2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)八年级地方晋级选拔赛模拟试卷（附答案）

2025届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)八年级地方晋级选拔赛模拟试卷（附答案）一、选择题（每题5分，共30分）1.若分式\(\frac{x^24}{x2}\)的值为0，则\(x\)的值为（）A.2B.2C.±2D.4答案：B解析：要使分式的值为0，则分子为0且分母不为0。由\(x^24=0\)，即\((x+2)(x2)=0\)，解得\(x=±2\)，又因为分母\(x2\neq0\)，所以\(x\neq2\)，故\(x=2\)。2.已知一次函数\(y=kx+b\)的图象经过点\((0,1)\)和\((1,2)\)，则\(k\)，\(b\)的值分别为（）A.\(k=3\)，\(b=1\)B.\(k=3\)，\(b=1\)C.\(k=2\)，\(b=1\)D.\(k=2\)，\(b=1\)答案：A解析：把点\((0,1)\)和\((1,2)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}b=1\\k+b=2\end{cases}\)，将\(b=1\)代入\(k+b=2\)得\(k+1=2\)，解得\(k=3\)，所以\(k=3\)，\(b=1\)。3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形答案：C解析：设这个多边形有\(n\)条边，多边形的外角和是\(360^{\circ}\)，内角和公式为\((n2)\times180^{\circ}\)。由题意得\((n2)\times180^{\circ}=2\times360^{\circ}\)，解得\(n=6\)，所以这个多边形是六边形。4.若关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}xa>0\\12x>x2\end{cases}\)无解，则\(a\)的取值范围是（）A.\(a\geqslant1\)B.\(a>1\)C.\(a\leqslant1\)D.\(a<1\)答案：A解析：解不等式\(xa>0\)得\(x>a\)；解不等式\(12x>x2\)，移项得\(2xx>21\)，合并同类项得\(3x>3\)，解得\(x<1\)。因为不等式组无解，所以\(a\geqslant1\)。5.如图，在平行四边形\(ABCD\)中，\(AE⊥BC\)于点\(E\)，\(AF⊥CD\)于点\(F\)，若\(AE=4\)，\(AF=6\)，平行四边形\(ABCD\)的周长为40，则平行四边形\(ABCD\)的面积为（）A.24B.36C.40D.48答案：D解析：设\(BC=x\)，\(CD=y\)，因为平行四边形\(ABCD\)的周长为40，所以\(2(x+y)=40\)，即\(x+y=20\)。根据平行四边形面积公式\(S=BC\timesAE=CD\timesAF\)，可得\(4x=6y\)，即\(x=\frac{3}{2}y\)。把\(x=\frac{3}{2}y\)代入\(x+y=20\)得\(\frac{3}{2}y+y=20\)，\(\frac{5}{2}y=20\)，解得\(y=8\)，则平行四边形\(ABCD\)的面积\(S=AF\timesCD=6\times8=48\)。6.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是\(\triangleABC\)的三边，且满足\(a^2+b^2+c^2abbcca=0\)，则\(\triangleABC\)的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不能确定答案：B解析：对\(a^2+b^2+c^2abbcca=0\)两边同时乘以2得\(2a^2+2b^2+2c^22ab2bc2ca=0\)，变形为\((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=0\)。因为平方数具有非负性，所以\(ab=0\)，\(bc=0\)，\(ca=0\)，即\(a=b=c\)，所以\(\triangleABC\)是等边三角形。二、填空题（每题5分，共30分）7.分解因式：\(x^34x=\)______。答案：\(x(x+2)(x2)\)解析：先提取公因式\(x\)得\(x^34x=x(x^24)\)，再利用平方差公式\(a^2b^2=(a+b)(ab)\)，其中\(a=x\)，\(b=2\)，所以\(x(x^24)=x(x+2)(x2)\)。8.若\(\sqrt{x2}+\sqrt{2x}+y=3\)，则\(xy\)的值为______。答案：6解析：要使\(\sqrt{x2}\)和\(\sqrt{2x}\)有意义，则\(x2\geqslant0\)且\(2x\geqslant0\)，所以\(x=2\)。把\(x=2\)代入\(\sqrt{x2}+\sqrt{2x}+y=3\)得\(y=3\)，则\(xy=2\times3=6\)。9.已知数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的方差为\(2\)，则\(11\)，\(12\)，\(13\)，\(14\)，\(15\)的方差为______。答案：2解析：一组数据加上相同的数，方差不变。数据\(11\)，\(12\)，\(13\)，\(14\)，\(15\)是由数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)每个数都加上\(10\)得到的，所以方差不变，仍为2。10.如图，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，以点\(A\)为圆心，\(AC\)长为半径画弧，交\(AB\)于点\(D\)，则\(BD\)的长为______。答案：2解析：在\(Rt\triangleABC\)中，根据勾股定理\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。因为\(AD=AC=3\)，所以\(BD=ABAD=53=2\)。11.若关于\(x\)的分式方程\(\frac{x}{x3}2=\frac{m}{x3}\)有增根，则\(m\)的值为______。答案：3解析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根。先将分式方程\(\frac{x}{x3}2=\frac{m}{x3}\)两边同乘\(x3\)化为整式方程得\(x2(x3)=m\)。因为原分式方程的分母为\(x3\)，所以增根为\(x=3\)，把\(x=3\)代入整式方程\(x2(x3)=m\)得\(32\times(33)=m\)，解得\(m=3\)。12.