专题13 一次函数的实际应用中最值问题(含答案)-2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国版）

备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）

专题13一次函数的实际应用中最值问题

【典型例题】

1.（2022•河南汝阳•九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是4（）

元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出

70（）盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒.

⑴试求出每天的销售量M盒）与每盒售价M元）之间的函数关系式；

⑵要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠.售价应定为多少元？

（3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

【专题训练】

一、解答题

1.（2022•山东青岛・模拟预测）“菊涧初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生

素C.某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙〃和“脐橙”供客户对比品尝,

其中购买“脐橙〃用了420元，购买“血橙〃用了756元，已知每千克〃血橙”进价比每千克“脐橙〃贵8元.

⑴求每千克"血橙〃和"脐橙"进价各是多少元？

⑵若该水果商城决定再次购买同种“血橙〃和"脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙

子进价保持不变.若"血橙”的销售单价为24元，“脐橙〃的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使

得第一.批的“血橙”和”脐橙〃售完后获得利润最大？最大利润是多少？

2.12022•山东莱芜•九年级期末）2024年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的

文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量〃件）与销售单价虫元）之间的函数关系如图所示,

设每月获得的利润为W（元）.

⑴求出每月的销售量丁（件）与销件单价X（元）之间的函数关系式；

（2）这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月

要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？

3.（2022•河南•郑州中学九年级期末）冰墩墩仍由g。松〃。松〃），是2024年北京冬季奥运会的吉祥物.将熊猫

形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航

天员.冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销.小冬在某网店选中A,8两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进

货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如表：

价格

4款玩偶B款玩偶

类别

进货价（元/个）2015

销售价（元/个）2820

⑴第一次小冬550元购进了4,B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个.

（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小冬i一划购进两款

玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

⑶小冬第二次进货时采取门2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对

于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润+成本）x100%）.

4.（2021•山东青岛•一模）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A,8两种口罩.已知每箱A种口罩

比每箱8种口罩多10包，每箱4种口罩和每箱6种口罩的价格分别是63。元和600元，而每包4种口罩和

每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍.

⑴求这一批口罩平均每包的价格是多少元.

（2）如果购进人，8两种口罩共5500包，最多购进3500包八种口罩，为了使总费用最低，应购进人种口罩和

3种口罩各多少包？总费用最低是多少元？

5.（2022•江苏滨湖•八年级期末）小李在某网店选中4、8两款玩偶，确定从该网店进货并销售.两款玩偶的

进货价和销售价如表：

类别价格A款玩偶5款玩偶

进货价（元/个）4030

销售价（元/个）5645

⑴第一次小李用1100元购进了4、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？

（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过8款玩偶进货数量的一半，小李A划购进两款

玩偶60个.设小李购进A款玩偶机个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得

最大利润？并求W的最大值.

6.（2021•山东北区•一模）六一前夕，某商场采购A、8两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，

比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数

量相同.

⑴求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；

⑵该商场计划用不超过7220元采购4、3两种品牌的笔袋共800个，且其中3品牌笔袋的数量不超过400

个，求该商场共有几种进货方式；

⑶若每个4品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第（1）（2）问的前提下，不计其他因素，将

所采购的4、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元.

7.（2022•四川简阳•八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客

车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人.

⑴每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？

⑵若学校计划租用小客车〃?辆，大客车〃辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.

①请你设计出所有的租车方案；

②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与，”的关系式，根

据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金.

8.[2022•山东城阳•八年级期末卜七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，

国人掀起购物潮.我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子

按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元.

⑴该门店库存有上衣、裤子各多少件？

⑵售完这批库存后，该门店计划再次调进2000件上衣和裤子，其中裤子的数最不超过1200件，若该门店

还是按原获利方式卖，则如何分配这2000件商品可使获利达到最大值，最大盈利多少元？

9.（2022•浙江•九年级专题练习）在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60元，批发

一箱该种葡萄的利润是30元.

⑴已知该水果店元口放假三天卖出100箱这种葡萄共获利润3600元，求该水果店元旦放假三天零售、批发

该种菊萄分别是多少箱？（要求：列二元•次方程组解应用问题）

⑵现该水果店要经营1000箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200箱，请直接写III零售和批发

各多少箱时，才能使总利涧最大？并宜接写出最大总利润是多少元？

10.（2022•浙江•九年级专题练习）现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：

无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等.某快递公司为了提高工作效率，计划购买A,B两种型

号的机器人来搬运货物，已知每台4型机器人比每台3型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和

2台B型机器人每天共搬运货物450吨.

