2025年郴州期末考试卷子及答案

2025年郴州期末考试卷子及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.计算3+5的结果是（）A.2B.2C.8D.8答案：B解析：异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，\(\vert5\vert\vert3\vert=53=2\)。2.下列运算正确的是（）A.\(a^{2}+a^{3}=a^{5}\)B.\((a^{3})^{2}=a^{6}\)C.\((ab)^{2}=ab^{2}\)D.\(a^{6}\diva^{2}=a^{3}\)答案：B解析：A选项，\(a^{2}\)与\(a^{3}\)不是同类项，不能合并；B选项，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，\((a^{3})^{2}=a^{3\times2}=a^{6}\)；C选项，根据积的乘方，\((ab)^{2}=a^{2}b^{2}\)；D选项，根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，\(a^{6}\diva^{2}=a^{62}=a^{4}\)。3.不等式\(2x1\gt3\)的解集是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\gt2\)C.\(x\lt1\)D.\(x\lt2\)答案：B解析：解不等式\(2x1\gt3\)，移项得\(2x\gt3+1\)，即\(2x\gt4\)，两边同时除以2，得\(x\gt2\)。4.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形答案：C解析：多边形的外角和是\(360^{\circ}\)，设这个多边形有\(n\)条边，根据内角和公式\((n2)\times180^{\circ}\)，由内角和是外角和的2倍，可得\((n2)\times180^{\circ}=2\times360^{\circ}\)，解得\(n=6\)。5.已知一次函数\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的图象经过点\((0,1)\)，且\(y\)随\(x\)的增大而增大，则这个一次函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：因为函数图象经过点\((0,1)\)，所以把\((0,1)\)代入\(y=kx+b\)得\(b=1\)，又因为\(y\)随\(x\)的增大而增大，所以\(k\gt0\)，一次函数\(y=kx+1\)的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限。6.如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)交\(AC\)于点\(D\)，则图中等腰三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解析：因为\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，所以\(\angleABC=\angleACB=72^{\circ}\)，因为\(BD\)平分\(\angleABC\)，所以\(\angleABD=\angleDBC=36^{\circ}\)，则\(\angleBDC=180^{\circ}\angleDBC\angleACB=72^{\circ}\)，所以\(\triangleABC\)，\(\triangleABD\)，\(\triangleBCD\)都是等腰三角形。7.若关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}2x+m=0\)有两个不相等的实数根，则\(m\)的取值范围是（）A.\(m\lt1\)B.\(m\gt1\)C.\(m\leqslant1\)D.\(m\geqslant1\)答案：A解析：对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，判别式\(\Delta=b^{2}4ac\)，当\(\Delta\gt0\)时，方程有两个不相等的实数根。在方程\(x^{2}2x+m=0\)中，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=m\)，所以\(\Delta=(2)^{2}4m\gt0\)，即\(44m\gt0\)，解得\(m\lt1\)。8.为了了解某校2000名学生的体重情况，从中抽取了150名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A.2000名学生是总体B.150名学生是所抽取的一个样本C.每个学生是个体D.样本的容量是150答案：D解析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量则是指样本中个体的数目。本题中总体是2000名学生的体重情况，个体是每个学生的体重，样本是抽取的150名学生的体重，样本容量是150。9.已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的图象经过点\((2,3)\)，则\(k\)的值是（）A.6B.6C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：B解析：把点\((2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)。10.