2025届天津高三数学十二校联考仿真模拟试题二模有解析

2025届天津高三数学十二校联考仿真模拟试题[二模]有解析一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，方程\(ax2=0\)无解，此时\(B=\varnothing\)，空集是任何集合的子集，满足\(B\subseteqA\)。当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)。因为\(B\subseteqA\)，所以\(\frac{2}{a}=1\)或\(\frac{2}{a}=2\)。当\(\frac{2}{a}=1\)时，解得\(a=2\)；当\(\frac{2}{a}=2\)时，解得\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)，答案选A。2.设\(i\)是虚数单位，复数\(z=\frac{2i}{1i}\)，则\(|z|\)等于（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\)解析：先对复数\(z=\frac{2i}{1i}\)进行化简，给分子分母同时乘以\(1+i\)，则\(z=\frac{2i(1+i)}{(1i)(1+i)}\)。根据\((a+b)(ab)=a^2b^2\)和\(i^2=1\)，可得\(z=\frac{2i+2i^2}{1i^2}=\frac{2i2}{2}=1+i\)。根据复数的模的计算公式\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)（\(z=a+bi\)），对于\(z=1+i\)，\(a=1\)，\(b=1\)，则\(\vertz\vert=\sqrt{(1)^2+1^2}=\sqrt{2}\)。所以答案选B。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m\)等于（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(6\)D.\(8\)解析：先求出\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)的坐标，因为\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+3,m2)=(4,m2)\)。由于\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，根据向量垂直的性质，若两个向量\(\overrightarrow{u}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{v}=(x_2,y_2)\)垂直，则\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=x_1x_2+y_1y_2=0\)。所以\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=4\times3+(m2)\times(2)=0\)，即\(122m+4=0\)。移项可得\(2m=16\)，解得\(m=8\)。答案选D。4.函数\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)的图象大致是（）解析：函数\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)的定义域为\((0,+\infty)\)。对\(f(x)\)求导，根据除法求导公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)，其中\(u=\lnx\)，\(u^\prime=\frac{1}{x}\)，\(v=x\)，\(v^\prime=1\)，则\(f^\prime(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdotx\lnx}{x^2}=\frac{1\lnx}{x^2}\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(\frac{1\lnx}{x^2}=0\)，因为\(x^2\gt0\)，所以\(1\lnx=0\)，解得\(x=e\)。当\(0\ltx\lte\)时，\(1\lnx\gt0\)，\(f^\prime(x)\gt0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(x\gte\)时，\(1\lnx\lt0\)，\(f^\prime(x)\lt0\)，函数\(f(x)\)单调递减。当\(x=1\)时，\(f(1)=\frac{\ln1}{1}=0\)；当\(x\to+\infty\)时，\(\lnx\)增长速度远慢于\(x\)，所以\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)。根据以上性质，结合选项可知答案选A。5.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha+2}{2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\)的值为（）A.\(\frac{13}{9}\)B.\(\frac{11}{9}\)C.\(\frac{6}{7}\)D.\(\frac{4}{7}\)解析：因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，所以\(\frac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha+2}{2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha+2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\)。化简可得\(\frac{3\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\)，分子分母同时除以\(\cos^2\alpha\)（因为\(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，则\(\tan\alpha\)不存在），得到\(\frac{3\tan^2\alpha+1}{2\tan^2\alpha+1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，将其代入上式得\(\frac{3\times2^2+1}{2\times2^2+1}=\frac{12+1}{8+1}=\frac{13}{9}\)。所以答案选A。6.已知抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)且斜率为\(1\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点，若线段\(AB\)的中点的纵坐标为\(2\)，则该抛物线的准线方程为（）A.