,

32

-CD=2,CD±MN,

:.CD=EP,CDHEP,

二四边形CDE■尸是矩形,

\?CDE907,

/.DE=y]CE2-CD2=V42-22=2G，

由(2)可知，DO=EO,D()1EO,

.••阳J9OE是等腰直角三角形,

/.NODE=45。，

DO=DE-cosAODE=2x/3x—=76.

2

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三用形仝等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三

角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

10.（2021・四川龙泉驿•三模）如图，已知矩形A8C。，点£为48边上的动点（点E不与点A,4重

合），连接DE,作交射线0c于尸，交8c于G,连接CE,BF.

图1图2

图3

(1)如图1,若点尸与点。重合，求证：AD2=AEBE\

(2)如图2,当AB=16,40=8,且3F//CE时,求AE的长；

(3)如图3,当5E=34£,且/。5/=/£>(无时，求一的值.

BC

【答案】⑴见详解；(2)B+4近或8-4上；(3)!叵

【提示】

人/)Af

(1)先证明△幺DESABEC,可得：进而即可得到结论；

(2)过点/作尸〃_LA8,交力8的延长线于点〃，则四边形8〃尸。是矩形，先证明四边形目"T是

平行四边形，设AE=x,则B〃=BE=16J,EH=2(16-X),结合AO=AEHE,即可求解；

(3)过点/作Z7/_LAB,交A8的延长线于点，，则四边形BHFC是矩形，dltanZBEC=tanZC5F,

即：嗅名,设AE=x,AD=BC=y,则4E=3x,y2=3x-BH,结合4万=人石.,即可得到答案.

B七DC

【解答】

解：(1)•・•在矩形48co中，AD=BC,NA=N8=90。，

,:EFLDE,

・••NADE+ZAED=ZBEC+NA£O=90。，

NADE=NBEC,

：・AADES/EC,

.ADAEanADAE

BEBCBEAD

•­AD2=AEBE\

(2)过点尸作尸H1AB,交4B的延长线于点”，则四边形是矩形，

由(1)可知：△ADEsWEF,

**•AD2=AEHE>

•・•在矩形A8CO中，AB//CD,即：BE//CF,

又,/BF//CE,

四边形EBFC是平行四边形，

[BE=CF=BH,

VAB=16,AO=8,

工设AEr,则8”=BE=16・x,EH=2(\6-x),

：.82=2(16-X)X,解得:x=8+4&或8-45历,

：•AE=8+4&或8-4夜；

图2

（3）过点F作FHLA8,交力8的延长线于点”，则四边形8”FC是矩形,

,・,在矩形A8CO中，AB//CD,

:・/DCE=NBEC,

又：/CBF=/DCE,

:・NBEC=NCBF,

•:/EBC=/BCF=9G,

tanZBEC=tanZCBF,即:---=---,

BEBC

,:CF=BH,

.BCBH,

•­=—,即HI1：BC2=BEBH,

B匕oC

,/BE=3AE,

,2

/.15AE=x,AD=BC=y,则BE=3x,y2-3x-BH,即：BH=^—,

3x

由（1）可知：AD2=AEHE,即：y2=x（3x+

即：）,二］后1或）,=一］缶（舍去），

AB4x4.r4r-

.—=—=与----=-V2

•・BCy>03・

2

图3

【点睛】

本题主要考杳相似三角形的判定和件质，锐角三角函数的定义，矩形的性质，添加辅助线构造矩形和

相似三角形，是解题的关键.

H.(202卜上海嘉定.二模)已知点尸为线段AB上的一点，物线段人P绕点八逆时针旋转60。，得到

线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120。，得到线段BD；点M是AD的中点，联结3M、CM.

(1)如图1,如果点尸在线段CM上，求证：PMUBD；

(2)如图1,如果点P在线段CM上，求证：PC=2PM；

(3)如果点尸不在线段CM上(如图12),当点。在线段43上运动时，的正切值是否发生

变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出/ACM的中切值.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)必

3

【提示】

(1)由旋转可得，ZiAPC是等边三角形，NPBD=120。，则/4PM+N尸8D=I8O。，所以PM〃BD.

(2)利用三角形的中位线定理解决问题即可.

(3)延长BM至点G,使得MG二MB,连接AG,BC,GC,PC,可证△C8G是等边三角形且点M

是8G的中点，可得结论.

