北京课改版九年级下册24.3 基本几何体的平面展开图教学设计

上课时间上课时间北京课改版九年级下册24.3基本几何体的平面展开图教学设计2025年12月任课老师任课老师魏老师教学内容分析教学内容分析1.本节课主要教学内容是北京课改版九年级下册24.3节“基本几何体的平面展开图”，包括正方体、长方体、圆柱、圆锥的平面展开图识别与绘制，理解展开图与几何体各面的对应关系及简单应用。

2.教学内容与学生已学的几何体结构特征、三视图知识紧密联系，通过立体图形与平面图形的转化，深化对几何体本质的理解，发展空间观念，为后续解决立体图形实际问题提供方法支持。核心素养目标核心素养目标二、核心素养目标通过基本几何体平面展开图的学习，发展空间观念，能识别和绘制正方体、长方体、圆柱、圆锥的展开图，理解立体图形与平面图形的转化关系；提升几何直观，通过展开图与几何体各面的对应分析，强化对图形特征的感知；增强模型观念，能运用展开图解决简单的实际问题，如包装盒设计等，体会数学与生活的联系。学习者分析学习者分析1.学生已掌握几何体的基本结构特征、三视图的绘制与识别，理解棱柱、棱锥的侧面展开图，具备初步的空间想象能力。

2.学生对动手操作和图形转化兴趣浓厚，具备一定的观察、分析和推理能力，部分学生空间思维较强，但个体差异明显；学习风格偏向直观体验，偏好通过模型操作和小组合作探究新知。

3.学生可能在复杂几何体（如圆锥、圆柱）的展开图绘制中遇到困难，尤其是曲面转化为平面图形时的对应关系易混淆；在展开图与几何体各面位置关系的逆向转换中易出错，需加强空间观念的系统性训练。教学资源教学资源-硬件资源：几何体模型（正方体、长方体、圆柱、圆锥）、绘图工具（直尺、圆规）

-软件资源：GeoGebra、绘图软件（如AutoCAD教育版）

-课程平台：学校内部学习平台

-信息化资源：电子课件（PPT）、教学视频（展开图演示）

-教学手段：小组合作、动手实验、课堂讨论教学过程设计教学过程设计五、教学过程设计

###1.导入新课（5分钟）

**目标**：引起学生对基本几何体平面展开图的兴趣，激发其探索欲望。

**过程**：

开场提问：“同学们，你们拆快递盒时有没有注意到，盒子展开后是一个平面图形？我们平时吃的薯片桶，侧面展开后是什么形状？这些平面图形与立体几何体有什么关系？”

展示生活中常见的几何体展开图实物或模型（如快递盒展开图、圆柱形罐头标签、圆锥形纸帽展开图），让学生观察并描述其特点。

简短介绍：“今天我们将学习基本几何体的平面展开图，探索立体图形如何转化为平面图形，这不仅能帮助我们理解几何体的结构，还能解决生活中的包装设计、材料计算等问题。”

###2.基本几何体平面展开图基础知识讲解（10分钟）

**目标**：让学生掌握基本几何体平面展开图的概念、组成及绘制方法。

**过程**：

讲解平面展开图的定义：“将立体几何体的表面沿某些棱剪开，铺平在一个平面上，所得的平面图形称为该几何体的平面展开图。”

以正方体为例，介绍其展开图的组成：“正方体有6个面，展开后是6个相连的正方形，共有11种不同的排列方式（如‘1-4-1’‘2-3-1’型）。”结合板书绘制2-3种常见展开图，强调“相邻面在展开图中必有一条公共边”。

讲解圆柱和圆锥的展开图：“圆柱的侧面展开图是长方形（长=底面周长，宽=高），两个底面是圆形；圆锥的侧面展开图是扇形（弧长=底面周长），底面是圆形。”用GeoGebra动态演示圆柱侧面展开过程，直观展示长方形与圆柱底面、高的关系。

举例说明：“比如一个底面半径为3cm、高为5cm的圆柱，其侧面展开图长为2×3.14×3=18.84cm，宽为5cm的长方形。”