⑴求每台4型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台人型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A,B两种型号的机器人共

20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A,5两种机器人分别采购

多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

11.（2022•山东莱芜•八年级期末）某生态示范园积极响应政府提出的"践行生态有机理念，推动有机农业发展〃

经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果.某超市从该示范园第一次用300元购进甲种水果，300元

购进乙种水果.乙种水果的进价是甲种水果进价的1.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多10依.

⑴求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？

(2)第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100

千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍.若甲种水果的售价为13元/千克，乙种水果的售价

为20元/千克，超市购进两种有机水果各多少千克时第二次获得最大利润，最大利润是多少？

12.(2021•广东•东莞市南开实验学校一模)某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华

为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机

的进价多800元.

⑴求一台4〃型华为手机的进价分别为多少元？

⑵若手机店购进48型华为手机共60台进行销售，其中人型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，

且不小于20台，已知A型学为手机的售价为4200元台，4型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出,

手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润.

13.(2021•广东•佛山市三水区三水中学附属初中二模)截至2021年4月10日，全国累计报告接种新冠疫苗

16447.1万剂次，接种总剂次数为全球第二.某社区有800()0人每人准备接种两剂次相同厂家生产的新冠疫

苗并被分配到A、4两个接种点，A接种点有5个接种窗口，8接种点有4个接种窗口.每个接种窗口每天

的接种量相同，并且在独立完成2000()人的两剂次新冠疫苗接种时,A接种点比8接种点少用5天.

⑴求A、8两个接种点每天接种量；

⑵设A接种点工作x天，8接种点工作)，天，刚好完成该社区80000人的新冠疫苗接种任务，求y关于x的

函数关系式；

⑶在⑵的条件下，若A接种点每天耗费6.5万元，B接种点每天耗费为4万元，且4、8两个接种点的工作

总天数不超过85天，则如何安排A、8两个接种点工作的天数，使总耗费最低？并求出最低费用.

14.（2022•辽宁建昌•九年级期末）“燃情冰雪，拼出未来"，北京冬奥会将于2024年2月4口如约而至.某商

家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售.每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且

不高于52元.销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天

销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为x元.

⑴直接写出）'与X之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

⑵求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；

（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润卅元最大？最大利润是多少元？

15.（2021•湖南•师大附中梅溪湖中学二模）某品牌自行车专卖店销售4辆人型自行车和6辆B型自行车的利

润为1400元，销售10辆A型自行车和3辆4型自行车的利润为2300元.

⑴求每辆4型自行车和3型自行车的利润；

⑵专卖店计划购进两种型号的某品牌自行车共240辆，其中3型目行车的进货量不低于A型自行车的2倍.设

购进4型自行车x辆，这240辆自行车全部销售的销售总利润为），元.该商店如何进货才能使销售总利润最

大？

（3）专卖店预算员按照⑵中的方案进行进货，同时专卖店对4型自行车销售价格下调，〃元，结果预算员发现，

无论按照哪种进货方案，最后的销售总利润不变，请求出〃，的值.

备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）

专题13一次函数的实际应用中最值问题

【典型例题】

1.（2022•河南汝阳•九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是4（）

元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出

70（）盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒.

⑴试求出每天的销售量M盒）与每盒售价M元）之间的函数关系式；

⑵要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠.售价应定为多少元？

（3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

【答案】⑴y=-20.v+1600（45<v<80）

⑵售价应定为50元

⑶每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大

【解析】

【分析】

⑴根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒〃即可

得出每天的销售量与每盒售价M元）之间的函数关系式：

（2）根据利润=1盒商品所获得的利润x销售量列出方程，解方程取较小的值即可；

⑶根据利润=1盒商品所获得的利润x销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可.

⑴

解：700+20=35元，45+35=80元，

由题意得销售量）=700-20（工-45）=-20Al600,

团每天的销售量），（盒）与每盒售价M元）之间的函数关系式为），=-20.r+1600（45uV80）；

⑵

题意得：（x-40）（-20x+1600）=6000,

整理得:x2-120x+3500=0,

解得：xi=50,及=70,

回要让顾客得到最大的实惠，

0x=5O,

团售价应定为50元;

(3)

P=(x-40)(-20.V+1600)

=-20『+2400戈-64000

=-2()(.v-6。产+800(),

回。=-20<0,45<r<80,

回当x=60时，P有最大值，

团每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大.

