北师大版初中数学七年级下册《轴对称现象与性质》第一课时学历案

北师大版初中数学七年级下册《轴对称现象与性质》第一课时学历案

一、课标要求

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7—9年级）“图形与几何”领域内容要求，本课时落实如下具体标准：通过具体实例认识轴对称现象，理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念；探索并掌握轴对称的基本性质，能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。课标在“学业要求”中特别强调：经历折纸、画图、测量等操作活动，积累数学活动经验，发展空间观念、几何直观和推理意识。本设计严格对标上述要求，将抽象的概念形成与性质发现植根于学生的主体实践，确保学习历程既“接地气”又“有高度”。

二、教材分析

本课是北师大版七年级下册第五章“生活中的轴对称”第一节第一课时，在整套教材中具有“承上启下”的枢纽地位。小学阶段学生已能从直观层面辨认对称图形，本课将这种直观经验升华为严格的数学定义；同时它又是后续学习等腰三角形、轴对称与坐标变化、图形变换与设计乃至初中几何证明的逻辑起点。教材编排了“观察—操作—归纳—应用”四阶递进路径，提供了风筝、蝴蝶、天安门等丰富的生活素材，并专门设置了“议一议”“做一做”栏目。本设计将教材静态文本转化为动态学历案，重点强化概念辨析【非常重要】【高频考点】、性质发现【难点】【核心】与作图规范【重要】三个支点，打通生活原型与数学原理之间的通道。

三、学情分析

知识断层与认知起点：七年级学生已经具备“对折后两边一样”的朴素认知，能说出部分轴对称图形，但从未从数学本质上定义对称轴、对称点，对“无限延伸的直线”“完全重合”缺乏精准理解；对于“两个图形轴对称”与“轴对称图形”这两个极易混淆的概念，学生普遍存在“含糊混用”的现象【易错点】。

能力优势与思维瓶颈：本年龄段学生好奇心强、乐于动手，折纸、画图活动参与度高，但抽象概括能力仍处于“具体运算向形式运算”过渡的阶段，尤其是“对称轴垂直平分对应点连线”这一性质，学生能通过测量感知“垂直”和“相等”，却很难自发归纳为“垂直平分”这一严谨的几何关系【难点】。因此教学必须提供充足的感性素材，并在小组汇报时通过追问将学生的生活语言“往上提一提”，凝练为数学符号语言。

四、学习目标

1.通过观察生活中的对称图片及动手折纸活动，能准确说出轴对称图形和两个图形成轴对称的定义，并会判断常见平面图形是否为轴对称图形，指出对称轴条数。【基础】

2.经历在方格纸、白纸上画对称点、对称图形的操作，能用三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）描述轴对称的基本性质，理解“对称轴垂直平分对应点连线”是轴对称最本质的特征。【非常重要】【难点】

