江苏省高邮市高三下学期第一次联考数学试题

高邮市高三2024~2025学年第二学期第一次联考高三数学2025.2.28一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的描述，应用集合的交运算求集合即可.【详解】由.故选：D2.已知复数z与复平面内的点对应，则（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数对应点写出复数，再应用复数的除法运算化简，即可得答案.【详解】由题设，则.故选：C3.已知、，且，则的最小值是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为、，且，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.4.在二项式的展开式中，含项的系数为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】二项式的展开式通项为，令，解得，所以，展开式中含项的系数为.故选：D.5.已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】设与的夹角为，则，得，，.故选：B.6.已知函数，若在区间内恰好存在三个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】问题化为且上恰好存在三个不同的根，结合余弦函数的性质列不等式求，进而确定最小正周期的范围，即可得答案.【详解】由题设且上恰好存在三个不同的根，结合余弦函数的图象及性质知，，可得，所以最小正周期为.故选：A7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解.【详解】如图，延长交的延长线于点，由于是的角平分线上的一点，且,所以点为的点，所以,又为的中点，所以，故，故，即，将点代入可得，解得，故离心率为，故选：C.8.已知函数，若存在，使得，则实数取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知不等式变形为，构造函数，其中，分析函数的单调性，可得出，进而可得，由参变量分离法得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】由题意可知，，，由，可得，可得，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，则，可得，令，其中，则，当时，，即函数在上递减，当时，，即函数在上递增，所以，，即实数的取值范围是.故选：D.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（）A. B.事件A与事件B为独立事件C. D.事件B与事件C为互斥事件【答案】AB【解析】【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D.【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确；对于B：因为，，，所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确；对于C：因为，故C错误；对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误，故选:AB10.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（

）A.数列为等差数列B.数列为等比数列C.D.若，则数列的前项和【答案】BCD【解析】【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，利用分组求和法可判断C选项；利用错位相减法结合分组求和法可判断D选项.【详解】因为数列的前项和为，且满足，，，对于A选项，由已知等式变形可得，且，所以，，所以，数列是首项和公比均为的等比数列，故，A错；对于B选项，由已知等式变形得，且，所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，B对；对于C选项，由可得，所以，，C对；对于D选项，，记，则，这两个等式作差得，所以，，故，D对故选：BCD.11.如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（

）A.当为靠近D的三等分点时，异面直线与所成角的余弦值为B.存在点G，使得平面CEFC.点B到平面CEF的距离是D.过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，根据向量法逐个证明计算即可.【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，且，，分别是棱，的中点，则各点坐标为：，，，.设，.

对于选项A，当为靠近的三等分点时，，即.则，.设异面直线与所成角为，...所以，选项A正确.

对于选项B，，，设平面的法向量为.则，即，令，则，，所以.，若平面，则与平行，但，则不存在点，使得平面，选项B错误.

对于选项C，由上述已得平面的法向量，.根据点到平面的距离公式...所以，选项C正确.

对于选项D，长方体的体对角线长为，则长方体外接球的半径，球心为长方体体对角线的中点，坐标为.，.当截面（为截面圆心）时，截面面积最小，此时为球心到直线的距离.设方向上的单位向量为.则，，，.所以截面半径.截面面积，选项D正确.

故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据两角差的正弦公式展开之后，对等式两边平方，结合二倍角公式求解.【详解】由题意，，即，两边平方结合二倍角公式可得，即.故答案为：13.点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】令且，进而求坐标，即可得，应用两点距离公式及基本不等式求的最小值.【详解】令且，则，又抛物线的准线为，所以，故，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故答案为：214.已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为________________.【答案】5【解析】【分析】由题可得有对称轴为轴，对称中心，然后在同一坐标系中画出与图象，即可得答案.【详解】函数的图象是中心对称图形，对称中心为.定义在上的偶函数满足，则函数有对称轴为轴，对称中心；又当时，，当时，，解得，由题意可得，而.所以，两函数图象无交点，在同一坐标系在内作出与的图象，当，，令，则，且，所以存在，使得当时，，单调递增，所以当时，，即，结合图象可得，与图象有5个交点，又均是与的图象的对称中心，则两函数所有交点的横坐标之和为5.故答案为：5.【点睛】方法点睛：根据函数关系，做出两函数的图象，结合对称性求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角、、所对的边为、、，已知.（1）求角的值；（2）若为边的中点，且，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的可得出角的值；（2）由题意可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算性质得出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】由余弦定理可得，因为，故.【小问2详解】在中，因为为边的中点，所以故，即，所以，，即解得或（舍），所以.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可得、，应用线面垂直的判定和性质证得，再由，及线面垂直的判定证明结论；（2）根据已知构建空间直角坐标系，再应用向量法求二面角的余弦值，进而求正切值.【小问1详解】在菱形中，，则为正三角形，又为线段的中点，则，即，由平面平面，则，又平面，则平面，又平面，则，由为线段的中点，则，又平面，所以平面.【小问2详解】由（1）及线面垂直的性质知，，且，易知，则，如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，得，设为平面的法向量，由，令，则，即，易知为平面的法向量，则，由图知，二面角为锐二面角，其余弦值为，故正切值.17.近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表：购买手机购买不带的手机总计男性顾客女性顾客总计（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？（2）为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望.参考公式：，.【答案】（1）有关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用表格中的数据求出的观测值，结合临界值表可得结论；（2）由题意可知，随机变量可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的期望值.【小问1详解】，所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为购买AI手机与顾客的性别有关.【小问2详解】根据题意，随机变量可能取值为：、、、、，，，，，，所以，随机变量的分布列为所以，随机变量期望.18.已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上.（1）求的方程；（2）若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值；（3）若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明：【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程；（2）由题意可知，直线不与轴重合，设直线方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得面积的最大值；（3）按直线的斜率是否为分类，在不为时设出方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合共线向量的坐标运算推理得证.【小问1详解】在直线方程中，令，得，即上顶点，则，令，得，即，则，所以的方程为.【小问2详解】若直线与轴重合，则直线经过点，不合乎题意，设直线的方程为，联立得，，设点、，由韦达定理可得，，所以，，于是，令，令，其中，由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，当时，即当时，取最小值，此时，的面积取最大值，且其最大值为.【小问3详解】当直线的斜率为时，不妨记、，而，由，得，则，因此；当直线的斜率不为时，设、、，设直线的方程为，由消去得，则，，由韦达定理可得，，如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即，显然，设，即，于是，由点在直线上，得，则，整理得，于是，因此，，所以.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围；（3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）求导，结合函数的定义域，分情况讨论导函数的符号，分析函数的单调性.（2）首先问题转化为与函数（）的图象有两个交点，再利用导数分析函数的单调性、极值，可得的取值范围.（3）假设满足条件的点存在，则问题可以转化成函数（）存在零点的问题.求导，分析函数单调性，判断函数的零点存在情况即可得到结论.【小问1详解】因为，，所以，.因为，所以.所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数；若，由；由.所以函数在上递减，在上递增.综上：当时，在为增函数；当时，在上递减，在上递增.【小问2详解】设切点，切线