【数学】导数的四则运算法则课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

第二章导数及其应用2.4.1导数的加法与减法法则函数类型原函数

f(x)导函数

f´(x)常函数①

f(x)=C(C为常数)f´(x)=0幂函数②f(x)=xα

(α∈Q

且

α≠0)f´(x)=

αxα–1三角函数③

f(x)=

sinxf´(x)=cosx④

f(x)=

cosxf´(x)=–sinx指数函数⑤

f(x)=

ax

(a>0，且

a≠1)f´(x)=axlna(a>0，且

a≠1)⑥

f(x)=

exf´(x)=

ex对数函数⑦

f(x)=

logax(a>0，且

a≠1)f´(x)=

(a>0，且

a≠1)⑧f(x)=

lnxf´(x)=

回顾：常用基本初等函数的导数公式表.问题1：设f(x)=x2，g(x)=x，计算[f(x)+g(x)]´，[f(x)–g(x)]´，观察计算结果，说说它们与f´(x)和g´(x)有什么关系？

设y

=

f(x)+g(x)=x2+x，而f´(x)=

(x2)´=2x，g´(x)=x´=1，所以[f(x)+g(x)]´=

f´(x)+g´(x)；同理可得：[f(x)–g(x)]´=

f´(x)

–g´(x).思考：上述关系对任意函数都成立吗？再取几组函数试试.导数的加、减运算法则[f(x)±g(x)]´=

f´(x)±

g´(x)一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数，有如下法则：例1：求下列函数的导数.（1）y=x3–x+3；（2）y=2x+cosx.解：（1）y´

=(x3

–x+3)´=(x3)´–(x)´+(3)´=

3x2–1；

（2）y´

=

(2x+cosx)´=(2x)´+(cosx)´=2xln2–sinx.

练一练1：求下列函数的导数.（1）y=2x3

–3x2

–4；（2）y=3cosx

+2x.解：（1）y´

=(2x3–3x2–4)´=

(2x3)´–(3x2)´+(4)´=

6x2–6x；

（2）y´

=

(3cosx+2x)´=(3cosx)´+(2x)´=–3sinx+2xln2.

例2：求曲线

在点（1，0）处的切线的方程.解：首先求出函数

在

x=1处的导数，函数是函数

f

(x)

=

x3与

g(x)

=

的差，由导数公式表分别得出

f

ʹ

(x)

=3x2，gʹ(x)

=.根据求导的减法法则，可得将

x=1代入导数，得即曲线

在点(1，0)处的切线斜率为4，从而其切线的方程为

y-0=4(x-1)，即

y=4x-4.练一练2：求曲线

y=2x-x3在点(1，1)处的切线方程.解：因为函数

y=2x-x3是函数

f

(x)

=

2x与

g(x)

=

x3的差，由导数公式表分别得出

f

ʹ

(x)

=2，gʹ(x)

=3x2.根据求导的减法法则，可得(2x-x3)ʹ=(2x)ʹ-(x3)ʹ=2-3x2，将

x=1代入导数，得2-3×12=-1，即曲线

y=2x-x3在点(1，1)处的切线斜率为-1，从而其切线的方程为

y-1=-1(x-1)，即

x+y-2=0.2.4.2导数的乘法与除法法则回顾：导数的加、减运算法则[f(x)±g(x)]´=

f´(x)±

g´(x)一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数，有如下法则：问题1：设f(x)=x2，g(x)=x，计算[f(x)·g(x)]´，f´(x)·g´(x)，观察计算结果，说说它们有什么关系？所以[f(x)·g(x)]´=y´=

3x2，f´(x)·g´(x)=

(x2)´·(x)´=2x·1=2x；

设y

=

f(x)·g(x)=x3，所以[f(x)·g(x)]´≠f´(x)·g´(x).思考：f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商？

导数的乘、除运算法则[f(x)·g(x)]´=f´(x)·g(x)+

f(x)·g´(x).

对于两个函数f(x)和g(x)的乘积(或商)的导数，有如下法则：问题2：设f(x)=c

(c

为常数)，g(x)=x，运用法则计算[f(x)·g(x)]´，观察计算结果，说说你发现了什么？因为

[f(x)·g(x)]´=c´·

g(x)

+

c·g´(x)=c

·g´(x)；

所以[c·g(x)]´=c·g´(x)，即常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积.小结：[c

f(x)]´=

cf´(x)

解：（1）y´

=(x3ex)´=

(x3)´ex+x3(ex)´=3x2ex+x3ex；

（3）y´

=

(3x2)´=3(x2)´=3×2x=6x.

解：（1）函数

y=x2(lnx+sinx)是函数

f

(x)

=

x2与g(x)

=

lnx+sinx的积，根据导数公式表及求导的加法法则分别得出根据求导的乘法法则，可得：例2：求下列函数的导数：（1）y=x2(lnx+sinx)；（2）

.（2）函数

是函数

f

(x)

=cosx-x与

g(x)

=

x2的商，根据导数公式表及求导的减法法则分别得出f

ʹ(x)

=-sinx-1与

g(x)

=2x.根据求导的除法法则，可得求导的注意事项：1.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数；2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的变形，化为较简单的函数式再求导，可简化求导过程.例3：求曲线在点(1，0)处的切线的方程

.根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得解：先求出函数

的导数.将

x=1代入f

ʹ(x)，则所求切线的斜率为即所以曲线