3.运用轴对称性质解决两类基本问题：已知对称轴和一个点，能尺规作出其对称点；已知轴对称图形的一半，能补全另一半。【重要】【高频考点】

4.在小组合作与图案设计活动中，感受数学对称之美，发展几何直观、空间观念和初步的模型意识。

五、评价任务

1.对应目标1：完成学历案“概念辨析”板块，独立填写轴对称图形与两个图形成轴对称的异同表格（以段落式问答呈现），正确率不低于90%。

2.对应目标2：小组合作完成实验报告单，准确归纳轴对称的两条性质，并能用“因为……所以……”的句式进行符号化表达，小组互评达标率100%。

3.对应目标3：限时5分钟完成当堂检测中的作图题，能规范作出点的对称点及三角形的对称图形，作图步骤清晰、痕迹保留，优秀率达80%以上。

4.对应目标4：课堂观察学生参与创意设计的投入度，课后收集20份以上具有原创性的轴对称图案设计，并在班级文化墙展出。

六、教学重难点

重点：轴对称图形与两个图形成轴对称的概念辨析；轴对称的基本性质。【非常重要】

难点：从实验操作中抽象概括出“对称轴垂直平分对应点连线”，并将这一性质自觉地应用于作图与推理。【难点】

七、教学准备

教具：几何画板5.0课件（预设动态翻折、对称点生成动画）、轴对称现象主题图库（含20幅高清图片）、彩色卡纸、磁性剪刀、大号方格贴膜黑板。

学具：每人一张印有虚线对称轴的方格纸、一把直尺、一个量角器、一支铅笔、一块橡皮；每组一个学具袋（内含蝴蝶、飞机、枫叶、普通平行四边形纸片各一，印泥，白纸两张）。

环境：前置布置学生拍摄身边的对称现象，课初以“班级对称摄影展”形式快速浏览。

八、教学过程（总50分钟）

（一）创设情境，唤醒经验——3分钟

师：上课前我们先来欣赏一组同学们自己拍摄的照片。（多媒体自动轮播学生课前提交的校园对称景物：窗户、黑板、讲桌、蝴蝶结、篮球场中线等）

生：发出惊叹，互相辨认拍摄者。

师：这些照片中藏着同一个数学秘密，谁发现了？

生1：它们都是对称的。

生2：从中间分开，两边一样。

师：这种“沿一条直线折叠，两边完全重合”的现象，就是我们今天要研究的——轴对称。（板书：轴对称及其性质）

【设计意图】使用本班学生拍摄的生活素材，瞬间拉近数学与个体的距离；从“对称”日常语汇切入，自然过渡到学科术语，实现无缝衔接。

（二）自主探究，精准建模——13分钟

1.轴对称图形——从操作到定义【基础】【非常重要】

师：每组桌上有蝴蝶、飞机、枫叶等卡片，请选一个对折，仔细观察折痕两侧。

（学生动手，教师巡视：提醒对折时边缘对齐，用手指压实折痕）

生3：我们折了蝴蝶，两边翅膀完全重合。

生4：枫叶对折后，叶子边缘也对上了。

师：数学上，像这样沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线是对称轴。（板书定义，红色粉笔标注“完全重合”“一条直线”）

即时性反例嵌入：教师举起平行四边形纸片，问：它是对称图形吗？学生动手折后发现无论怎么对折都不重合，个别学生提出“菱形可以”，教师肯定并强调今天我们研究一般情况，平行四边形不是轴对称图形。【高频考点】【易错点】

2.两个图形成轴对称——从整体到关系【重要】

师：刚才我们研究的是一个图形的对称。现在请看大屏幕。（几何画板动态演示：△ABC与△A'B'C'分别位于直线l两侧，三角形整体沿l翻折，两个三角形完全咬合）

生5：两个图形也重合了。

师：对，如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴，重合的点是对应点，也叫对称点。（板书）

3.概念辨析——临界点突破【非常重要】【高频考点】

师：轴对称图形和两个图形成轴对称是一回事吗？小组讨论，用一句话说清它们的区别。

（讨论热烈，3分钟后代表发言）

生6：轴对称图形只有一个图形，成轴对称有两个图形。

生7：轴对称图形的对称轴可以在图形内部，成轴对称的对称轴在两个图形之间。

师：说得真好！它们又有联系——（边说边用几何画板将成轴对称的两个三角形组合成一个多边形，再沿原轴分开）把成轴对称的两个图形看作整体，它就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴切开，就得到两个图形成轴对称。

此时教师要求学生在学历案空白处用自己最喜欢的图式（圆圈图、气泡图）记录这一转化关系，2分钟后同桌交换解读。

【设计意图】通过“折—看—辨—画”四步，使抽象概念附着于具体动作与图示；刻意设置平行四边形反例，击穿“对称天然合理”的错误直觉；利用几何画板分合动画，将辨析从静态对比推向动态生成，学生眼神发亮，理解入木三分。

（三）合作实验，发现性质——16分钟

1.点的对称实验【难点】【非常重要】

任务驱动：请每位同学在方格纸上任取一条对称轴（提前印好虚线）和一个点A（点在轴一侧），试着画出点A关于轴的对称点A'。完成后连接AA'，用三角尺和量角器测量AA'与对称轴的位置关系，并量出点A、A'到对称轴的格距。

（学生独立操作，教师巡回捕捉典型资源：点恰好在轴上、点在轴一侧、点在轴上方远处）

小组汇总数据，填入学历案实验报告单：

第一组：AA'与对称轴相交成直角，都是90°。

第二组：A到轴2格，A'到轴也是2格；A到轴3.5格，A'也是3.5格。

师：谁能把大家的发现合并成一句话？

生8：对称轴和对应点的连线互相垂直，并且对应点到对称轴的距离相等。

师（提升）：数学上，这种“垂直且平分”的关系称为“垂直平分”。所以轴对称的第一个性质是——对应点所连线段被对称轴垂直平分。（板书，并标注“本质性质”）

2.图形的对称实验【重要】

师：如果给的不是一个点，而是一个三角形呢？在方格纸上完成作图，并观察原图与对称图中的线段、角有什么关系。

（学生动手，部分学生先画顶点对称点再连线，部分学生尝试整体平移——出现错误时教师引导回顾“对应点”定义）

生9：AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'。

生10：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。

师：对应线段相等，对应角相等——这就是轴对称的第二条性质。（板书）

3.符号化表达——从生活语到数学语

教师在黑板板演规范几何语言：

∵△ABC与△A'B'C'关于直线l轴对称，

∴l⊥AA'，垂足为O，且AO=A'O；

AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；

∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。

学生齐读，并在学历案上将刚才实验的图形用字母标注，仿写符号语言。

【设计意图】将一条性质分解为“点—线段—图形”三层实验，层次清晰；测量数据汇总是归纳的前提，所有结论均由学生亲历得出，而非教师告知；符号化书写是七年级学生从直观几何走向论证几何的关键台阶，此处不惜时、不走过场。

