2025-2026学年浙江省宁波市九年级上册第一次月考数学检测试卷（附答案）

20252026学年浙江省宁波市九年级上册第一次月考数学检测试卷（附答案）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.\(x^2+2y=1\)B.\(x^25x=0\)C.\(x^2+\frac{1}{x}=3\)D.\(x2y=0\)2.抛物线\(y=2(x3)^2+4\)的顶点坐标是（）A.\((3,4)\)B.\((3,4)\)C.\((3,4)\)D.\((3,4)\)3.已知\(\frac{a}{b}=\frac{2}{3}\)，则\(\frac{a+b}{b}\)的值为（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{3}{5}\)4.用配方法解方程\(x^24x5=0\)时，原方程应变形为（）A.\((x+2)^2=9\)B.\((x2)^2=9\)C.\((x+4)^2=21\)D.\((x4)^2=21\)5.已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.\(a>0\)B.\(b<0\)C.\(c<0\)D.\(b^24ac<0\)6.若关于\(x\)的一元二次方程\(x^22x+m=0\)有两个不相等的实数根，则\(m\)的取值范围是（）A.\(m<1\)B.\(m>1\)C.\(m>1\)D.\(m<1\)7.已知\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)，相似比为\(2:3\)，若\(AB=2\)，则\(A'B'\)的长为（）A.\(\frac{4}{3}\)B.\(3\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(4\)8.二次函数\(y=x^2+2x+3\)的图象与\(x\)轴的交点坐标为（）A.\((1,0)\)，\((3,0)\)B.\((1,0)\)，\((3,0)\)C.\((1,0)\)，\((3,0)\)D.\((1,0)\)，\((3,0)\)9.如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{DE}{BC}\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)10.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的\(125\)元降到\(80\)元，则平均每次降价的百分率为（）A.\(10\%\)B.\(15\%\)C.\(20\%\)D.\(25\%\)二、填空题（每小题4分，共24分）11.一元二次方程\(x^24=0\)的解是________.12.若二次函数\(y=x^2+bx+5\)配方后为\(y=(x2)^2+k\)，则\(b+k\)的值为________.13.已知线段\(a=2\)，\(b=8\)，则\(a\)，\(b\)的比例中项是________.14.若抛物线\(y=ax^2+bx+c\)经过点\((1,10)\)，则\(ab+c=\)________.15.如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(D\)是\(AC\)上一点，\(DE\perpAB\)于点\(E\)，若\(AC=8\)，\(BC=6\)，\(AD=5\)，则\(DE=\)________.16.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降\(1\)元，商场平均每天可多售出\(2\)件，如果商场通过销售这批衬衫每天盈利\(1200\)元，那么衬衫的单价降了________元.三、解答题（共66分）17.（本题8分）解方程：(1)\(x^26x+5=0\)；(2)\(2x^23x1=0\).18.（本题8分）已知二次函数\(y=x^24x+3\).(1)用配方法将\(y=x^24x+3\)化成\(y=a(xh)^2+k\)的形式；(2)求该二次函数图象与\(x\)轴的交点坐标.19.（本题8分）如图，在\(\triangleABC\)和\(\triangleADE\)中，\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，\(\angleDAE=\angleBAC\).(1)求证：\(\triangleADE\sim\triangleABC\)；(2)若\(AD=3\)，\(AB=5\)，\(DE=4\)，求\(BC\)的长.20.（本题10分）某水果批发商销售每箱进价为\(40\)元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于\(55\)元，市场调查发现，若每箱以\(50\)元的价格销售，平均每天销售\(90\)箱，价格每提高\(1\)元，平均每天少销售\(3\)箱.(1)求平均每天销售量\(y\)（箱）与销售价\(x\)（元/箱）之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润\(w\)（元）与销售价\(x\)（元/箱）之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y=ax^2+bx+c\)经过\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)点\(P\)是直线\(BC\)下方抛物线上一动点，当点\(P\)运动到什么位置时，\(\triangleBCP\)的面积最大？求出此时点\(P\)的坐标和\(\triangleBCP\)的最大面积.22.（本题12分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)在\(BC\)上，点\(E\)在\(AC\)上，且\(AD=AE\).(1)若\(\angleBAD=30^{\circ}\)，求\(\angleEDC\)的度数；(2)设\(\angleBAD=\alpha\)，\(\angleEDC=\beta\)，猜想\(\alpha\)与\(\beta\)之间的关系，并证明你的猜想.23.