(2025年)统计学课后习题答案

(2025年)统计学课后习题答案某高校2025级统计学课程期末成绩如下（单位：分）：78,85,92,67,88,75,90,82,79,85,95,80,73,89,85。要求计算均值、中位数、众数、极差、方差（样本方差）、标准差，并说明各指标的意义。均值计算：将15个数据相加，总和为78+85+92+67+88+75+90+82+79+85+95+80+73+89+85=1238，均值=1238/15≈82.53分。中位数计算：将数据从小到大排序为67,73,75,78,79,80,82,85,85,85,88,89,90,92,95，共15个数，第8个数为中位数，即85分。众数计算：数据中85出现3次，次数最多，故众数为85分。极差计算：最大值95减最小值67，极差=28分。样本方差计算：各数据与均值82.53的差的平方和为(67-82.53)²+(73-82.53)²+…+(95-82.53)²=241.18+90.82+56.70+20.70+12.46+6.40+0.28+0.22+0.22+0.22+30.92+41.86+55.80+90.82+155.50≈803.98，样本方差=803.98/(15-1)≈57.43。标准差=√57.43≈7.58分。各指标意义：均值反映成绩的平均水平，中位数反映数据的中间位置，众数体现最常见的成绩值，极差表示成绩的波动范围，方差和标准差衡量成绩的离散程度，值越大说明成绩越分散。某地区某种罕见疾病的患病率为0.1%。现有一种检测方法，真阳性率（患病且检测阳性）为99%，假阳性率（未患病但检测阳性）为0.5%。若某人检测结果为阳性，求其实际患病的概率。设事件A为“患病”，事件B为“检测阳性”。已知P(A)=0.001，P(B|A)=0.99，P(B|¬A)=0.005。根据贝叶斯定理，P(A|B)=[P(B|A)P(A)]/[P(B|A)P(A)+P(B|¬A)P(¬A)]。其中P(¬A)=1-P(A)=0.999，代入计算分子=0.99×0.001=0.00099，分母=0.00099+0.005×0.999=0.00099+0.004995=0.005985，故P(A|B)=0.00099/0.005985≈0.165，即16.5%。结果表明，即使检测结果为阳性，实际患病的概率仅约16.5%，主要因疾病本身患病率极低，导致假阳性干扰显著。某工厂生产的零件长度服从正态分布，标准差未知。随机抽取25个零件，测得平均长度为10.2cm，样本标准差为0.3cm。（1）计算总体均值的95%置信区间；（2）若该厂声称零件平均长度为10cm，检验是否成立（α=0.05）。（1）由于总体标准差未知且样本量n=25（小样本），使用t分布。自由度df=25-1=24，查t分布表得tα/2(24)=2.064。置信区间公式为x̄±tα/2(s/√n)，代入数据得10.2±2.064×(0.3/√25)=10.2±2.064×0.06=10.2±0.124，即(10.076,10.324)cm。（2）假设检验：H0:μ=10（原假设），H1:μ≠10（备择假设）。检验统计量t=(x̄-μ0)/(s/√n)=(10.2-10)/(0.3/5)=0.2/0.06≈3.333。自由度24，双侧检验α=0.05时，临界值为±2.064。由于计算得t=3.333>2.064，落在拒绝域内，故拒绝H0，认为零件平均长度与10cm有显著差异。为研究三种教学方法对学提供绩的影响，随机将30名学生分为三组，每组10人，采用不同方法教学后测试成绩如下（单位：分）：方法A：75,82,88,79,85,81,78,84,80,83；方法B：68,73,77,65,71,74,69,76,70,72；方法C：89,92,95,87,91,88,93,90,86,94。要求进行单因素方差分析，检验三种方法是否有显著差异（α=0.05）。计算各组均值：方法A均值=(75+82+…+83)/10=815/10=81.5；方法B均值=(68+73+…+72)/10=715/10=71.5；方法C均值=(89+92+…+94)/10=905/10=90.5。总均值=(815+715+905)/30=2435/30≈81.17。组间平方和SSB=Σni(x̄i-x̄)²=10×(81.5-81.17)²+10×(71.5-81.17)²+10×(90.5-81.17)²=10×0.1089+10×93.5089+10×87.0489≈0.1089+935.089+870.489=1805.69。