2027届新高考数学精准复习正态分布

2027届新高考数学精准复习正态分布知

识

梳

理知识点一正态曲线及其性质X～N(μ，σ2)上方

x＝μx＝μ1

集中分散2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈___________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈___________.σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．0.68270.95450.9973归

纳

拓

展对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X<x0)＝1－P(x≥x0)；(4)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线解题．关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(

)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(

)(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(

)[答案]

(1)√

(2)√

(3)√

(4)×题组二走进教材2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165<X≤180)＝________.[答案]

0.8186题组三走向考场3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.[答案]

0.14[解析]

因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.4．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(

)A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等[答案]

D[解析]

对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8[答案]

BC考点突破·互动探究正态密度函数——自主练透A．600 B．800C．1200 D．1400[答案]

B[解析]

依题意可知，μ＝78，又因为P(78≤X≤120)＝0.42，所以P(X>120)＝0.5－0.42＝0.08，所以数学成绩超过120分的人数约为0.08×10000＝800，故选B.2．(多选题)(2024·湖北省十一校联考)若X～N(100，1.52)，则下列说法正确的有(

)B．E(X)＝1.5C．P(X<101.5)＝P(X>98.5)D．P(97<X<101.5)＝P(98.5<X<103)[答案]

ACDA．μ甲>μ乙，σ甲>σ乙

B．μ甲>μ乙，σ甲<σ乙C．μ甲<μ乙，σ甲>σ乙

D．μ甲<μ乙，σ甲<σ乙[答案]

C[解析]

从图可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，故甲的平均数小于乙的平均数，即μ甲<μ乙，且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即σ甲>σ乙．故选C.A．该地水稻的平均株高为100cmB．该地水稻株高的方差为100C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小D．随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大[答案]

C[解析]

依题意μ＝100，σ＝10，所以平均数为100cm，方差为σ2＝100，所以A、B选项正确；依题意P(X≥100＋20)＝P(X≤100－20)，P(X≥120)＝P(X≤80)，而P(X≤80)>P(X≤70)，即P(X≥120)>P(X≤70)，所以C选项错误；P(100－10<X<100)＝P(100<X<100＋10)，P(90<X<100)＝P(100<X<110)，所以D选项正确．故选C.2．(多选题)(2026·陕西师大附中收心考试)已知随机变量X服从正态分布X～N(2,4)，则以下选项正确的是(

)A．若Y＝X＋2，则E(Y)＝4B．若Y＝2X＋4，则D(Y)＝8C．P(X≤0)＝P(X≥4)D．P(1≤X≤4)＝1－2P(X≥4)[答案]

AC[解析]

E(Y)＝E(X＋2)＝E(X)＋2＝4，故A正确；D(Y)＝D(2X＋4)＝4D(X)＝16，故B错误；由正态分布密度曲线知其关于X＝2对称，利用对称性知P(X≤0)＝P(X≥4)，故C正确；因为P(X≤1)＋P(1≤X≤4)＋P(X≥4)＝1，P(X≥4)＝P(X≤0)≠P(X≤1)，所以，P(1≤X≤4)＋2P(X≥4)≠1，故D错误．故选AC.正态分布——多维探究角度1正态曲线的对称性1．(2025·湖北部分州市联测)已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(X<3)＝0.5，则P(X<4)的值为________.[答案]

0.8[解析]

因为X～N(μ，σ2)，P(X<3)＝0.5，所以μ＝3，所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.2，所以P(X<4)＝0.8.2．(2026·山东部分学校质检)已知随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥3)＝P(X≤7)，则P(X≥5)＝(

)A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.6[答案]

C角度2服从正态分布的概率计算A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4[答案]

A2．(2026·河北衡水中学检测)某校高三学年的模考数学成绩X服从正态分布N(105,102)，按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为112分，则他的等级是(

)附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A．优秀

B．良好C．合格

D．基本合格[答案]

B名师点拨：关于正态总体在某个区间内取值的概率求法1．熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值．2．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【变式训练】1．(角度1)设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.2，则P(X>8－m)＝(

)A．0.8 B．0.7C．0.9 D．0.2[答案]

A2．(角度2)(多选题)(2025·湖南长沙六校联考)某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若等级分X～N(80,25)，则(

)参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973A．这次考试等级分的标准差为5B．这次考试等级分超过80分的约有45人C．这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48人D．P(65<X<75)＝0.1573[答案]