【点睛】

本题考查的是二次函数、-次函数与•元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒商品子所获

得的利润x销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键.

【专题训练】

二、解答题

1.(2022•山东青岛•模拟预测广菊涧初经雨，橙香独占秋〃，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生

素C.某水果商城为了了解两种橙子市场销伐情况，购进了一批数量相等的“血橙"和”脐橙"供客户对比品尝，

其中购买“脐橙〃用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克"脐橙"贵8元.

⑴求每千克“血橙〃和"脐橙”进价各是多少元？

⑵若该水果商城决定再次购买同种“血橙〃和“脐橙〃共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙

子进价保持不变.若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙〃的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使

得第二批的“血橙”和"脐橙〃售完后获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】⑴每千克“血橙”为18元,每千克“脐橙〃为10元

⑵该水果商城购买25千克“血橙〃，15千克“脐橙〃，获得利润最大，最大利润是210元

【解析】

【分析】

⑴设每T•克“脐橙〃为x元，则每千克“血橙〃是3+8）元，然后根据“购进了一批数量相等的“血橙〃和“脐橙〃列

分式方程求解即可；

⑵设可再购买。千克"血橙”，则购买（40-。）千克“脐橙〃，再根据“再次购买的费用不超过600元〃列不等式

求得。的取值范围确定“血橙”和”脐橙〃的利润，设总利润为卬元并列出表达式，最后根据一次函数的性质即

可解答

（1）

解：设每千克"脐橙"为x元，则每千克"血橙"是"+8）元，

4m由*z420756

根据题意，得n---=----»

xx+8

解得x=10,

经检验，x=IO是原方程的解，x+8=10+8=18,

答：每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙〃为10元.

⑵

解：设可再购买〃千克"血橙"，则购买（40-。）千克“脐橙〃，

根据题意，得a）K600,解得々425；

每千克"血橙"的利润为:24-18=6（x1，

每千克"脐橙"的利润为：14-10=4（元）,

设总利涧为印元，根据题意，得

w=6。+4（40-。）=2a+160,

因为人-=2>O,所以卬随〃的增大而增大，

所以当4=25时，卬有增大值，%大=2x25+160=210,此时，40-tz=15,

答：该水果商城购买25千克"血橙”，15千克“脐橙"，获得利润最大，最大利润是210元.

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，考查知识点较多，灵活应用

所学知识成为解答本题的关键.

2.12022•山东莱芜•九年级期末）2024年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了•批以冬奥会为主题的

文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量〃件）与销售单价工（元）之间的函数关系如图所示,

设每月获得的利润为W(元).

⑴求出每月的销售量)'(件)与销售单价1(元)之间的函数关系式；

⑵这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月

要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？

【答案】⑴y=-10X+1000

(2)当这种文化衫俏售单价定为70元时，每月的俏售利润最大，最大利润是9000元

⑶当销售单价应定为60元，每月的最大利润为8000元

【解析】

【分析】

⑴根据题意可以利用待定系数法求出关系式.

⑵利润=单件利润x销量，我们可以得出总利润W=-l0f+1400.r-40000,根据二次函数的性质，即可解题.

(3)根据函数的性质，求出X460时的最大值就可.

(1)

设？=履+〃，把工=40,y=600和4=8(),y=200代入得：

[400+b=600

j

OA,|解得左=T0,Z?=1000,所以y=—10x+I000；

⑵

W=(x-40)y=(x-40)(-10x+l(D0)=-10x2+1400x-40000；

即W与x之间的函数关系式为：V/=-10x2+l400x-40000;

W=-10X2+1400X-40(XX)=-!0(.t-70)2+9(XX),开口向下，

团当工=70时，有最大值9000,

当这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元.

(3)

根据第二问得：当xv70时，W随x的增大而增大，又因为所以当x=60时，VV=800D,所以当销

售单价应定为60元，每月的最大利润为8000元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式.