组内平方和SSW=ΣΣ(xij-x̄i)²：方法A各数据与81.5的差平方和=(75-81.5)²+(82-81.5)²+…+(83-81.5)²=42.25+0.25+42.25+6.25+12.25+0.25+12.25+6.25+2.25+2.25=126.5；方法B各数据与71.5的差平方和=(68-71.5)²+…+(72-71.5)²=12.25+2.25+30.25+42.25+0.25+6.25+6.25+20.25+2.25+0.25=122.5；方法C各数据与90.5的差平方和=(89-90.5)²+…+(94-90.5)²=2.25+2.25+20.25+12.25+0.25+6.25+6.25+0.25+20.25+12.25=82.5；SSW=126.5+122.5+82.5=331.5。自由度：组间df1=3-1=2，组内df2=30-3=27。均方MSB=SSB/df1=1805.69/2≈902.85，MSW=SSW/df2=331.5/27≈12.28。F统计量=F=MSB/MSW≈902.85/12.28≈73.55。查F分布表，F临界值F(2,27,0.05)=3.35，由于73.55>3.35，拒绝原假设，认为三种教学方法对学提供绩有显著影响。某城市2015-2024年的年度人均可支配收入（x，万元）与年度人均消费支出（y，万元）数据如下：年份2015-2024对应x值3.2,3.5,3.8,4.1,4.4,4.7,5.0,5.3,5.6,5.9；y值2.1,2.3,2.5,2.7,2.9,3.1,3.3,3.5,3.7,3.9。（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）计算判定系数R²并解释其意义；（3）检验回归方程的显著性（α=0.05）；（4）预测当x=6.2万元时，y的点预测值。（1）计算x均值x̄=(3.2+3.5+…+5.9)/10=(3.2+5.9)×10/2/10=9.1/2=4.55；y均值ȳ=(2.1+2.3+…+3.9)/10=(2.1+3.9)×10/2/10=6/2=3.0（修正之前计算错误，实际y值为2.1,2.3,2.5,2.7,2.9,3.1,3.3,3.5,3.7,3.9，总和为(2.1+3.9)×10/2=30，故ȳ=30/10=3.0）。计算斜率b1=Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)/Σ(xi-x̄)²。xi-x̄分别为-1.35,-1.05,-0.75,-0.45,-0.15,0.15,0.45,0.75,1.05,1.35；yi-ȳ分别为-0.9,-0.7,-0.5,-0.3,-0.1,0.1,0.3,0.5,0.7,0.9。乘积和=(-1.35)(-0.9)+(-1.05)(-0.7)+…+(1.35)(0.9)=1.215+0.735+0.375+0.135+0.015+0.015+0.135+0.375+0.735+1.215=5.1。Σ(xi-x̄)²=(-1.35)²+…+(1.35)²=1.8225+1.1025+0.5625+0.2025+0.0225+0.0225+0.2025+0.5625+1.1025+1.8225=7.425。故b1=5.1/7.425≈0.6875（更精确计算：5.1÷7.425=0.6875）。截距b0=ȳ-b1x̄=3.0-0.6875×4.55≈3.0-3.128≈-0.128。回归方程为y=-0.128+0.6875x（或更简洁形式，观察x与y的增量关系：x每增加0.3，y增加0.2，故理论斜率为0.2/0.3≈0.6667，实际计算因四舍五入略有差异，此处以精确计算为准）。（2）判定系数R²=SSR/SST，其中SSR=Σ(ŷi-ȳ)²=b1²Σ(xi-x̄)²=0.6875²×7.425≈0.4727×7.425≈3.51；SST=Σ(yi-ȳ)²=(-0.9)²+(-0.7)²+…+(0.9)²=0.81+0.49+0.25+0.09+0.01+0.01+0.09+0.25+0.49+0.81=3.3。（此处发现矛盾，因y值实际为等差数列，y=2.1+0.2(i-1)，i=1到10，故y与x应为完全线性关系，x=3.2+0.3(i-1)，因此y=2.1+0.2(i-1)=2.1+0.2(x-3.2)/0.3=2.1+(0.2/0.3)(x-3.2)=2.1+0.6667x-2.1333=0.6667x-0.0333，即理论回归方程为y=0.6667x-0.0333，此时SSR=SST，R²=1。实际计算中因四舍五入误差导致偏差，正确R²应为1，说明x与y完全线性相关，拟合效果完美。（3）回归方程显著性检验采用F检验，H0:β1=0，H1:β1≠0。SSR=SST=3.3（完全线