如图，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，则\(\sinA\)的值是（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：D解析：根据勾股定理\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)，\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}\)。二、填空题（每题3分，共18分）11.因式分解：\(x^{2}4=\)______。答案：\((x+2)(x2)\)解析：根据平方差公式\(a^{2}b^{2}=(a+b)(ab)\)，\(x^{2}4=x^{2}2^{2}=(x+2)(x2)\)。12.函数\(y=\frac{1}{x2}\)中，自变量\(x\)的取值范围是______。答案：\(x\neq2\)解析：因为分式的分母不能为0，所以\(x2\neq0\)，即\(x\neq2\)。13.若一组数据\(1\)，\(2\)，\(x\)，\(4\)的众数是\(1\)，则这组数据的中位数是______。答案：1.5解析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，因为众数是1，所以\(x=1\)，将这组数据从小到大排列为\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，中位数是\(\frac{1+2}{2}=1.5\)。14.已知扇形的圆心角为\(120^{\circ}\)，半径为\(3\)，则扇形的弧长为______。答案：\(2\pi\)解析：根据弧长公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)（\(n\)是圆心角度数，\(r\)是半径），可得弧长\(l=\frac{120\pi\times3}{180}=2\pi\)。15.如图，在平面直角坐标系中，点\(A\)的坐标为\((1,4)\)，点\(B\)的坐标为\((4,0)\)，将\(\triangleAOB\)绕点\(O\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(\triangleA'OB'\)，则点\(A'\)的坐标为______。答案：\((4,1)\)解析：根据旋转的性质，点\(A(1,4)\)绕点\(O\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)后，点\(A'\)的坐标为\((4,1)\)。16.已知\(a\)，\(b\)是方程\(x^{2}x3=0\)的两个根，则\(a^{2}+b\)的值为______。答案：4解析：因为\(a\)是方程\(x^{2}x3=0\)的根，所以\(a^{2}a3=0\)，即\(a^{2}=a+3\)，又因为\(a\)，\(b\)是方程\(x^{2}x3=0\)的两个根，根据韦达定理\(a+b=1\)，所以\(a^{2}+b=a+3+b=(a+b)+3=1+3=4\)。三、解答题（共72分）17.（本题6分）计算：\(\vert2\vert+(\frac{1}{2})^{1}\sqrt{16}+(\pi3)^{0}\)。解：\(\vert2\vert+(\frac{1}{2})^{1}\sqrt{16}+(\pi3)^{0}\)\(=2+(2)4+1\)（绝对值\(\vert2\vert=2\)，负指数幂\((\frac{1}{2})^{1}=2\)，算术平方根\(\sqrt{16}=4\)，零指数幂\((\pi3)^{0}=1\)）\(=224+1\)\(=3\)18.（本题6分）先化简，再求值：\((\frac{x+2}{x^{2}2x}\frac{x1}{x^{2}4x+4})\div\frac{x4}{x}\)，其中\(x=3\)。解：\[\begin{align}&(\frac{x+2}{x^{2}2x}\frac{x1}{x^{2}4x+4})\div\frac{x4}{x}\\=&[\frac{x+2}{x(x2)}\frac{x1}{(x2)^{2}}]\cdot\frac{x}{x4}\\=&[\frac{(x+2)(x2)}{x(x2)^{2}}\frac{x(x1)}{x(x2)^{2}}]\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{(x+2)(x2)x(x1)}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{x^{2}4x^{2}+x}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{x4}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{1}{(x2)^{2}}\end{align}\]当\(x=3\)时，原式\(=\frac{1}{(32)^{2}}=1\)。19.（本题8分）解方程组\(\begin{cases}2x+y=5\\xy=1\end{cases}\)解：将两个方程相加消去\(y\)，得：\((2x+y)+(xy)=5+1\)\(2x+y+xy=6\)\(3x=6\)\(x=2\)把\(x=2\)代入\(xy=1\)，得\(2y=1\)，解得\(y=1\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。20.（本题8分）如图，在\(\squareABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(AD\)，\(BC\)的中点，求证：\(BE=DF\)。证明：因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AD=BC\)，\(AD\parallelBC\)。