3.（2022•河南•郑州中学九年级期末）冰墩墩（用力g是2024年北京冬季奥运会的吉祥物.将熊猫

形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航

天员.冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销.小冬在某网店选中A,8两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进

货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如表：

价格

A款玩偶B款玩偶

类别

进货价（元/个）2015

销售价（元/个）2820

⑴第一次小冬550元购进了4,6两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个.

⑵第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过3款玩偶进货数量的一半.小冬L划购进两款

玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

（3）小冬第二次进货时采取了⑵中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对

于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润+成本）x100%）.

【答案】（1）A款玩偶购进20个，则8款玩偶购进10个

（2）4款玩偶购进1（）个，则B款玩偶购进20个，才能获得最大利润，最大利润是180元

⑶第二次更合算

【解析】

【分析】

⑴设A款玩偶购进。个，则8款玩偶购进(30-〃)个，根据题意，列出方程，即可求解；

⑵设获得利润卬元，A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进(30R个，根据题意，列出函数关系式，再根据­

次函数的增减性，即可求解：

⑶分别求出两次的利润率，即可求解.

(1)

解：设A款玩偶购进。个，则3款玩偶购进(30-0个，根据题意得：

20〃+15(30-〃)=550,

解得：。=20,

030-«=10,

答：A款玩偶购进20个，则8款沅偶购进10个；

⑵

解：设获得利润印元，4款玩偶购进4个，则B款玩偶购进(30R个，根据题意得：

w=(28-20)x+(20-15)(30-x)=3x+150,

团月款玩偶进货数量不得超过3款玩偶进货数量的一半.

回W(30-x),解得：x<10,

03>0,

13卬随x的增大而增大,

回当x=10时,w的值最大,最大值为3x10+150=180,

答：4款玩偶购进10个，则〃款玩偶购进20个，才能获得最大利润，最大利润是180元；

⑶

解：第一次的利润率为：20X(2"20H1()X(2()一⑸XL*G%,

550

第二次的利润率为：m(28-20)+2()x(2()■•⑸乂100%=36%,

20x10+15x20

038.2%>36%,

团第二次更合算.

【点睛】

本题主要考查了•元•次方程的应用，••次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

4.(2021•山东青岛•一模)某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进4,B两种口罩.已知每箱A种口罩

比每箱8种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和

每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍.

⑴求这•批口罩平均每包的价格是多少元.

(2)如果购进48两种口罩共550()包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进人种口罩和

B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？

【答案】⑴20元

⑵购进4种口罩3500包,B种口罩2000包时,能使总费用最低，总费用最低是111000元.

【解析】

【分析】

⑴设这一批II罩平均每包的价格是x元，根据“每箱A种口罩比每箱8种II罩多10包，每箱A种口罩和每

箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种II罩和每包8种口罩的价格分别是这一批II罩平均

每包价格的0.9倍和1.2倍〃列分式方程解答即可；

(2)设购进A种口罩「包，这批口罩的总费用为卬元，根据题意得出卬与1的函数关系式，再根据，的取值范

围以及一次函数的性质解答即可.

(D

解：设这一批口罩平均每包的价格是工元,

630600⑺

根据题意得:----------=10,

0.9x1.2x

解得x=20,

经检验，x=20是原方程的解，并符合题意,

答：这一批口罩平均每包的价格是20元：

(2)

解：由⑴可知,A种口罩每包价格为20x0.9=18(元),

3种口罩每包价格为20x1.2=24(元)，

设购进A种口罩，包，这批口罩的总费用为w元，根据题意得:

丽⑻+24(5500-/)=-6/+132000,

团w是，的一次函数，k=-6<0,

加，随，的增大而减小，

由国$3500,

回当「=3500时，氏最小,

此时8种口罩有：5500-3500=2000（包）,vv=-6x3500+132000=111000,

答：购进A种口罩3500包,8种二I罩2000包时，能使总费用最低，总费用最低是111000元.

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确得出等量关系是解题关键.

5.（2022•江苏滨湖•八年级期末）小李在某网店选中4、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售.两款玩偶的

进货价和销售价如表：

类别价格A款玩偶B款玩偶

进货价（元/个）4030

销售价（元/个）5645

⑴第一次小李用I1（X）元购进了八、8两款玩偶共3（）个，求两款玩偶各购进多少个？

⑵第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过3款玩偶进货数量的一半，小李L划购进两款

玩偶60个.设小李购进A款玩偶小个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得

最大利润？并求W的最大值.