\(x=1\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=2\)解析：抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点\(F\)的坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，则过点\(F\)且斜率为\(1\)的直线方程为\(y=x\frac{p}{2}\)。设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，联立直线与抛物线方程\(\begin{cases}y=x\frac{p}{2}\\y^2=2px\end{cases}\)，将\(y=x\frac{p}{2}\)代入\(y^2=2px\)得\((x\frac{p}{2})^2=2px\)。展开得\(x^2px+\frac{p^2}{4}=2px\)，即\(x^23px+\frac{p^2}{4}=0\)。根据韦达定理，\(x_1+x_2=3p\)。因为\(y_1=x_1\frac{p}{2}\)，\(y_2=x_2\frac{p}{2}\)，所以\(y_1+y_2=x_1+x_2p=3pp=2p\)。又因为线段\(AB\)的中点的纵坐标为\(2\)，所以\(\frac{y_1+y_2}{2}=2\)，即\(p=2\)。则抛物线的准线方程为\(x=\frac{p}{2}=1\)。答案选B。7.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的最小正周期为\(\pi\)，将其图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度后得到函数\(g(x)=\cos\omegax\)的图象，则函数\(f(x)\)的图象（）A.关于点\((\frac{\pi}{12},0)\)对称B.关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称C.关于点\((\frac{5\pi}{12},0)\)对称D.关于直线\(x=\frac{5\pi}{12}\)对称解析：因为函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，所以\(\omega=2\)，则\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)。将\(f(x)\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度，根据“左加右减”原则，得到\(g(x)=\sin\left[2(x+\frac{\pi}{6})+\varphi\right]=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\varphi)\)。又因为\(g(x)=\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，\(k\inZ\)。因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，则\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)。令\(2x+\frac{\pi}{6}=k\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，所以函数\(f(x)\)的对称中心为\((\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},0)\)，\(k\inZ\)。令\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，所以函数\(f(x)\)的对称轴方程为\(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。当\(k=1\)时，对称中心为\((\frac{5\pi}{12},0)\)。答案选C。8.已知\(a=\log_{2}0.3\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=0.3^{0.2}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)解析：对于\(a=\log_{2}0.3\)，因为对数函数\(y=\log_{2}x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，且\(0.3\lt1\)，所以\(\log_{2}0.3\lt\log_{2}1=0\)，即\(a\lt0\)。对于\(b=2^{0.3}\)，因为指数函数\(y=2^{x}\)在\(R\)上单调递增，且\(0.3\gt0\)，所以\(2^{0.3}\gt2^{0}=1\)，即\(b\gt1\)。对于\(c=0.3^{0.2}\)，因为指数函数\(y=0.3^{x}\)在\(R\)上单调递减，且\(0.2\gt0\)，所以\(0\lt0.3^{0.2}\lt0.3^{0}=1\)，即\(0\ltc\lt1\)。综上可得\(a\ltc\ltb\)，答案选B。9.已知三棱锥\(PABC\)的所有顶点都在球\(O\)的球面上，\(\triangleABC\)是边长为\(1\)的正三角形，\(PC\)为球\(O\)的直径，且\(PC=2\)，则此三棱锥的体积为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{6}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)解析：设\(\triangleABC\)外接圆的圆心为\(O_1\)，半径为\(r\)。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=2r\)（\(a\)为三角形的一边，\(A\)为\(a\)所对的角），对于正三角形\(\triangleABC\)，\(a=1\)，\(A=\frac{\pi}{3}\)，则\(2r=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，所以\(r=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。因为\(PC\)为球\(O\)的直径，\(PC=2\)，所以球\(O\)的半径\(R=1\)。点\(O\)到平面\(ABC\)的距离\(d=\sqrt{R^{2}r^{2}}=\sqrt{1(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)。则点\(P\)到平面\(ABC\)的距离\(h=2d=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)。\(\triangleABC\)的面积\(S_{\triangleABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)。