(2025年)统计学第六章课后题及答案解析

(2025年)统计学第六章课后题及答案解析一、选择题1.某企业声称其产品的平均使用寿命不低于5000小时，为验证这一说法，随机抽取25件产品测试，样本均值为4800小时，标准差为600小时。若显著性水平α=0.05，采用单样本t检验时，原假设与备择假设应设定为（）A.H₀:μ≥5000；H₁:μ<5000B.H₀:μ≤5000；H₁:μ>5000C.H₀:μ=5000；H₁:μ≠5000D.H₀:μ=5000；H₁:μ>50002.在假设检验中，若增大样本量，其他条件不变，则（）A.第一类错误概率α增大，第二类错误概率β减小B.第一类错误概率α减小，第二类错误概率β增大C.第一类错误概率α不变，第二类错误概率β减小D.第一类错误概率α和β均减小3.对两个独立样本的均值进行t检验时，若两总体方差未知且不等，应采用（）A.合并方差的t检验（Pooledt-test）B.韦尔奇t检验（Welch'st-test）C.Z检验D.卡方检验4.若某假设检验的p值为0.03，显著性水平α=0.05，则结论为（）A.拒绝原假设，犯第一类错误的概率为3%B.不拒绝原假设，犯第二类错误的概率为3%C.拒绝原假设，犯第一类错误的概率不超过5%D.不拒绝原假设，犯第二类错误的概率不超过5%5.配对样本t检验与独立样本t检验的本质区别在于（）A.样本量大小不同B.数据是否来自同一总体C.是否考虑样本间的相关性D.检验统计量的分布不同二、简答题1.简述假设检验的基本步骤。2.说明t检验与Z检验的适用条件差异。3.解释“p值”的统计学意义，并说明其与显著性水平α的关系。4.在双样本均值检验中，为何需要先进行方差齐性检验？三、计算题1.单样本t检验：某地区去年新生儿平均体重为3.2kg，今年随机抽取49名新生儿，测得平均体重为3.4kg，标准差为0.5kg。假设体重服从正态分布，α=0.05，检验今年新生儿平均体重是否显著高于去年。2.双样本独立t检验（方差齐）：为比较两种教学方法的效果，分别从采用方法A和方法B的班级中随机抽取16名和25名学生，测得数学成绩如下：方法A：均值82分，标准差6分方法B：均值78分，标准差5分假设两总体方差相等且服从正态分布，α=0.05，检验两种方法的平均成绩是否有显著差异。3.双样本独立t检验（方差不齐）：某工厂生产两种型号的电池，随机抽取型号X的10节电池，均值寿命为240小时，标准差15小时；型号Y的8节电池，均值寿命为220小时，标准差20小时。假设两总体方差不等且服从正态分布，α=0.05，检验两种型号电池的平均寿命是否有显著差异。4.配对样本t检验：为研究某药物对降低血压的效果，对10名高血压患者治疗前后的收缩压（mmHg）进行测量，数据如下：治疗前：150,160,155,165,170,158,162,168,172,156治疗后：140,152,148,158,160,150,155,160,165,145α=0.05，检验该药物是否能显著降低收缩压。答案及解析一、选择题答案1.A解析：企业声称“不低于5000小时”，即μ≥5000，检验时原假设应包含等号，备择假设为μ<5000（左侧检验）。2.C解析：增大样本量会提高检验效能（1-β），因此第二类错误概率β减小；第一类错误概率α由显著性水平决定，与样本量无关。3.B解析：方差未知且不等时，合并方差的t检验不再适用，需用韦尔奇t检验调整自由度。4.C解析：p值=0.03<α=0.05，拒绝原假设；第一类错误概率为α（5%），p值是实际观测到的显著性水平，不超过α。5.C解析：配对样本通过匹配消除个体差异（如同一对象治疗前后），数据间存在相关性；独立样本无此关联，需分别考虑两个样本的变异。二、简答题答案1.假设检验的基本步骤：（1）建立原假设H₀和备择假设H₁；（2）确定显著性水平α；（3）选择合适的检验统计量并计算其值；（4）确定拒绝域或计算p值；（5）根据检验统计量与拒绝域的关系或p值与α的比较，做出统计决策。2.t检验与Z检验的适用条件差异：Z检验：总体方差已知，或总体方差未知但样本量较大（n≥30），此时可用样本方差代替，检验统计量服从标准正态分布。t检验：总体方差未知且样本量较小（n<30），检验统计量服从t分布（自由度n-1或根据情况调整）。3.p值的统计学意义及与α的关系：p值是在原假设H₀成立的条件下，观测到样本统计量或更极端值的概率。