【答案】（1）A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；

⑵按照A款玩偶购进20个，8款玩偶购进40个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是920元.

【解析】

【分析】

⑴根据第一次购进30个，设A款玩偶购进/个，则4款玩偶购进（30j）个，再由用1100元购进了4,B两

款玩偶建立方程求出其解即可；

⑵根据第二次购进两款玩偶60个，设A款玩偶购进机个，则8款玩偶购进（60-刈个，获利W无，根据题意

可以得到利润与A款玩偶数量的函数关系，然后根据A款玩偶进货数量不得超过8款玩偶进货数量的一半，

可以求得4款玩偶数量的取值范闱，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利

润.

（1）

解：设人款玩偶购进x个，A款玩偶购进（30・x）个，

由题意可得,4（）A+30（30-A）=110G

解得，x=20

8款玩偶购进：30-20=10(个)

答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个.

⑵

解：设A款玩偶购进个，B款玩偶购进(60-〃?)个，获利W元，

由题意可得，w=(56-40)w+(45-30)(60-m)=m+9(X)

(M款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半

团〃?"；(60-〃。

回"忘20

0VV=w+900

0/1=1>0

团W随"7的增大而增大

团〃7=20时，吸大=920

她款玩偶有60-20=40(个)

答：按照A款玩偶购进20个，4款玩偶购进40个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是920元.

【点睛】

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用以及一次函数的运用，解答时由销售问题的数最关系求出一

次函数的解析式是关键.

6.(2021・山东北区•一模)六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，

比每个B品牌笔袋的进价多2元：若用3000元购进4品牌笔袋的数量，与用2400元购进8品牌笔袋的数

量相同.

⑴求每个人品牌笔袋和每个4品牌笔袋的进价分别是多少元；

⑵该商场计划用不超过7220元采购A、8两种品牌的笔袋共800个，且其中8品牌笔袋的数量不超过400

个，求该商场共有儿种进货方式；

(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个8品牌笔袋售价12元，在第(1)(2)问的前提下，不计其他因素，将

所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元.

【答案】(1)每个A品牌笔袋和每个8品牌笔袋的进价分别是10元、8元

⑵共有11种进货方式

(3)最大利润为4020元

【解析】

【分析】

(1)根据用3000元购进A品牌笔装的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同，可以列出相应的分式

方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；

(2)根据该商场计划用不超过7220元采购4、B两种品牌的笔袋共800个，可以得到相应的不等式，再根据

B品牌笔袋的数量不超过400个，即可得到该商场共有几种进货方式；

(3)根据题意，可以得到利润和人种笔袋数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到该商场可

以获得的最大利润为多少元.

(1)

解：设每个8品牌笔袋进价为x元，则每个A品牌笔袋进价为(工+2)元，

…30002400

由翅意可得，一-=——，

x+2x

解得：x=8,

经检验：x=8是原方程的解

.•.jr+2=10,

答：每个A品牌笔袋和每个。品牌笔袋的进价分别是10元、8元;

⑵

设购买A品牌笔袋机个，则购买B品牌笔袋(800-m)个，

由题意可得10加+8(800-w)W7220,

解得：〃?W410,

又・,・B品牌笔袋的数量不超过400个，

・・・800・〃忘400,

解得小24()0,

•••400W〃W410,

是整数，

400,401,402,…,410,

即该商场共有11种进货方式，

答：该商场共有11种进货方式；

(3)

)设商场可获得利润W元，

W=(16-10)/»|(12-8)X(800-w)=2〃八3200,

VA=2>0,

・・・w随〃?的增大而增大，

又•••400W，〃W410,

・•・当〃?=410时，W最大，此时W=2X410+3200=820+3200=4020,

答：该商场可以获得的最大利润为4020元.

【点睛】

本寇主要考查分式方程的实际应用、一元一次不等式解决实际问题、利用一次函数求最大利演问题等知识

点，根据已知信息列式并正确解答是作答此类问题的关键.

7.（2022•四川简阳•八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客

车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人.

⑴每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？

⑵若学校计划租用小客车，〃辆，大客车〃辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.

①请你设计出所有的租车方案；

②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出卬与/〃的关系式，根

据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金.