所以三棱锥\(PABC\)的体积\(V=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdoth=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}\)。答案选A。二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知\((x+\frac{a}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)的展开式中各项系数的和为\(2\)，则该展开式中常数项为______。解析：令\(x=1\)，可得\((x+\frac{a}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)展开式中各项系数的和为\((1+a)(21)^5=2\)，解得\(a=1\)。\((2x\frac{1}{x})^5\)的展开式的通项公式为\(T_{r+1}=C_{5}^{r}(2x)^{5r}(\frac{1}{x})^{r}=(1)^{r}2^{5r}C_{5}^{r}x^{52r}\)，\(r=0,1,2,3,4,5\)。\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5=x(2x\frac{1}{x})^5+\frac{1}{x}(2x\frac{1}{x})^5\)。求\(x(2x\frac{1}{x})^5\)的常数项，令\(52r=1\)，解得\(r=3\)，此时该项为\(x\cdot(1)^{3}2^{2}C_{5}^{3}x^{1}=40\)。求\(\frac{1}{x}(2x\frac{1}{x})^5\)的常数项，令\(52r=1\)，解得\(r=2\)，此时该项为\(\frac{1}{x}\cdot(1)^{2}2^{3}C_{5}^{2}x=80\)。所以\((x+\frac{1}{x})(2x\frac{1}{x})^5\)的展开式中常数项为\(40+80=40\)。11.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则该双曲线的离心率为______。解析：对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)，其渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。已知一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，所以\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)。双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，则\(e=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)。把\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)代入可得\(e=\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}=\frac{5}{3}\)。12.已知实数\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}xy+1\geq0\\x+y3\leq0\\y\geq1\end{cases}\)，则\(z=2xy\)的最大值为______。解析：先画出不等式组所表示的平面区域。\(xy+1=0\)，\(y=x+1\)，其斜率为\(1\)，截距为\(1\)；\(x+y3=0\)，\(y=x+3\)，其斜率为\(1\)，截距为\(3\)；\(y=1\)是平行于\(x\)轴的直线。联立\(\begin{cases}xy+1=0\\y=1\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)；联立\(\begin{cases}x+y3=0\\y=1\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)；联立\(\begin{cases}xy+1=0\\x+y3=0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\)。所以可行域的三个顶点坐标分别为\((0,1)\)，\((2,1)\)，\((1,2)\)。将\(z=2xy\)变形为\(y=2xz\)，\(z\)是直线\(y=2xz\)在\(y\)轴上的截距，要使\(z\)最大，就是使\(z\)最小。分别把三个顶点坐标代入\(z=2xy\)：当\(x=0\)，\(y=1\)时，\(z=2\times01=1\)；当\(x=2\)，\(y=1\)时，\(z=2\times21=3\)；当\(x=1\)，\(y=2\)时，\(z=2\times12=0\)。所以\(z=2xy\)的最大值为\(3\)。13.已知圆\(C\)：\((x1)^2+(y2)^2=25\)，直线\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y7m4=0(m\inR)\)。则直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长的最小值为______。解析：将直线\(l\)的方程\((2m+1)x+(m+1)y7m4=0\)变形为\(m(2x+y7)+(x+y4)=0\)。联立\(\begin{cases}2x+y7=0\\x+y4=0\end{cases}\)，两式相减得\(x=3\)，把\(x=3\)代入\(x+y4=0\)得\(y=1\)，所以直线\(l\)恒过定点\(A(3,1)\)。圆\(C\)：\((x1)^2+(y2)^2=25\)的圆心\(C(1,2)\)，半径\(r=5\)。\(\vertAC\vert=\sqrt{(31)^2+(12)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\)。当直线\(l\perpAC\)时，直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最短。根据垂径定理，弦长\(L=2\sqrt{r^{2}\vertAC\vert^{2}}=2\sqrt{255}=4\sqrt{5}\)。14.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，若\(f(a)=\frac{1}{2}\)，则\(a=\)______。解析：当\(a\leq0\)时，\(f(a)=2^a=\frac{1}{2}=2^{1}\)，解得\(a=1\)。当\(a\gt0\)时，\(f(a)=\log_2a=\frac{1}{2}\)，根据对数的定义可得\(a=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)。综上，\(a=1\)或\(a=\sqrt{2}\)。15.已知函数\(f(x)=x^33x^2+1\)，\(g(x)=\begin{cases}(x\frac{1}{2})^2