因为\(E\)，\(F\)分别是\(AD\)，\(BC\)的中点，所以\(DE=\frac{1}{2}AD\)，\(BF=\frac{1}{2}BC\)。所以\(DE=BF\)。又因为\(DE\parallelBF\)，所以四边形\(BEDF\)是平行四边形。所以\(BE=DF\)。21.（本题10分）某学校为了了解学生每天自主学习时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图。（1）这次调查一共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请估计该校每天自主学习时间不少于2小时的学生有多少人？解：（1）由扇形统计图可知，学习时间为\(11.5\)小时的学生占\(30\%\)，人数为15人，所以抽取的学生总数为\(15\div30\%=50\)（名）。（2）学习时间为\(22.5\)小时的学生人数为\(5051520=10\)（名）。补全条形统计图（此处略去画图步骤，你可根据数据自行绘制，横坐标为学习时间区间，纵坐标为人数，\(0.51\)小时对应人数5，\(11.5\)小时对应人数15，\(1.52\)小时对应人数20，\(22.5\)小时对应人数10）。（3）每天自主学习时间不少于2小时的学生所占比例为\(\frac{10+20}{50}=60\%\)，所以该校2000名学生中每天自主学习时间不少于2小时的学生约有\(2000\times60\%=1200\)（人）。22.（本题10分）某商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。解：（1）设购进甲种商品\(x\)件，则购进乙种商品\((100x)\)件。根据题意得\(15x+35(100x)=2700\)\(15x+350035x=2700\)\(20x=27003500\)\(20x=800\)\(x=40\)则\(100x=10040=60\)（件）答：购进甲种商品40件，乙种商品60件。（2）设购进甲种商品\(a\)件，则购进乙种商品\((100a)\)件。甲商品每件利润为\(2015=5\)元，乙商品每件利润为\(4535=10\)元。总利润\(W=5a+10(100a)=5a+100010a=10005a\)。由题意得\(\begin{cases}10005a\geqslant750\\10005a\leqslant760\end{cases}\)解不等式\(10005a\geqslant750\)，得\(5a\geqslant7501000\)，\(5a\geqslant250\)，\(a\leqslant50\)。解不等式\(10005a\leqslant760\)，得\(5a\leqslant7601000\)，\(5a\leqslant240\)，\(a\geqslant48\)。所以\(48\leqslanta\leqslant50\)。因为\(a\)为正整数，所以\(a=48\)，\(49\)，\(50\)。当\(a=48\)时，\(100a=52\)；当\(a=49\)时，\(100a=51\)；当\(a=50\)时，\(100a=50\)。答：有三种进货方案：①购进甲种商品48件，乙种商品52件；②购进甲种商品49件，乙种商品51件；③购进甲种商品50件，乙种商品50件。23.（本题10分）如图，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，以\(BC\)为直径的\(\odotO\)交\(AB\)于点\(D\)，切线\(DE\)交\(AC\)于点\(E\)。（1）求证：\(E\)是\(AC\)的中点；（2）若\(AD=8\)，\(DE=5\)，求\(BC\)的长。证明：（1）连接\(OD\)。因为\(DE\)是\(\odotO\)的切线，所以\(\angleODE=90^{\circ}\)。因为\(OC=OD\)，所以\(\angleODC=\angleOCD\)。又因为\(\angleC=90^{\circ}\)，即\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，\(\angleODB+\angleODE+\angleEDA=180^{\circ}\)，\(\angleODB=\angleB\)。所以\(\angleEDA+\angleB=90^{\circ}\)，则\(\angleA=\angleEDA\)，所以\(EA=ED\)。因为\(OE\)是\(\triangleABC\)的中位线（\(O\)是\(BC\)中点，\(E\)是\(AC\)中点），且\(OE\parallelAB\)，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(DE\)是切线，可证\(EC=ED\)。所以\(EA=EC\)，即\(E\)是\(AC\)的中点。（2）因为\(EA=ED=5\)，所以\(AC=2ED=10\)。在\(Rt\triangleADC\)中，根据勾股定理\(DC=\sqrt{AC^{2}AD^{2}}=\sqrt{10^{2}8^{2}}=6\)。因为\(\angleBDC=90^{\circ}\)，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB\)是公共角，所以\(\triangleBDC\sim\triangleBCA\)。则\(\frac{DC}{AC}=\frac{BC}{AB}\)，\(AB=AD+BD\)，设\(BD=x\)，在\(Rt\triangleBDC\)中，\(BC^{2}=BD^{2}+DC^{2}=x^{2}+36\)，\(AB=8+x\)。\(\frac{6}{10}=\frac{\sqrt{x^{2}+36}}{8+x}\)，交叉相乘得\(6(8+x)=10\sqrt{x^{2}+36}\)。两边平方得\(36(64+16x+x^{2})=100(x^{2}+36)\)。\(2304+576x+36x^{2}=10