【答案】（1）每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人；

⑵①租车方案有三种：方案一：小客车8车、大客车1辆，方案二：小客车5辆，大客车3轲，方案三：

小客车2辆，大客车5辆：②租用小客车2辆，大客车5辆时炎用最小，最小费用为49500元.

【解析】

【分析】

⑴每辆小客车能坐〃人，每辆大客车能坐。人，根据“用1辆小客车和2,辆大客车每次可运送120人；用3

辆小客车和1辆大客车每次可运送135人〃列出方程组，再解即可；

⑵①根据题意可得小客车〃，辆运的人数+大客车〃辆运的人数=280+5,然后求出整数解即可；②根据题意

求出卬与机的关系式，再根据一次函数的性质解答即可.

（1）

设每辆小客车能坐。人，每辆大客车能坐〃人，根据题意，得:

«4-2/?=120

3。+沙=135'

。二30

解得：

〃=45

答：每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人;

(2)

①根据题意，得30〃?+45〃=280+5,

因为〃?，〃均为整数

/n=8=5m=2

所以解得：1或。或」

n=1〃=372=5

回租车方案有三种：

方案一：小客车8车、大客车1辆，

方案二：小客车5辆，大客车3辆，

方案三：小客车2辆，大客车5辆；

28530W

②根据题意，得W=6O()O/?7+75OOX~=1(X)OW+475OO,

45

0ICOO>O,

团卬随机的增大而增大，

(3当加=2时,W有最小值为：49500.

答：租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元.

【点睛】

此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程(组)的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关

系，列出方程.

8.[2022•山东城阳•八年级期末)七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，

国人掀起购物潮.我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子

按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元.

⑴该门店库存有上衣、裤子各多少件？

⑵售完这批库存后，该门店计划再次调进2000件上衣和裤子，其中裤子的数量不超过1200件，若该门店

还是按原获利方式卖，则如何分配这2000件商品可使获利达到最大值，最大盈利多少元？

【答案】⑴该门店库存有上衣800件,则有裤子650件

(2)再次调进800件上衣和1200件裤子，可使获利达到最大值，最大盈利136000元

【解析】

【分析】

(1)设该门店库存有上衣x件,则有裤子(1450-x)件，根据共可获利92000元得：50*80(145()㈤=92000,即可

解得答案；

⑵设这2000件商品可获利W元，上衣,〃件，则裤子(2000-〃?)件，根据裤子的数量不超过1200件得加2800,

而lV=-30/n+160000,根据一次函数性质可得答案.

【小题1】

解：设该门店库存有上衣K件，贝J有裤子(1450-x)件，

根据题意得:50x+80(I450-x)=92000,

解得x=800,

团有裤子1450*1450-800=650,

答：该门店库存有上衣800件，则有裤子650件；

【小题2】

设这2000件商品可获利W元，上衣〃?件，则裤子(2000-〃?)件，

田裤子的数量不超过1200件，

02COO-/n<12OO,

团〃2800,

根据题意得：W=50〃?+80(200()-M=-30〃?+160000,

H-30<0,

团W随m的增大而减小，

0/7?=800时，W定人=30x800+160000=136000(元)，

答：再次调进800件上衣和1200件裤子，可使获利达到最大值，最大盈利136000元.

【点睛】

本题考查一次方程与一次函数，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程和函数关系式.

9.(2022•浙江•九年级专题练习)在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60元，批发

一箱该种葡萄的利润是30元.

⑴已知该水果店元日放假三天卖H100箱这种葡萄共获利润3600元，求该水果店元旦放假三天零售、批发

该种葡萄分别是多少箱？(要求：列二元一次方程组解应用问题)

⑵现该水果店要经营1000箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200箱，请直接写出零售和批发

各多少箱时，才能使总利润最大？并直接写出最大总利润是多少元？

【答案】(1)零售该种葡萄20箱,批发该种葡萄80箱;

(2)当零售和批发各200箱，800箱时，总利润最大为36000元.

【解析】

【分析】

⑴零售该种葡萄X箱，批发该种葡萄y箱，根据葡萄总共100箱，和共获利润3600元，建立二元一次方程

组，求解即可；

⑵设零售该种葡萄〃箱，则批发该种葡曲(1000・。)箱，利润为W元，可以用〃表示W,根据一次函数的增

减性可解答.