它反映了样本数据与原假设的矛盾程度：p值越小，越倾向于拒绝H₀。关系：当p≤α时，拒绝H₀；当p>α时，不拒绝H₀。α是预先设定的显著性水平（如0.05），表示允许犯第一类错误的最大概率；p值是实际计算出的显著性水平。4.双样本均值检验中先进行方差齐性检验的原因：若两总体方差相等（方差齐），可采用合并方差的t检验（Pooledt-test），此时检验效能更高；若方差不等（方差不齐），需采用韦尔奇t检验（Welch'st-test），其通过调整自由度来修正方差不齐的影响。若未检验方差齐性而直接使用错误的检验方法，可能导致结论偏差（如错误拒绝或接受原假设）。三、计算题答案及解析1.单样本t检验（1）假设设定：H₀:μ≤3.2（今年平均体重不高于去年）；H₁:μ>3.2（今年平均体重更高，右侧检验）。（2）检验统计量：t=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(3.4-3.2)/(0.5/√49)=0.2/(0.5/7)=0.2×14=2.8。（3）自由度df=n-1=48，查t分布表（α=0.05，单侧），临界值约为1.677。（4）决策：t=2.8>1.677，落在拒绝域内，拒绝H₀。结论：在α=0.05下，今年新生儿平均体重显著高于去年。2.双样本独立t检验（方差齐）（1）假设设定：H₀:μ₁=μ₂（两种方法无差异）；H₁:μ₁≠μ₂（双侧检验）。（2）方差齐性检验（此处题目已假设方差相等，可省略）。（3）合并方差s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(15×36)+(24×25)]/(16+25-2)=(540+600)/39=1140/39≈29.23。（4）检验统计量t=(x̄₁-x̄₂)/[s_p√(1/n₁+1/n₂)]=(82-78)/[√29.23×√(1/16+1/25)]=4/[5.406×√(0.0625+0.04)]=4/[5.406×0.320]=4/1.730≈2.31。（5）自由度df=n₁+n₂-2=16+25-2=39，查t分布表（α=0.05，双侧），临界值约为2.023。（6）决策：|t|=2.31>2.023，拒绝H₀。结论：两种教学方法的平均成绩有显著差异。3.双样本独立t检验（方差不齐）（1）假设设定：H₀:μ_X=μ_Y；H₁:μ_X≠μ_Y（双侧检验）。（2）方差齐性检验（F检验）：F=s₁²/s₂²=15²/20²=225/400=0.5625，分子自由度df₁=9，分母自由度df₂=7，查F分布表（α=0.05，双侧），临界值约为4.82（上侧）和1/4.82≈0.207（下侧）。0.5625在0.207~4.82之间，不拒绝方差齐性？但题目假设方差不等，可能数据调整后实际方差不齐，此处按题目要求处理。（3）韦尔奇t检验统计量：t=(x̄₁-x̄₂)/√(s₁²/n₁+s₂²/n₂)=(240-220)/√(225/10+400/8)=20/√(22.5+50)=20/√72.5≈20/8.515≈2.35。（4）自由度df=(s₁²/n₁+s₂²/n₂)²/[(s₁²/n₁)²/(n₁-1)+(s₂²/n₂)²/(n₂-1)]=(22.5+50)²/[(22.5²)/9+(50²)/7]=(72.5)²/[56.25+357.14]=5256.25/413.39≈12.72（取整为12）。（5）查t分布表（df=12，α=0.05，双侧），临界值约为2.179。（6）决策：|t|=2.35>2.179，拒绝H₀。结论：两种型号电池的平均寿命有显著差异。4.配对样本t检验（1）计算差值d=治疗前-治疗后：10,8,7,7,10,8,7,8,7,11。（2）差值均值d̄=(10+8+7+7+10+8+7+8+7+11)/10=83/10=8.3。（3）差值标准差s_d=√[Σ(d_i-d̄)²/(n-1)]=√[(1.7²+(-0.3)²+(-1.3)²+(-1.3)²+1.7²+(-0.3)²+(-1.3)²+(-0.3)²+(-1.3)²+2.7²)/9]=√[(2.89+0.09+1.69+1.69+2.89+0.09+1.69+0.09+1.69+7.29)/9]=√[(20.1)/9]≈√2.233