2025方差与标准差测试题及参考答案(完整版)

2025方差与标准差测试题及参考答案(完整版)一、选择题1.已知一组数据\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)的平均数是\(2\)，那么另一组数据\(3x_12,3x_22,3x_32,3x_42,3x_52\)的平均数是（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(10\)答案：B解析：已知数据\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)的平均数\(\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=2\)。对于数据\(3x_12,3x_22,3x_32,3x_42,3x_52\)，其平均数\(\overline{y}=\frac{(3x_12)+(3x_22)+(3x_32)+(3x_42)+(3x_52)}{5}=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)10}{5}\)。把\(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=10\)代入上式得\(\overline{y}=\frac{3\times1010}{5}=\frac{20}{5}=4\)。2.若样本数据\(x_1,x_2,\cdots,x_{10}\)的标准差为\(8\)，则数据\(2x_11,2x_21,\cdots,2x_{10}1\)的标准差为（）A.\(8\)B.\(15\)C.\(16\)D.\(32\)答案：C解析：设样本数据\(x_1,x_2,\cdots,x_{10}\)的标准差为\(s\)，则\(s=8\)，方差\(s^{2}=64\)。对于数据\(2x_11,2x_21,\cdots,2x_{10}1\)，其方差\(s_{1}^{2}=2^{2}\timess^{2}=4\times64=256\)，所以标准差\(s_{1}=\sqrt{256}=16\)。3.甲、乙两人在相同条件下各射击\(10\)次，他们成绩的平均数相同，方差分别是\(S_{甲}^{2}=0.2\)，\(S_{乙}^{2}=0.5\)，则设两人中成绩更稳定的是（）A.甲B.乙C.一样稳定D.无法确定答案：A解析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。因为\(S_{甲}^{2}=0.2\ltS_{乙}^{2}=0.5\)，所以甲的成绩更稳定。二、填空题1.已知一组数据\(1,2,3,4,5\)的方差为\(2\)，则数据\(12,13,14,15,16\)的方差为______。答案：\(2\)解析：数据\(12,13,14,15,16\)是由数据\(1,2,3,4,5\)每个数都加上\(11\)得到的。根据方差的性质：一组数据加上相同的常数\(a\)，方差不变。所以数据\(12,13,14,15,16\)的方差为\(2\)。2.若\(1,2,3,x\)的平均数是\(5\)，且\(1,2,3,x,y\)的平均数是\(6\)，则\(y\)的值为______，数据\(1,2,3,x,y\)的方差为______。答案：\(10\)；\(26\)解析：因为\(1,2,3,x\)的平均数是\(5\)，则\(\frac{1+2+3+x}{4}=5\)，即\(6+x=20\)，解得\(x=14\)。又因为\(1,2,3,x,y\)的平均数是\(6\)，则\(\frac{1+2+3+14+y}{5}=6\)，即\(20+y=30\)，解得\(y=10\)。这组数据\(1,2,3,14,10\)的平均数\(\overline{x}=6\)，方差\(S^{2}=\frac{1}{5}[(16)^{2}+(26)^{2}+(36)^{2}+(146)^{2}+(106)^{2}]=\frac{1}{5}[25+16+9+64+16]=\frac{130}{5}=26\)。三、解答题1.某班\(40\)名学生某次数学测验成绩统计如下：|成绩（分）|50|60|70|80|90|100||||||||||人数（人）|2|x|10|y|4|2|若该班的数学平均成绩是\(74\)分，求\(x\)和\(y\)的值。解：根据题意可得方程组\(\begin{cases}2+x+10+y+4+2=40\\50\times2+60x+70\times10+80y+90\times4+100\times2=74\times40\end{cases}\)化简第一个方程得\(x+y=22\)，即\(x=22y\)。将\(x=22y\)代入第二个方程：\(100+60(22y)+700+80y+360+200=2960\)\(100+132060y+700+80y+360+200=2960\)\((60y+80y)+(100+1320+700+360+200)=2960\)\(20y+2680=2960\)\(20y=280\)解得\(y=14\)。把\(y=14\)代入\(x=22y\)，得\(x=8\)。所以\(x=8\)，\(y=14\)。2.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在\(10\)天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲：\(0,1,0,2,2,0,3,1,2,4\)；乙：\(2,3,1,1,0,2,1,1,0,1\)。分别计算两组数据的平均数和方差，从计算结果看，哪台机床的性能较好？解：甲的平均数\(\overline{x}_{甲}=\frac{0+1+0+2+2+0+3+1+2+4}{10}=\frac{15}{10}=1.5\)。甲的方差\(S_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(01.5)^{2}+(11.5)^{2}+(01.5)^{2}+(21.5)^{2}+(21.5)^{2}+(01.5)^{2}+(31.5)^{2}+(11.5)^{2}+(21.5)^{2}+(41.5)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}[2.25+0.25+2.25+0.25+0.25+2.25+2.25+0.25+0.25+6.25]=\frac{1}{10}\times16.5=1.65\)。乙的平均数\(\overline{x}_{乙}=\frac{2+3+1+1+0+2+1+1+0+1}{10}=\frac{12}{10}=1.2\)。乙的方差\(S_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(21.2)^{2}+(31.2)^{2}+(11.2)^{2}+(11.2)^{2}+(01.2)^{2}+(21.2)^{2}+(11.2)^{2}+(11.2)^{2}+(01.2)^{2}+(11.2)^{2}]\)\(=\frac{1}{10}[0.