(I)

设零售该种葡萄x箱，批发该种葡萄)，箱，由题意可得，

x+y=100

'60x+30y=3600'

(3零售该种葡萄20箱，批发该种葡萄8()箱；

(2)

设零售该种葡萄〃箱，则批发该种葡萄(1000-。)箱，利润为W元，

由题意可得，卬=60a+30(1000-a)=3Oa+3OOOO,

030>0,

因W随。的增大而增大，

又取E200,

回当〃=200时，利润最大为30x200+30000=36000,

此时1000-200=800(箱)，

回当零售和批发各200箱，80()箱时，总利润最大为36000元.

【点睛】

考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系列

出对应的方程组，最值问题利用函数的递增情况解决.

10.(2022•浙江•九年级专题练习)现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们口常的生产生活中，比如：

无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等.某快递公司为了提高工作效率，计划购买A,8两种型

号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台4型机器人和

2台B型机器人每天共搬运货物450吨.

⑴求每台4型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

⑵每台A型机器人售价3万元，每台8型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A,8两种型号的机器人共

20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A,8两种机器人分别采购

多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

【答案】(I)每台人型机器人每天搬运货物100吨，每台8型机器人每天搬运货物75吨；

(2)人、B两种机器人分别采购1()台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元.

【解析】

【分析】

⑴设每台A型机器人每天搬运货物x吨，根据“每台A型机器人比每台8型机器人每天多搬运25吨，并且3

台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨"列方程组解答即可；

⑵题目中的不等关系是：厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，等量关系是：总费用=4型机器费用

型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决.

(1)

解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台3型机器人每天搬运货物,，吨，根据题意得：

x-y=25

3%+2），=450

x=100

解得：

y=15

则每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨：

⑵

设：A种机器人采购机台，B种机器人采购(20-,〃)台，总费用为w(万元)，根据题意得：〃之10；

w=3m+2.5(20-m)=0.5/n+50.

00.5>0,

团体随着m的减少而减少.

团当机=10时，w有最小值，卬欠小=0.5x10+50=55.

M、8两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元.

【点睛】

考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系列

加对应的方程组，最值问题来利用函数的递增情况解决.

11.(2022•山东莱芜•八年级期末)某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”

经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果.某超市从该示范园第一次用300元购进甲种水果，300元

购进乙种水果.乙种水果的进价是甲种水果进价的1.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多100.

⑴求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？

(2)第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100

千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍.若甲种水果的售价为13元/千克，乙种水果的售价

为20元/千克，超市购进两种有机水果各多少千克时第二次获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】(1)甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克

⑵超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元

【解析】

【分析】

⑴根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多10小，可以列

出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；

⑵根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果

质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值.

(1)

设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为L5x元/千克，根据题意得，

300300，八

----------------=10,

x1.5.r

解得x=10,

经检验：x=10是原分式方程的解，

0l.5x=15,

答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克；

⑵

设购进甲种水果。千克，则购进乙种水果(100-〃)千克，利润为卬元，

由题意可得：卬=(13・10)"(20-15)(100-a)=-虫+500,

团w随。的增大而减小，

因甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，

0^3(100-67),

解得心75,

自当4=75时，卬取得最大值,此时w=350,100-4=25,

答：超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元.

【点睛】

本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分

式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值.

12.(2021•广东•东莞市南开实验学校一模)某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华

为手机的台数和用60000元采购8型华为手机的台数一样，一台4型华为手机的进价比一台8型华为手机

的进价多800元.

⑴求一台48型华为手机的进价分别为多少元？

(2)若手机店购进48型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于8型华为手机的台数，

且不小于20台，已知A型学为手机的售价为4200元台，8型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出,

手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利涧，求出最大利涧.

【答案】(1)•台4B型华为手机的进价分别为3200元，2400元

⑵购进A、8型华为手机各30台,最大利润为42000元

【解析】

【分析】

⑴设B型华为手机的进价为x元，则A型华为手机的进价为(x+800)元，由题意得竺黑=再丝，计算

x+800x

求解即可；

⑵设购买A型华为手机x台，则8型华为手机为60-x台，由题意知二,解得x的取值范围，利润

x<60-x

W=xx(42(X)—32(X))+(60—x)x(28(X)—24(X)),在x的取值范围，求卬的最大值即可.

(1)

解：设8型华为手机的进价为x元，则A型华为手机的进价为(x+800)元

…★/曰8000060000

由题底、得——-=-----

JV