【解答】

解：(1)如图1中，

由题意可得，NCA尸=60。，且AP=AC,

•••△APC是等边三角形，

工ZAPC=60°,

AZBPA/=60°,

又•；NPBD=12。。,

・••NBPM+NPBD=180°,

(2)如图1中，:AM=M。，PM//BD,

:・AP;PB,

，PM=gBD,

•:PA=PC=PB=BD,

:.PC=2PM;

(3)结论：tanNBCM=@.理由如下：

3

如图2,延长8W至点G,使得MG二MB,连接AG,BC,GC,PC,GD,

*：AM=MD,GM=BM,

，四边形AGDB是平行四边形,

：,AG=BD,AG//BD,

/.ZBAG=\80°-ZABD=60°,

AZCAG=120°,

•••△APC是等边三角形，

：.AC=CP,ZCPB=120°,

•:PB=DB=AG,

/.△C^G^ACTO(SAS),

:.CG=CB,NACG=/PCB,

：.ZGCB=60°y

/.△CBG是等边三角形，

■:GM=BM,

/.ZBCM=^ZBCG=30°,

・・・tanNBCM=3.

3

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位

线定理，解直角三角形等知识：解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于

中考压轴题.

12.(2021・湖北江夏•模拟预测)如图，正方形A8CD的边长为6,M为48的中点，4MBE为等边

三角形，过点E作ME的垂线分别与边A。、8c相交于点尸、G,点。、Q分别在线段后/、8C上

运动，且满足NPWQ=60。，连接PQ.

At______________f/n

JWE/

V卜”c

(1)求证△MEP0△MB。；

(2)当点。在线段GC上时，求证：PF+GQ=2BG.

(3)若点。从G点运动到C点的过程中，直接写出点。的运动路径长.

【答案】(I)见解析；(2)见解析；(3)6-6

【提示】

(1)由题意可得=MB,ZABC=ZMEP=90°t再证N8M。=NOME,即可证明两三角形全等；

(2)作辅助线如图所示，先证明&△MEG,然后分别求出"G，尸G,再利用线段的和差

即可证得结论；

(3)由△MBQgaMEP,推出8Q=PE,推出点。从G点运动到C点的过程中，点P的运动路径长

=BC-BG.

【解答】

解：(1)证明：•・•正方形A8CO的边长为6,M为48的中点，

/.ZA=ZAfiC=90A,AB=BC=6,A/W=4M=3,

祖是等边三角形，

：・MB=ME=BE,NBME=NPMQ=60。，

4BMQ=/PME,

又；ZABC=ZMEP=90°>

咨△MEP(ASA).

(2)证明：如图1,连接MG,过点*作IH±BC于H,

D

M

B/GQH

图1

°：ME=MB,MG=MG,

:.RmMBGqR小MEG(HL),

:.BG=GE,N8WG=NEMG=30。，NBGM=/EGM,

・•・MB=G8G=3,ZBGM=ZEGM=60°,

:・GE=6,NFGH=60°,

■:FH工BC,NC=NO=90。，

・•・四边形OC”尸是矩形,

:・FH=CD=6,

士加NE曙邛喂,

:・FG=AM，

咨AMEP,

；・BQ=PE,

：・PE二BQ=BG+GQ,

*：FG=EG+PE+FP=EG+BG+GQ+PF=2++GQ+PF,

:.GQ+PF=2仆=2BG.

(3).••△MB。也ZXMEP,

：.BQ=PE,

・••点Q从G点运动到C点的过程中，点P的运动路径长=BC8G=6-G.

【点睛】

本题属于四边形综合题，考杳了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

13.（2021•内蒙古•包头市第二十九中学三模）在矩形ABC。中，AB=\,4C=a,点E层由BC上

一动点，连接力石，将△ABE沿4E翻折，点8的对应点为点".

(1)如图，设BE=x,BC=+,在点E从4点运动到。点的过程中.

①AB'+CB'最小值是______,此时A-；

②点夕的运动路径长为.

3

(2)如图，设=当点〃的对应点/T落在矩形ABC。的边上时，求。的值.

【答案】⑴①2,乎；②1;(2)a=g或"，

【提示】

(1)①由题意，当点"恰好在直线AC上时，/3，+8'有最小值，然后求出答案即可；

②先证明点8’在以A为圆心，1为半径的圆上，冉求出/胡夕=2NA4C=120。，然后根据弧长公式，

即可求出答案；

(2)分两种情况，①当点ZT落在A。边上时，四边形A/拓》为正方形，然后求出答案；