###3.基本几何体平面展开图案例分析（20分钟）

**目标**：通过具体案例，让学生深入理解不同几何体展开图的特性及实际应用。

**过程**：

**案例1：正方体展开图的识别与绘制**

展示正方体11种展开图中的4种（含1种非标准型），让学生分组判断哪些能折叠成正方体（重点强调“田”字型、“凹”字型不能折叠）。

任务：学生在方格纸上绘制1种正方体展开图，并尝试折叠验证，教师巡视指导，纠正“对面不相邻”的常见错误。

**案例2：圆柱展开图在生活中的应用**

背景：某饮料公司设计圆柱形易拉罐，底面半径4cm，高12cm，需在侧面印制标签（标签纸宽度与高相同，不计接缝）。

问题：（1）标签展开后的长方形长、宽各是多少？（2）若标签纸每平方米成本5元，制作100个标签需多少元？

引导学生计算：底面周长=2×3.14×4=25.12cm，长方形长=25.12cm，宽=12cm；单个标签面积=25.12×12=301.44cm²=0.030144m²，100个成本=100×0.030144×5≈75.36元。

**案例3：圆锥展开图的特性分析**

展示圆锥模型及侧面展开图扇形，提问：“扇形的半径和圆锥的什么有关？扇形的弧长和圆锥的底面周长有什么关系？”

结论：扇形半径=圆锥母线长，扇形弧长=圆锥底面周长=2πr（r为底面半径）。举例：母线长15cm、底面半径9cm的圆锥，侧面展开图扇形弧长=2×3.14×9=56.52cm，扇形圆心角=（弧长/2π×母线长）×360°=（56.52/2×3.14×15）×360°≈72°。

**小组讨论**：主题“如何优化长方体展开图以节省包装材料？”

要求：结合课本中长方体展开图的“1-3-2”“2-2-2”型，讨论不同展开图的表面积是否相同，哪种类型在相同体积下表面积最小（引导学生发现“长、宽、越接近，表面积越小”的规律）。

###4.学生小组讨论（10分钟）

**目标**：培养学生的合作能力及运用展开图解决实际问题的能力。

**过程**：

将学生分成4人小组，每组发放任务卡：

-任务1：设计一个底面面积为12cm²、高为5cm的长方体礼品盒展开图，计算其表面积，并尝试找出表面积最小的展开图类型。

-任务2：某工厂用长方形铁皮制作无盖圆柱形桶（底面半径3cm，高10cm），铁皮长20cm、宽15cm，如何裁剪才能使材料利用率最高？（提示：圆柱侧面展开图长≤20cm，宽≤15cm，且需包含两个底面圆形）

小组内分工：1人记录讨论过程，1人绘制展开图，1人计算数据，1人整理发言要点。教师巡回指导，提示“圆柱底面圆形的直径≤铁皮宽度”“展开图各部分需合理拼接”等关键点。

###5.课堂展示与点评（15分钟）

**目标**：锻炼学生的表达能力，深化对展开图应用的理解。

**过程**：

**小组展示**：

-第1组（任务1）：“我们设计的长方体长3cm、宽2cm、高5cm，展开图为‘1-3-2’型，表面积为2×(3×2+3×5+2×5)=62cm²。通过比较‘1-4-1’型（表面积64cm²），发现‘1-3-2’型表面积更小。”

-第2组（任务2）：“铁皮长20cm、宽15cm，圆柱底面直径6cm（半径3cm），可沿宽度方向裁剪两个底面圆形（直径6cm），剩余部分长20cm、宽9cm，裁剪成长18.84cm（底面周长）×10cm（高）的长方形作侧面，剩余1.16cm×9cm废料，材料利用率约90%。”

**互动点评**：

-学生提问：“第2组为何不将底面圆形裁剪在长度方向？”（教师引导：“圆柱底面圆形直径需≤铁皮宽度15cm，长度方向裁剪会导致底面圆形过大无法放置”）

-教师点评：“第1组通过对比不同展开图类型优化表面积，体现了模型意识；第2组考虑材料利用率，联系了生产实际，但需注意圆柱展开图与底面圆形的尺寸匹配问题。”

###6.课堂小结（5分钟）

**目标**：回顾本节课核心内容，强调平面展开图的实际应用价值。

**过程**：

强调意义：“平面展开图是立体图形与平面图形的桥梁，不仅能帮助我们建立空间观念，还能应用于物流、建筑、设计等领域，体现了数学的实用价值。”

布置作业：（1）绘制一个底面半径2cm、高6cm的圆柱展开图，并标注各部分尺寸；（2）观察家中一个立体物品（如牙膏盒、茶叶罐），绘制其展开图，并说明设计特点。教学资源拓展教学资源拓展六、教学资源拓展

