福建省百校高三上学期12月联合测评试题数学

福建省百校高三上学期12月联合测评数学试题一、单选题1．复数的实部为（

）A． B． C．3 D．12．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．33．函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．5．如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（

）A．3 B． C． D．6．如图，在边长为的正方形中，边，的中点分别为，，现将，，分别沿，BC，CA折起，使得点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥．若三棱锥的外接球的表面积为，则（

）A． B． C．2 D．7．已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（

）A．10 B．11 C．12 D．138．已知函数是定义在R上且单调递减的奇函数，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，则（

）A． B．C． D．10．已知函数，则（

）A．函数的图象在点处的切线方程为B．函数的最小值为1C．当时，若，则D．若且，则11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的左、右焦点分别为，．过原点的直线在第一象限与椭圆，分别交于，两点，则（

）A．椭圆的离心率相等 B．椭圆的长轴长与椭圆的焦距相等C． D．三、填空题12．已知向量，，若，则．13．已知且，则的最大值为．14．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为．四、解答题15．已知是等差数列的前项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和为．16．如图，在正方体中，E是的中点，点P是直线上的一点，且平面．(1)请确定点P的位置；(2)求平面与平面的夹角的正弦值．17．已知函数．(1)求函数在区间上的值域；(2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围．18．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点是抛物线上的动点（点P不在x轴上）．当时，．(1)求抛物线的标准方程；(2)若的角平分线与y轴相交于点，直线PQ与抛物线C的准线相交于点T．（ⅰ）求的值；（ⅱ）证明：．19．设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是．(1)若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围；(2)当，时，证明：；(3)在中，求的最大值．

参考答案1．C【详解】因为，所以复数的实部为.故选：C2．D【详解】由，即，解得，所以，则，又，“”是“”的充分不必要条件，所以真包含于，所以，结合选项可知D正确.故选：D3．B解：函数f（x）=x+lnx﹣2在定义域上单调递增，f（1）=1﹣2＜0，f（2）=2+ln2﹣2＞0，故函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是（1，2）；故选B．4．B【详解】双曲线即，又虚轴长为，所以，则双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B5．C【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形，所以，，又，所以，又，在中由余弦定理，即.故选：C6．B【详解】设三棱锥外接球的半径为，因为三棱锥的外接球的表面积为，所以，解得，依题意、、两两互相垂直，且，，所以，即，解得（负值已舍去）.故选：B7．A【详解】设等比数列的公比为，则，所以，又，，所以，，当时，当时，所以当时，所以当时正整数的最大值为.故选：A8．D【详解】因为函数是奇函数，因此有，故.，因为，故，又因为，故，综上，，又因为函数在R上单调递减，故有，即.故选：D.9．BD【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为、，所以，故D正确.故选：BD10．BC【详解】.对于A：，故函数的图象在点处的切线方程为，整理得，故A错误；对于B：易知与均在上单调递增，故在上单调递增，又因为，故当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，因此在处取得最小值，，因此函数的最小值为1，故B正确；对于C：由B可知，在上单调递增，而，故由可得，在平面直角坐标系中绘制出与，结合图象可知，两个函数交于点与点，且当时，；当时，；当时，.因此，结合图象，由，可解得，故C正确；对于D：要证，即证，又因为在上单调递增，故即证，又因为，故即证.构造函数，则，当且仅当时，等号成立，因此，即在上单调递增.又因为，故当时，，即.又因为，故，无法得出，故D错误.故选：BC.11．ABD【详解】对于A：设椭圆，的离心率分别为，由椭圆离心率公式可知，，，故A正确；对于B：由题可知，椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，故B正确；对于C：设直线，联立方程，得，得，故；联立方程，得，解得，故，因此，故C错误；对于D：易知，椭圆的焦距，椭圆的焦距，故，则.，，因此有，即.同理可证得，即，因此可得.，，故D正确.故选：ABD.12．/0.5【详解】因为向量，，所以.因为，所以，所以，解得.故答案为：.13．【详解】因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故答案为：14．【详解】设，由可得，两边平方后，整理得，因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆.故直线上存在点满足等价于圆与直线有交点，因此圆心到直线的距离，两边平方后，整理得，解得或.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，有，故数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以，则，两式作差得，所以.16．(1)；(2)【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，设，则，，因为平面，所以，，故，解得，所以点P的坐标为；（2），，设平面的一个法向量为，则，设得，故，显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角的大小为，则，所以，故平面与平面的夹角的正弦值为.17．(1)(2)【详解】（1）函数．所以.因为，所以，所以.令，根据二次函数的性质，在上单调递减，所以.因为，.所以在区间上的值域为.（2）令，则，所以.列出零点为，因为函数在区间上有4个零点，所以，解得.所以的取值范围为.18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）抛物线的准线方程为，由点在抛物线上，所以，可得，又，则，所以，可得，故抛物线的标准方程为.（2）（ⅰ）由（1）可得，准线方程为，由点在抛物线上，有，当时，解得，不妨取，此时的角平分线为，令可得，即，此时，同理取也可得到；当时，可得直线的方程为，又由的角平分线与轴交于点，可得，且点到轴的距离与到直线的距离相等.可得，有，有，有，有，有或，可得或，又由，可得，故；综上可得；（ⅱ）当时取，此时，所以的方程为，即，由，解得，即，显然满足；当时，由（ⅰ）可得，可得直线的方程为，整理为；又由抛物线的准线方程为，代入到直线的方程，可得，可得点的坐标为；直线的斜率，又由，所以；综上可得.19．(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为，则，所以对任意的恒成立，所以，令，其中，则，由可得，由可得，所以