（四）例题示范，规范作图——9分钟

例1教材P115例1（轴对称图形中寻找相等元素）

师：请先独立观察，在图上标注，再与同桌交流。

（学生活动，教师板书示范如何表述：因为五边形ABCDE是轴对称图形，MN是对称轴，所以点B与点E是对应点，因此AB=AE，BC=ED，∠B=∠E……）

强调：必须说清谁和谁对应，切忌胡乱连线。【基础易错】

例2尺规作已知点的对称点【重要】【高频考点】

师：这是后续所有作图的基本功，请看清每一步。

教师板演（规范使用三角板）：

（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；

（2）在垂线上截取OA'=OA，点A'即为所求。

师追问：为什么这样画？依据是什么？

生11：因为对称轴垂直平分对称点的连线，所以垂足是中点，且AO=A'O。

师：这正是性质的逆向应用。

学生模仿练习：在白纸上画水平线、竖直线、斜线，分别作出已知点的对称点，组内互评，重点关注“垂直”是否用三角板推得标准，“截取”是否用圆规或刻度尺量准。

（五）变式进阶，思维攀升——11分钟

1.补全轴对称图形

呈现：在3×4方格中，画出轴对称图形的另一半（图形分别为房屋轮廓、火箭简图）。

学生独立完成，一名学生利用白板触屏直接拖动对称点，全班观察拖点顺序：先确定关键点（顶点）的对称点，再连线。

2.最短路径启蒙【热点】【拓展】

故事化引入：将军从军营A出发，到河边l饮马，然后返回军营B。在河边哪个位置饮马，总路程最短？

学生小组借助几何画板拖动饮马点，观察路径长度变化。当对称点A'出现，连接A'B与l相交时，学生自发鼓掌。

师：这正是运用了轴对称性质，将折线问题转化为两点间线段最短。这个模型叫“将军饮马”，我们将在后续专题中深入探究。

3.创意设计赛

要求：在方格纸上设计一个轴对称图案，并用一句话介绍你的创意。

学生当堂完成，优秀作品实时拍照上传屏幕。展示作品：“对称花瓶”“牵手小人”“平衡鸟”……师生共同点评对称轴选在何处、对应点是否准确。

【设计意图】从模仿作图到创意设计，既巩固技能又放飞想象；“将军饮马”点到为止，为优秀生打开一扇窗，同时不加重全体负担。

（六）网状小结，建构系统——4分钟

师：请用“今天我知道了……我学会了……我还想研究……”句式总结。

生12：今天我知道了轴对称图形和成轴对称不是一回事，但可以转化。

生13：我学会了画对称点和对称图形，关键是作垂线截相等。

生14：我还想研究圆有几条对称轴，还有没有不是直线的对称轴。

师：（展示预先准备的思维导图主干）我们将大家的智慧汇聚成网。

板书延伸出：概念网（轴对称图形↔成轴对称），性质网（垂直平分+全等），应用网（作图+最短路径+图案设计），思想网（对称、转化、模型）。

（七）当堂检测，精准反馈——4分钟

检测题分层呈现：

A层（基础）：下列图形中，不是轴对称图形的是（

）——备选：等边三角形、平行四边形、圆、等腰梯形。

B层（核心）：如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD=3，BC=4，则AD的长为____。

C层（挑战）：在2×2方格中已有一个△ABC，请再画一个格点△A'B'C'，使它与△ABC关于某条直线成轴对称（至少画出两种不同对称轴的方案）。

学生独立作答，教师巡视，统计正答率：A层98%，B层85%，C层60%（C层不要求全体完成）。针对B层暴露问题——部分学生将AD误认为对应边，教师立即用几何画板还原对称轴，点明对应关系。

九、板书设计

左区（概念与性质）：

轴对称及其性质

一、定义

1.轴对称图形（一个图形）

2.两个图形成轴对称（两个图形）

3.区别与联系（整体与局部，可转化）

二、性质

4.对应点所连线段被对称轴垂直平分——本质

5.对应线段