2025-2026学年浙江省杭州市九年级上册九月月考数学检测试卷（附答案）

20252026学年浙江省杭州市九年级上册九月月考数学检测试卷（附答案）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A.\(x+2y=1\)B.\(x^2+5=0\)C.\(2x+\frac{3}{x}=8\)D.\(3x+8=6x+2\)答案：B。一元二次方程的一般形式是\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，A选项是二元一次方程；C选项是分式方程；D选项是一元一次方程，只有B选项符合一元二次方程的定义。2.抛物线\(y=(x2)^2+3\)的顶点坐标是（）A.\((2,3)\)B.\((2,3)\)C.\((2,3)\)D.\((2,3)\)答案：A。对于抛物线的顶点式\(y=a(xh)^2+k\)，其顶点坐标为\((h,k)\)，在\(y=(x2)^2+3\)中，\(h=2\)，\(k=3\)，所以顶点坐标是\((2,3)\)。3.用配方法解方程\(x^{2}4x+1=0\)时，配方后所得的方程是（）A.\((x2)^{2}=1\)B.\((x2)^{2}=1\)C.\((x2)^{2}=3\)D.\((x+2)^{2}=3\)答案：C。\(x^{2}4x+1=0\)，移项得\(x^{2}4x=1\)，配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即\(x^{2}4x+4=1+4\)，所以\((x2)^{2}=3\)。4.已知\(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\)，则\(\frac{a+b}{b}\)的值为（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)答案：C。根据分式的加法法则\(\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}\)，因为\(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\)，\(\frac{b}{b}=1\)，所以\(\frac{a+b}{b}=\frac{2}{3}+1=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}\)。5.若点\(C\)是线段\(AB\)的黄金分割点，且\(AC\gtBC\)，则下列说法正确的有（）①\(AB=\frac{\sqrt{5}+1}{2}AC\)；②\(AC=\frac{3\sqrt{5}}{2}AB\)；③\(BC=\frac{\sqrt{5}1}{2}AC\)；④\(AC:AB=\frac{\sqrt{5}1}{2}\)A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B。因为点\(C\)是线段\(AB\)的黄金分割点，且\(AC\gtBC\)，所以\(\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}1}{2}\)，即\(AC=\frac{\sqrt{5}1}{2}AB\)，\(BC=ABAC=AB\frac{\sqrt{5}1}{2}AB=\frac{3\sqrt{5}}{2}AB\)，\(\frac{BC}{AC}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}AB}{\frac{\sqrt{5}1}{2}AB}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}1}=\frac{(3\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{3\sqrt{5}+35\sqrt{5}}{4}=\frac{2\sqrt{5}2}{4}=\frac{\sqrt{5}1}{2}\)，\(AB=\frac{AC}{\frac{\sqrt{5}1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}AC\)。所以①④正确，共2个。6.若二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的图象经过点\((1,2)\)，\((2,2)\)，则关于\(x\)的方程\(ax^{2}+bx+c=0\)的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定答案：A。把点\((1,2)\)，\((2,2)\)代入\(y=ax^{2}+bx+c\)得\(\begin{cases}ab+c=2\\4a+2b+c=2\end{cases}\)，两式相减得\(3a+3b=4\)，\(b=\frac{4+3a}{3}\)。判别式\(\Delta=b^{2}4ac=\left(\frac{4+3a}{3}\right)^{2}4ac=\frac{16+24a+9a^{2}}{9}4ac\)。二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)的图象经过\((1,2)\)，\((2,2)\)，说明函数图象与\(x\)轴有两个不同的交点，所以方程\(ax^{2}+bx+c=0\)有两个不相等的实数根。7.已知二次函数\(y=x^{2}+2x+3\)，当\(x\)满足（）时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。A.\(x\lt1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\gt1\)答案：B。对于二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，其对称轴为\(x=\frac{b}{2a}\)，在\(y=x^{2}+2x+3\)中，\(a=1\)，\(b=2\)，对称轴为\(x=\frac{2}{2\times(1)}=1\)，因为\(a=1\lt0\)，抛物线开口向下，所以当\(x\gt1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。8.如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{DE}{BC}\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：B。因为\(DE\parallelBC\)，所以\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，且\(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}\)，又因为\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\)，所以\(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}\)。