刻画空间点、线、面位置关系的公理高一下学期数学北师大版必修第二册

6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理北师大版（2019）必修第二册学习目标1.结合问题实例，认识4个基本事实(公理)，并能够用准确的数学语言表达这些公理，体现逻辑推理能力（重点）2.认识异面直线的概念，识别异面直线，并能够求简单的异面直线夹角，体现逻辑推理能力（重难点）课程引入在初中平面几何学习中，曾经学习过以下一些基本事实：(1)两点确定一条直线.(2)两点之间线段最短.(3)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.类似地，人们把经过长期观察与实践总结出的平面的一些最基本性质当作基本事实，作为进一步学习空间中位置关系的基础.新课学习两点确定一条直线，如何确定一个平面？在日常生活中，照相机的三脚架，施工用的支脚架等等，都是由不在同一条直线的三个点支撑，这样可以使这些物体平稳放置.αCAB根据这些事实和类似的经验，概括成一句话.新课学习基本事实1过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面

ABCα基本事实1刻画了平面的基本性质，它给出了确定一个平面的依据.不在同一条直线上的三个点

A，B，C所确定的平面，可以记作平面

ABC.新课学习思考一下：如何判断直线在平面内？如图，在长方体中，A，B两点在平面ABCD内，那么整条直线AB都在平面ABCD内；A，D1两点在平面A1ADD1内，那么直线AD1上所有点都在平面A1ADD1内.新课学习基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.

αlAB基本事实2表达了平面的特点以及直线和平面的位置关系.新课学习利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”得到下面三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

新课学习举个例子：在长方体中，不共线的三点A，C，D1确定平面ACD1，如图.直线BC1和直线外一点A确定平面ABC1D1，如图.新课学习基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言：P∈α，P∈β⟺α∩β=l，且P∈l，其中l表示一条直线

Pαβl基本事实3表明，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.基本事实3表达了不重合的平面与平面有两种位置关系：两个平面相交于一条直线，两个平面平行.新课学习基本事实4平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c这个基本事实表明，空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行，这一性质通常称为空间平行线的传递性.新课学习思考一下：判断直线AD与直线BB1，直线AD与直线BD1的位置关系？(1)相交，a∩b=A；(2)平行，a∥b由推论2和推论3可知，无论相交还是平行，这两条空间直线都在同一平面内（即共面）.思考一下：根据基本事实4，判断下面直线的位置关系?CBADC1D1B1A1直线AD与直线BB1，直线AD与直线BD1，它们不在同一个平面内.新课学习异面直线的概念不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线称为异面直线.异面直线的画法：表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托.新课学习两条直线的位置关系共面直线异面直线：不在同一平面内，没有公共点相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点新课学习在平面上，角的边是射线，射线是有方向的.在平面内，两条射线平行时它们的方向有如下三种不同的情形：情形1：两个角的两条边分别平行，并且方向相同，如图.情形2：两个角的两条边分别平行，并且方向相反，如图.情形3：两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，如图.两个角相等两个角相等两个角互补定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.新课学习异面直线a,b的夹角的概念已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角（或夹角）.特殊的异面直线的夹角—垂直若两条异面直线a,b的夹角是直角，则称这两条直线互相垂直，记作：a⊥bab

a′b′O新课学习总结一下：在长方体ABCD-A1B1C1D1中的空间点、直线和平面的基本关系的表示：位置关系符号表示点A在直线AA1上点A不在直线BC上点A在平面ABCD上点A不在平面A1B1C1D1上直线AB与直线AA1相交于点A直线AB与直线A1B1平行A∈AA1A∉BCA∈平面ABCDA∉平面A1B1C1D1AB∩AA1=AAB∥A1B1新课学习总结一下：在长方体ABCD-A1B1C1D1中的空间点、直线和平面的基本关系的表示：位置关系符号表示直线AB在平面ABCD内直线D1B和平面ABCD相交于点B直线A1B1和平面ABCD平行平面ABCD与平面BB1C1C相交于直线BC平面ABCD与平面A1B1C1D1平行AB⊂平面ABCDD1B∩平面ABCD=BA1B1∥平面ABCD平面ABCD∩平面BB1C1C=BC平面ABCD∥平面A1B1C1D1新课学习例1：四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.ABDCHEFG如图，连接BD，因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=BD

又因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=BD

所以四边形EFGH是平行四边形新课学习例2：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线？AA1BDCB1D1C1正方体共有12条棱，与BC1相交的棱有6条，与BC1平行的棱不存在.因此余下的6条棱所在的直线都与直线BC1是异面直线，它们是A1A，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.新课学习例2：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(2)求异面直线AA1与BC所成的角；AA1BDCB1D1C1因为AD∥BC，所以∠A1AD

即为异面直线AA1与BC所成的角.显然∠A1AD＝90°，故异面直线AA1与BC所成的角为90°.新课学习例2：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(3)求异面直线BC1与AC所成的角.AA1BDCB1D1C1如图，连接A1C1，A1B.因为AA1∥CC1且AA1=CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，AC∥A1C1，故∠BC1A1就是异面直线BC1与AC所成的角.因为A1B，BC1与A1C1都是该正方体的面对角线，所以A1B=BC1=A1C1，△A1BC1是等边三角形，从而∠BC1A1=60°，即异面直线B