ACD正态分布的综合应用1．(2026·江苏徐州一中检测)某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从正态分布N(3，σ2)，且P(|X－3|≤0.5)＝0.8，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为________.[答案]

0.2916[解析]

根据P(|X－3|≤0.5)＝0.8可得P(|X－3|>0.5)＝1－0.8＝0.2，即P(X>3.5)＋P(X<2.5)＝0.2，又由对称性可知P(X>3.5)＝P(X<2.5)＝0.1，所以P(X>3.5)＝0.1，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为0.1；因此4个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为P＝C×0.1×(1－0.1)3＝0.2916.2．(2025·四川成都二诊)某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布N(μ，σ2)．(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次；(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的人数，求P(X≥1)的概率及X的数学期望．参考数据：0.997340≈0.8975参考公式：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.即P(X>μ＋2σ)＝0.0228.∴μ＋2σ＝87，解得σ＝11.∵甲市学生A在该次考试中成绩为76分，即P(X>μ＋σ)＝0.1587.∴学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名．(2)在本次考试中，抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9973.∴抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3α)之外的概率为0.0027.∴随机变量X服从二项分布，即X～B(40,0.0027)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997340≈0.1025或1－0.997440≈0.0989.X的数学期望为E(X)＝np＝40×0.0027＝0.108.名师点拨：解决正态分布问题的三个关键点若随机变量X～N(μ，σ2)，则(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．【变式训练】1．(2026·四川资阳诊断)某果园中某品种水果的单果质量m(单位：g)服从正态分布N(70，σ2)，且P(m<50)＝0.2，若从该果园中随机选取400个该品种水果，则质量在50g～90g的水果个数的期望为(

)A．120 B．160C．180 D．240[答案]

D[解析]

因为m～N(70，σ2)，则P(m<50)＝0.2，所以P(50≤m≤90)＝1－2P(m<50)＝1－2×0.2＝0.6，从该果园中随机选取400个该品种水果，设质量在50g～90g的水果个数为X，由题意可知X～B(400,0.6)，由二项分布的期望可得E(X)＝400×0.6＝240.故选D.2．(2025·江苏扬州中学月考)为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关．现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查．分数[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数1015452010(参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974)[解析]

(1)样本的平均数(2)分数Z近似服从正态分布N(51,212)，即μ＝51，σ＝21，可得μ－σ＝30，μ＋σ＝72，所以P(30<Z<72)＝0.6826，所以分数在(30,72)内的学生数约为4000×0.6826≈2730(人)．名师讲坛·素养提升概率统计的综合应用题型一概率与统计图表的综合应用(2025·宁夏调研)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]．根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品．现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.9973)(2)从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望．题型二概率与回归分析的综合应用(2026·福建漳州质检)2025年漳州市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个．(1)为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入x(单位：万元)和最终得分y(单位：分)，数据如下表：研发投入x2030405060最终得分y6669767984题型三概率与独立性检验的综合应用(2025·重庆一中适应性考试)某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的2×2列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100(1)根据表中数据，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；(2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X，求X的分布列和数学期望；(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y，求使事件“Y＝k”的概率最大时k的取值．参考公式及数据：α0.0250.010.0050.001χα5.0246.6357.87910.828[解析]

(1)零假设为H0：假设依据α＝0.01的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；故依据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据说明零假设H0不成立，因此可认为H0成立，即认为参数调试与产品质量无关联．题型四概率、统计与函数、数列的综合应用(2026·湖北腾云联盟联考)某企业的生产设备控制系统由2k－1(k∈N*)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为Pk(例如：P2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，P3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率)．(ⅰ)求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望；(ⅱ)求P2；(2)讨论Pk与Pk＋1(k∈N*)的大小关系．(2)由Pk＋1表示系统在原来2k－1个元件增加2个元件，则至少要有k＋1个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为ξ，第一类：原系统中至少有k＋1个元件正常工作，第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，【变式训练】1．(2026·重庆西北狼教育联盟诊断)为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩(卷面共100分)频率分布直方图如图所示．(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；(2)将此次竞赛成绩ξ近似看作服从正态分布N(μ，σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ，σ的近似值)，已知样本的标准差s≈7.5.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；(3)从得分区间[80,90)和[90,100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[90,100]的概率．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