9.若关于\(x\)的一元二次方程\((k1)x^{2}+4x+1=0\)有两个不相等的实数根，则\(k\)的取值范围是（）A.\(k\lt5\)B.\(k\lt5\)且\(k\neq1\)C.\(k\leqslant5\)且\(k\neq1\)D.\(k\gt5\)答案：B。因为方程\((k1)x^{2}+4x+1=0\)是一元二次方程，所以\(k1\neq0\)，即\(k\neq1\)。又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式\(\Delta=b^{2}4ac=4^{2}4(k1)\times1\gt0\)，\(164k+4\gt0\)，\(204k\gt0\)，\(4k\lt20\)，解得\(k\lt5\)。综上，\(k\)的取值范围是\(k\lt5\)且\(k\neq1\)。10.如图，二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的图象与\(x\)轴交于\(A\)，\(B\)两点，与\(y\)轴交于点\(C\)，且对称轴为直线\(x=1\)。有以下四个结论：①\(abc\gt0\)；②\(b^{2}4ac\gt0\)；③\(4a+2b+c\gt0\)；④\(c\gt3a\)。其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C。①由抛物线开口向下得\(a\lt0\)，对称轴\(x=\frac{b}{2a}=1\)，则\(b=2a\gt0\)，抛物线与\(y\)轴交于正半轴，所以\(c\gt0\)，那么\(abc\lt0\)，①错误。②因为抛物线与\(x\)轴有两个交点，所以\(\Delta=b^{2}4ac\gt0\)，②正确。③因为对称轴为\(x=1\)，与\(x\)轴的一个交点\((1,0)\)，则另一个交点为\((3,0)\)，当\(x=2\)时，\(y=4a+2b+c\)，由抛物线的对称性可知，\(x=2\)时的函数值与\(x=0\)时的函数值相同，\(x=0\)时，\(y=c\gt0\)，所以\(4a+2b+c\gt0\)，③正确。④当\(x=1\)时，\(y=ab+c=0\)，又\(b=2a\)，所以\(a+2a+c=0\)，\(c=3a\)，④错误。所以正确的结论有2个。二、填空题（每小题4分，共24分）11.方程\(x^{2}=4x\)的解是______。答案：\(x_{1}=0\)，\(x_{2}=4\)。移项得\(x^{2}4x=0\)，因式分解得\(x(x4)=0\)，则\(x=0\)或\(x4=0\)，解得\(x_{1}=0\)，\(x_{2}=4\)。12.已知二次函数\(y=x^{2}2x3\)，当\(y\lt0\)时，自变量\(x\)的取值范围是______。答案：\(1\ltx\lt3\)。令\(y=0\)，即\(x^{2}2x3=0\)，因式分解得\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x_{1}=3\)，\(x_{2}=1\)。因为二次函数\(y=x^{2}2x3\)的图象开口向上，所以当\(y\lt0\)时，自变量\(x\)的取值范围是\(1\ltx\lt3\)。13.若两个相似三角形的面积比为\(1:4\)，则它们的相似比为______。答案：\(1:2\)。相似三角形面积比等于相似比的平方，设相似比为\(k\)，则\(k^{2}=\frac{1}{4}\)，因为相似比为正数，所以\(k=\frac{1}{2}\)，即相似比为\(1:2\)。14.已知抛物线\(y=x^{2}+bx+c\)经过点\((1,0)\)，\((3,0)\)，则\(b=\)______，\(c=\)______。答案：\(2\)，\(3\)。把\((1,0)\)，\((3,0)\)代入\(y=x^{2}+bx+c\)得\(\begin{cases}1b+c=0\\9+3b+c=0\end{cases}\)，用第二个方程减去第一个方程得：\((9+3b+c)(1b+c)=0\)，\(9+3b+c1+bc=0\)，\(8+4b=0\)，\(b=2\)。把\(b=2\)代入\(1b+c=0\)得\(1+2+c=0\)，\(c=3\)。15.如图，在\(\triangleABC\)中，\(D\)是\(AB\)上一点，添加一个条件______，使\(\triangleACD\sim\triangleABC\)。答案：\(\angleACD=\angleB\)（或\(\angleADC=\angleACB\)或\(\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\)）。根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。当\(\angleACD=\angleB\)，\(\angleA=\angleA\)时，\(\triangleACD\sim\triangleABC\)；当\(\angleADC=\angleACB\)，\(\angleA=\angleA\)时，\(\triangleACD\sim\triangleABC\)；当\(\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\)，\(\angleA=\angleA\)时，\(\triangleACD\sim\triangleABC\)。16.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价______元。答案：20。设每件衬衫应降价\(x\)元，则每天多销售\(2x\)件，每件利润为\((40x)\)元，销售量为\((20+2x)\)件。根据总利润\(=\)每件利润\(\times\)销售量，可得\((40x)(20+2x)=1200\)，展开得\(800+80x20x2x^{2}=1200\)，移项化为标准形式\(2x^{2}60x+400=0\)，即\(x^{2}30x+200=0\)，因式分解得\((x10)(x20)=0\)，解得\(x_{1}=10\)，\(x_{2}=20\)。因为要尽快减少库存，所以\(x=20\)。三、解答题（共66分）17.（本题8分）解方程：(1)\(x^{2}2x3=0\)；(2)\(2x^{2}4x1=0\)。解：(1)对于方程\(x^{2}2x3=0\)，因式分解得\((x3)(x+1)=0\)，则\(x3=0\)或\(x+1=0\)，解得\(x_{1}=3\)，\(x_{2}=1\)。(2)对于方程\(2x^{2}4x1=0\)，这里\(a=2\)，\(b=4\)，\(c=1\)，\(\Delta=b^{2}4ac=(4)^{2}4\times2\times(1)=16+8=24\)。