（本题10分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，点\(D\)是\(BC\)上一点，连接\(AD\)，以\(AD\)为一边作正方形\(ADEF\)，连接\(CF\).(1)求证：\(\triangleABD\cong\triangleACF\)；(2)若\(BD=3\)，\(CD=4\)，求\(AD\)的长.答案一、选择题1.B2.A3.C4.B5.C6.A7.B8.A9.B10.C二、填空题11.\(x_1=2\)，\(x_2=2\)12.\(3\)13.\(4\)14.\(10\)15.\(3\)16.\(10\)或\(20\)三、解答题17.(1)对于方程\(x^26x+5=0\)，分解因式得\((x1)(x5)=0\)，则\(x1=0\)或\(x5=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=5\).(2)对于方程\(2x^23x1=0\)，其中\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=1\)，\(\Delta=b^24ac=(3)^24\times2\times(1)=9+8=17\)，\(x=\frac{b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\)，所以\(x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_2=\frac{3\sqrt{17}}{4}\).18.(1)\(y=x^24x+3=x^24x+44+3=(x2)^21\).(2)令\(y=0\)，即\(x^24x+3=0\)，分解因式得\((x1)(x3)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，所以该二次函数图象与\(x\)轴的交点坐标为\((1,0)\)，\((3,0)\).19.(1)因为\(\angleDAE=\angleBAC\)，所以\(\angleDAE+\angleEAB=\angleBAC+\angleEAB\)，即\(\angleDAB=\angleEAC\)，又因为\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，所以\(\triangleADE\sim\triangleABC\).(2)因为\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，所以\(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}\)，已知\(AD=3\)，\(AB=5\)，\(DE=4\)，则\(\frac{3}{5}=\frac{4}{BC}\)，解得\(BC=\frac{20}{3}\).20.(1)\(y=903(x50)=3x+240(50\leqslantx\leqslant55)\).(2)\(w=(x40)(3x+240)=3x^2+360x9600(50\leqslantx\leqslant55)\).(3)\(w=3x^2+360x9600=3(x60)^2+1200\)，因为\(a=3<0\)，抛物线开口向下，在对称轴\(x=60\)左侧\(w\)随\(x\)的增大而增大，又因为\(50\leqslantx\leqslant55\)，所以当\(x=55\)时，\(w\)有最大值，\(w=3\times(5560)^2+1200=3\times25+1200=1125\).即当每箱苹果的销售价为\(55\)元时，可以获得最大利润，最大利润是\(1125\)元.21.(1)设抛物线的解析式为\(y=a(x+1)(x3)\)，把\(C(0,3)\)代入得\(3=a(0+1)(03)\)，解得\(a=1\)，所以\(y=(x+1)(x3)=x^2+2x+3\).(2)设直线\(BC\)的解析式为\(y=kx+m\)，把\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)代入得\(\begin{cases}3k+m=0\\m=3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k=1\\m=3\end{cases}\)，所以直线\(BC\)的解析式为\(y=x+3\).设\(P(x,x^2+2x+3)\)，过点\(P\)作\(PD\perpx\)轴交\(BC\)于点\(D\)，则\(D(x,x+3)\)，\(PD=(x+3)(x^2+2x+3)=x^23x\)，\(S_{\triangleBCP}=S_{\trianglePDC}+S_{\trianglePDB}=\frac{1}{2}PD\cdotOB=\frac{1}{2}(x^23x)\times3=\frac{3}{2}(x^23x)=\frac{3}{2}(x\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}\)，当\(x=\frac{3}{2}\)时，\(S_{\triangleBCP}\)有最大值\(\frac{27}{8}\)，此时\(y=(\frac{3}{2})^2+2\times\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}\)，所以点\(P\)的坐标为\((\frac{3}{2},\frac{15}{4})\)，\(\triangleBCP\)的最大面积是\(\frac{27}{8}\).22.(1)设\(\angleB=\angleC=x\)，因为\(AB=AC\)，\(\angleBAD=30^{\circ}\)，所以\(\angleADC=\angleB+\angleBAD=x+30^{\circ}\)，又因为\(AD=AE\)，所以\(\angleADE=\angleAED\)，\(\angleAED=\angleC+\angleEDC=x+\angleEDC\)，\(\angleADC=\angleADE+\angleEDC\)，即\(x+30^{\circ}=(x+\angleEDC)+\angleEDC\)，解得\(\angleEDC=15^{\circ}\).(2)猜想\(\alpha=2\beta\).证明：设\(\angleB=\angleC=x\)，则\(\angleADC=\angleB+\angleBAD=x+\alpha\)，因为\(AD=AE\)，所以\(\angleAD