已知一次函数\(y=kx+b\)的图象与反比例函数\(y=\frac{m}{x}\)的图象交于\(A(1,4)\)，\(B(2,n)\)两点，则不等式\(kx+b>\frac{m}{x}\)的解集为______。答案：\(2<x<0\)或\(x>1\)解析：把\(A(1,4)\)代入\(y=\frac{m}{x}\)得\(m=4\)，所以反比例函数解析式为\(y=\frac{4}{x}\)。把\(B(2,n)\)代入\(y=\frac{4}{x}\)得\(n=\frac{4}{2}=2\)，即\(B(2,2)\)。把\(A(1,4)\)，\(B(2,2)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}k+b=4\\2k+b=2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k=2\\b=2\end{cases}\)，所以一次函数解析式为\(y=2x+2\)。不等式\(kx+b>\frac{m}{x}\)即\(2x+2>\frac{4}{x}\)，结合函数图象可知，其解集为\(2<x<0\)或\(x>1\)。三、解答题（每题10分，共40分）13.先化简，再求值：\((\frac{x+2}{x^22x}\frac{x1}{x^24x+4})\div\frac{x4}{x}\)，其中\(x=2+\sqrt{2}\)。答案：化简结果为\(\frac{1}{(x2)^2}\)，值为\(\frac{1}{2}\)。解析：先对括号内的式子进行通分：\(\frac{x+2}{x(x2)}\frac{x1}{(x2)^2}=\frac{(x+2)(x2)x(x1)}{x(x2)^2}=\frac{x^{2}4x^{2}+x}{x(x2)^2}=\frac{x4}{x(x2)^2}\)。再将除法转化为乘法：\((\frac{x+2}{x(x2)}\frac{x1}{(x2)^2})\div\frac{x4}{x}=\frac{x4}{x(x2)^2}\times\frac{x}{x4}=\frac{1}{(x2)^2}\)。最后代入求值：当\(x=2+\sqrt{2}\)时，\(\frac{1}{(x2)^2}=\frac{1}{(\sqrt{2})^2}=\frac{1}{2}\)。14.如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)，\(E\)分别在\(AB\)，\(AC\)上，且\(AD=AE\)，连接\(BE\)，\(CD\)交于点\(O\)。求证：\(\triangleABE\cong\triangleACD\)；若\(\angleBAC=40^{\circ}\)，求\(\angleBOC\)的度数。答案：（1）证明过程见解析；（2）\(\angleBOC=140^{\circ}\)。解析：证明\(\triangleABE\cong\triangleACD\)：在\(\triangleABE\)和\(\triangleACD\)中，\(\begin{cases}AB=AC\\\angleA=\angleA\\AE=AD\end{cases}\)，根据\(SAS\)（边角边）定理可得\(\triangleABE\cong\triangleACD\)。求\(\angleBOC\)的度数：因为\(\triangleABE\cong\triangleACD\)，所以\(\angleABE=\angleACD\)。在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleBAC=40^{\circ}\)，则\(\angleABC=\angleACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}\angleBAC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}40^{\circ})=70^{\circ}\)。所以\(\angleOBC+\angleOCB=\angleABC\angleABE+\angleACB\angleACD=\angleABC+\angleACB(\angleABE+\angleACD)=\angleABC+\angleACB(\angleABE+\angleABE)=70^{\circ}+70^{\circ}2\angleABE\)，又因为\(\angleABE=\angleACD\)，所以\(\angleOBC+\angleOCB=70^{\circ}\)。在\(\triangleBOC\)中，根据三角形内角和定理\(\angleBOC=180^{\circ}(\angleOBC+\angleOCB)=180^{\circ}70^{\circ}=140^{\circ}\)。15.某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元。其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元。该商场购进甲、乙两种商品各多少件？商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？答案：（1）购进甲商品200件，乙商品120件；（2）乙种商品最低售价为每件108元。解析：设商场购进甲种商品\(x\)件，购进乙种商品\(y\)件。根据题意可得方程组\(\begin{cases}120x+100y=36000\\(138120)x+(120100)y=6000\end{cases}\)，由第一个方程\(120x+100y=36000\)化简得\(6x+5y=1800\)，即\(y=\frac{18006x}{5}\)。将\(y=\frac{18006x}{5}\)代入第二个方程\(18x+20y=6000\)得\(18x+20\times\frac{18006x}{5}=6000\)，\(18x+4\times(18006x)=6000\)，\(18x+720024x=6000\)，\(6x=60007200\)，\(6x=1200\)，解得\(x=200\)。把\(x=200\)代入\(y=\frac{18006x}{5}\)得\(y=\frac{18006\times200}{5}=\frac{18001200}{5}=120\)。所以该商场购进甲种商品200件，购进乙种商品120件。第二次购进甲种商品\(2\times200=400\)件，乙种商品120件。设乙种商品每件售价\(z\)元。根据题意可得\((138120)\times400+(z100)\times120\geqslant8160\)，\(18\times400+120z12000\geqslant8160\)，\(7200+120z12000\geqslant8160\)，\(120z\geqslant8160+120007200\)，\(120z\geqslant12960\)，解得\(z\geqslant108\)。所以乙种商品最低售价为每件108元。16.如图，在平面直角坐标系中，直线\(y=x+3\)与\(x\)轴