《数学分析》课程标准

《数学分析上》课程标准1.课程说明《数学分析(上)》课程标准课程编码〔37004〕承担单位〔师范学院〕制定〔祁秋菊〕制定日期〔2018年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(上)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《高中数学》，后续课程有数学分析（中），数学分析（下）。2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中初等函数及极限的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；掌握函数初等函数的概念及相关性质，理解并掌握一元函数的极限的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算；理解并掌握函数连续的概念及性质，理解并掌握一元函数微分学的概念及运算法则。3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。表3-1教学内容与学时分配表章节内容学时一实数集与函数1.1函数281.2四类具有特殊性质的函数21.3复合函数与反函数2习题指导2二极限2.1数列极限概念4262.2收敛数列的性质62.3函数极限概念42.4函数极限的定理8习题指导4三连续函数3.1连续函数4103.2连续函数的性质4习题指导2四实数的连续性4.1实数连续性定理4104.2闭区间连续函数整体性质的证明4习题指导2五导数和微分5.1导数的概念4245.2求导法则与求导公式45.3隐函数与参变量函数的求导45.4微分45.5高阶导数4习题指导4表2课程总体设计一函数学时8学习内容任务名称主要知识要点1.1函数1．函数概念、函数表示法、函数的四则运算1.2四类具有特殊性质的函数1.函数的性质1.3复合函数与反函数3.复合函数、反函数、初等函数二极限学时26学习内容任务名称主要知识要点2.1数列极限1.极限思想、数列极限引例、数列极限的ε-N定义2.2收敛数列1.收敛数列的唯一性、有界性、保序性6.四则运算法则、数列收敛的判别法、子数列2.3函数极限概念1.函数极限2.函数极限2．4函数极限的定理1.唯一性定理2.局部有界性定理3.保序性定理4.四则运算法则5.复合函数极限法则6.函数极限与数列极限的关系7.迫敛法、柯西收敛准则三连续函数学时10学习内容任务名称主要知识要点4.1连续性概念1.函数在一点的连续2.间断点及其分类3.区间上的连续函数4.2连续函数的性质1.连续函数的局部性质2.闭区间连续函数的基本性质3.反函数的连续性四实数的连续性学时10学习内容任务名称主要知识要点4.1实连续性定理1.区间套定理2.确界定理3.有限覆盖定理4.聚点定理5.致密性定理6.柯西收敛准则4.2闭区间连续函数整体性质的证明1.性质的证明2.一致连续性五导数和微分学时24学习内容任务名称主要知识要点5.1导数1.导数实例、导数定义2.导函数3.导数的几何意义5.2求导法则1.导数的四则运算2.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则4.初等函数的导数公式5.3参变量函数的导数1.参变量函数的导数5.4微分1.微分的概念2.微分运算法则和公式3.微分在近似计算中的应用5.5高阶导数.高阶导数2.高阶微分4.教学设计表3学习情境设计一函数学时8学习目标知识目标能力目标了解实数公理理解确界的意义掌握函数概念掌握函数四则运算及定义域的确定原则理解复合函数概念掌握复合函数的复合与分解方法掌握基本初等函数及其图像的基本特征和特性能够判别函数的四个特殊属性二数列极限学时26学习目标知识目标能力目标理解数列收敛的概念和性质理解单调有界定理掌握数列极限的ε-N定义理解极限定量定义理解函数极限的性质了解柯西准则理解两个重要极限掌握无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系能够用极限的“ε-N”定义证明数列的极限能够应用四则运算法则计算极限学会利用单调有界定理证明极限能够证明函数极限能够应用四则运算法则计算极限熟练利用两个重要极限计算相关极限能够对无穷小量进行比较，了解阶的概念三连续函数学时10学习目标知识目标能力目标理解函数连续的定义掌握间断点的判断及分类的方法了解连续函数的性质能对简单函数的连续性给出证明学会利用初等函数的连续性求极限能够对间断点进行分类四实数数的连续性学时10学习目标知识目标能力目标理解区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则。理解区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的相互推到。五导数和微分学时24学习目标知识目标能力目标掌握用定义求导数的基本方法能够运用一阶微分形式的不变性求微分学会用微分近似计算公式计算4.掌握微分概念，熟练掌握求微分的方法1.能够推导基本初等函数的导数公式2.会计算简单函数的高阶导数3.熟练掌握函数的四则运算求导法则4.能够用复合函数求导法则计算导数5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。6.课程资源（1）硬件要求：多媒体课件（2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。（3）本课程教学使用的教材为《数学分析讲义》(上、下册)，刘玉琏编写的高等教育出版社，第五版。7.编写依据该课程标准是依据数学教育专业调研报告和数学教育专业人才培养方案而编写的。