由求根公式\(x=\frac{b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)可得\(x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{2\times2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\)，所以\(x_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\)，\(x_{2}=\frac{2\sqrt{6}}{2}\)。18.（本题8分）已知\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)，且\(x+yz=6\)，求\(x\)，\(y\)，\(z\)的值。解：设\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k\neq0)\)，则\(x=2k\)，\(y=3k\)，\(z=4k\)。因为\(x+yz=6\)，所以\(2k+3k4k=6\)，即\(k=6\)。所以\(x=2k=2\times6=12\)，\(y=3k=3\times6=18\)，\(z=4k=4\times6=24\)。19.（本题10分）已知二次函数\(y=x^{2}4x+3\)。(1)用配方法将\(y=x^{2}4x+3\)化成\(y=a(xh)^{2}+k\)的形式；(2)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；(3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象。解：(1)\(y=x^{2}4x+3=x^{2}4x+44+3=(x2)^{2}1\)。(2)对于二次函数\(y=a(xh)^{2}+k\)，其对称轴为直线\(x=h\)，顶点坐标为\((h,k)\)，所以\(y=(x2)^{2}1\)的对称轴为直线\(x=2\)，顶点坐标为\((2,1)\)。(3)当\(y=0\)时，\(x^{2}4x+3=0\)，\((x1)(x3)=0\)，解得\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=3\)，所以与\(x\)轴交点为\((1,0)\)，\((3,0)\)；当\(x=0\)时，\(y=3\)，所以与\(y\)轴交点为\((0,3)\)。根据顶点坐标\((2,1)\)，与\(x\)轴、\(y\)轴的交点坐标，画出二次函数图象。20.（本题10分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，\(DE=4\)。(1)求\(\frac{AE}{AC}\)的值；(2)求\(BC\)的长。解：(1)因为\(DE\parallelBC\)，所以\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，所以\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)。又因为\(AD=2\)，\(DB=3\)，则\(AB=AD+DB=2+3=5\)，所以\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}\)。(2)因为\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，所以\(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\)，已知\(DE=4\)，\(\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}\)，即\(\frac{4}{BC}=\frac{2}{5}\)，解得\(BC=10\)。21.（本题10分）某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多售3箱，价格每升高1元，平均每天少售3箱。(1)写出平均每天的销售量\(y\)（箱）与每箱售价\(x\)（元）之间的函数关系式（注明范围）；(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润\(W\)（元）与每箱售价\(x\)（元）之间的二次函数关系式；(3)当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？解：(1)当\(x\geqslant50\)时，\(y=903(x50)=903x+150=3x+240\)；当\(x\lt50\)时，\(y=90+3(50x)=90+1503x=3x+240\)。所以\(y=3x+240(40\leqslantx\leqslant80)\)。(2)\(W=(x40)y=(x40)(3x+240)=3x^{2}+240x+120x9600=3x^{2}+360x9600\)。(3)对于二次函数\(W=3x^{2}+360x9600\)，其中\(a=3\)，\(b=360\)，\(c=9600\)，对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{360}{2\times(3)}=60\)。因为\(a=3\lt0\)，抛物线开口向下，所以当\(x=60\)时，\(W\)有最大值。\(W=3\times60^{2}+360\times609600=10800+216009600=1200\)。即当牛奶售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元。22.（本题10分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(BC=6\)，\(AC=8\)，点\(P\)从点\(A\)出发沿\(AC\)向点\(C\)以每秒1个单位的速度运动，同时点\(Q\)从点\(C\)出发沿\(CB\)向点\(B\)以每秒2个单位的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为\(t\)秒（\(t\gt0\)）。(1)经过几秒，\(\trianglePCQ\)的面积为5？(2)经过几秒，以\(P\)，\(C\)，\(Q\)为顶点的三角形与\(\triangleABC\)相似？解：(1)已知\(AP=t\)，则\(PC=8t\)，\(CQ=2t\)。因为\(\angleC=90^{\circ}\)，根据三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\)，\(S_{\trianglePCQ}=\frac{1}{2}PC\cdotCQ\)。所以\(\frac{1}{2}(8t)\times2t=5\)，即\((8t)t=5\)，\(8tt^{2}=5\)，\(t^{2}8t+5=0\)。由求根公式\(t=\frac{8\pm\sqrt