《数学分析（下）》课程标准1.课程说明《数学分析(中)》课程标准课程编码〔36734〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2025年11月27日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(下)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（中）》，后续课程有概率统计。2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中二元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握二元函数的微积分的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算。3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。表3-1教学内容与学时分配表章节内容学时十多元函数微分学10.1多元函数42410.2二元函数的极限与连续610.3多元函数微分发610.4二元函数的泰勒公式4习题指导4十一隐函数11.1隐函数的存在41411.2函数行列式411.3条件极值4习题指导2十二反常积分与含参变量积分12.1无穷积分41212.2瑕积分4习题指导4十三重积分13.1二重积分122413.2三重积分10习题指导4十四曲线积分与曲面积分14.1曲线积分61614.2曲面积分6习题指导4表2课程总体设计十多元函数微分学学时24学习内容任务名称主要知识要点10.1多元函数1.平面点集2.的连续性定理3.二元函数概念10.2二元函数的极限与连续1.二元函数的极限2.累次极限3.二元函数的连续性概念4.有界闭区域上连续函数的性质10.3多元函数微分法1.可微性与全微分2.偏导数3.可微条件4.可微性几何意义及应用5.复合函数的求导法则6.复合函数的全微分10.4二元函数的泰勒公式1.高阶偏导数2.中值定理和泰勒公式3二元函数的极值十一隐函数学时14学习内容任务名称主要知识要点11.1隐函数的存在1.隐函数概念2.隐函数的存在性3.隐函数求导举例11.2函数行列式1.函数行列式的概念及性质11.3条件极值1.条件极值与拉格朗日乘数法十二广义积分学时12学习内容任务名称主要知识要点12.1无穷积分1.无穷积分概念2.无穷积分性质3.无穷积分敛散判别法12.2瑕积分1.瑕积分概念2.瑕积分敛散判别法十三重积分学时24学习内容任务名称主要知识要点13.1二重积分1.二重积分的定义2.二重积分的性质3.化二重积分为两次累次积分13.2三重积分1.三重积分的概念2.三重积分的计算3.三重积分的变量替换十四曲线积分学时16学习内容任务名称主要知识要点14.1曲线积分1.第一型曲线积分定义2.第一型曲线积分计算3.第二型曲线积分定义4.第二型曲线积分计算5.两型曲线积分的联系14.2曲面积分1.第一型曲面积分定义2.第一型曲面积分计算3.第二型曲面积分定义4.第二型曲面积分计算5.两型曲面积分的联系4.教学设计表3学习情境设计十多元函数微分学学时24学习目标知识目标能力目标理解二元函数的全微分概念，理解偏导数概念，理解方向导数的意义理解二元函数极限的意义、极值的必要条件和充分条件能够判断函数的可微性掌握偏导数的计算法则能熟练计算函数的偏导数和复合函数的偏导函数能计算函数在给定方向上的导函数掌握求二元函数极值的方法，并用于解决实际问题十一隐函数学时14学习目标知识目标能力目标理解隐函数概念及隐函数存在性定理理解隐函数组概念及隐函数组存在性定理的意义理解隐函数概念及隐函数存在性定理理解隐函数组概念及隐函数组存在性定理掌握二元方程所确定的一元隐函数的求导法则求导掌握二个四元方程组所确定的二元隐函数组的求导法则求偏导数能够求平面曲线的切线和法线方程能够求空间曲线的切线和法平面方程能够求空间曲面的切平面和法线方程十二广义积分学时12学习目标知识目标能力目标理解瑕积分及其收敛发散的意义理解无穷积分及其收敛和发散的意义掌握无穷积分收敛的判定法则掌握瑕积分收敛的判定法则十三重积分学时24学习目标知识目标能力目标掌握二重积分化累次积分的方法理解并掌握格林公式的意义了解曲线积分与路径无关的条件掌握二重积分的变量替换方法（特别是平面极坐标变换）了解三重积的概念和三重积分的变量代换方法掌握二重积分化累次积分的方法理解并掌握格林公式的意义了解曲线积分与路径无关的条件掌握二重积分的变量替换方法（特别是平面极坐标变换）了解三重积的概念和三重积分的变量代换方法能熟练计算二重能够计算三重积分十四曲线积分学时16学习目标知识目标能力目标理解第一型曲线积分的意义理解第二型曲线积分的意义了解第一型和第二型曲线积分的的联系理解第一型曲面积分的意义理解第二型曲面积分的意义了解第一型和第二型曲面积分的的联系能熟练计算第一型曲线积分能熟练计算第二型曲线积分能熟练计算第一型曲面积分能熟练计算第二型曲面积分5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、