###1.拓展资源

（1）《几何体展开图分类手册》：系统整理正方体11种展开图的排列规律（如“1-4-1”“2-3-1”“3-3”型），长方体“1-3-2”“2-2-2”型展开图的表面积计算方法，圆柱、圆锥展开图的尺寸对应关系（圆柱侧面长方形长=底面周长，宽=高；圆锥扇形弧长=底面周长，半径=母线长）。

（2）《生活中的几何体应用案例集》：包含快递盒展开图优化设计（减少材料浪费）、圆柱形罐头标签尺寸计算（避免印刷重叠）、圆锥形纸帽裁剪方案（扇形圆心角与底面半径关系）等实际案例，附实物图与展开图对照。

（3）《数学模型制作工具包》：含正方体、长方体、圆柱、圆锥的纸质模板（带虚线折叠线）、彩色卡纸、胶水，学生可直接裁剪折叠验证展开图；配备几何体三视图与展开图对应练习卡（如给出三视图选择正确展开图）。

（4）《空间观念训练微课》：动态演示几何体展开过程（如圆柱侧面沿高剪开铺平为长方形，圆锥侧面沿母线剪开铺平为扇形），展示展开图折叠成立体图形的步骤，强化“平面-立体”转化思维。

（5）《中考真题汇编》：精选近五年北京中考中关于几何体展开图的题目（如“已知正方体展开图，判断相对面”“圆柱展开图计算表面积”），标注考查知识点（空间观念、模型应用）。

###2.拓展建议

（1）实践活动：收集家中5种不同几何体物品（如牙膏盒、薯片桶、礼品盒），测量其尺寸，绘制展开图并计算表面积，制作“几何体展开图手册”，标注各面对应关系及实际应用场景（如牙膏盒展开图需考虑密封边宽度）。

（2）跨学科任务：结合物理知识，设计一个底面半径3cm、高10cm的圆柱形浮筒，要求侧面展开图材料利用率不低于90%，计算所需铁皮最小尺寸，绘制展开图并说明裁剪方案（结合圆柱底面圆形与侧面长方形的拼接）。

（3）分层探究任务：

基础层：绘制给定尺寸（如长5cm、宽4cm、高3cm）长方体的3种不同展开图，计算表面积并比较差异；

进阶层：设计一个体积为36cm³的长方体，找出表面积最小的展开图类型（通过对比“1-3-2”“2-2-2”型展开图）；

挑战层：解决组合几何体展开问题（如两个正方体拼接成“1-1-1-1”长方体，绘制其展开图并计算表面积）。

（4）数学文化阅读：查阅《九章算术》中“商功”章关于立体图形体积计算的记载，了解古代工匠如何通过展开图计算粮仓（圆柱形）的容积，撰写“古代数学中的几何体展开思想”短文。

（5）错题整理：建立“展开图错题本”，分类记录常见错误（如正方体展开图中“田”字型无法折叠、圆锥展开图扇形半径误用底面半径），标注错误原因并补充正确解法，每周选取1道错题进行变式练习。

（6）模型创新大赛：以“环保包装”为主题，利用废旧材料（如纸盒）设计几何体包装盒，要求展开图材料最省且能容纳指定物品（如体积为100cm³的物体），制作模型并展示设计思路（结合展开图与表面积计算）。课后作业课后作业1.绘制一个棱长为4cm的正方体平面展开图（标注“上、下、前、后、左、右”六个面），并指出相对面的位置关系。

答案：示例“1-4-1”型展开图，上、下为相对面，前、后为相对面，左、右为相对面（答案不唯一，需满足相对面在展开图中不相邻）。

2.一个圆柱的底面半径为3cm，高为8cm，求其侧面展开图的尺寸及表面积（结果保留π）。

答案：侧面展开图长=2π×3=6πcm，宽=8cm；表面积=6π×8+2×π×3²=48π+18π=66πcm²。

3.已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为6cm，求其侧面展开图的圆心角。

答案：底面周长=2π×6=12πcm，扇形弧长=12πcm，圆心角=（12π÷10）×180°÷π=216°。

4.一个长方体的长、宽、高分别为5cm、3cm、2cm，比较“1-3-2”型与“2-2-2”型展开图的表面积，哪种更节省材料？

答案：两种展开图表面积相同，均为2×(5×3+5×2+3×2)=62cm²（展开图类型不影响表面积）。

5.设计一个无盖长方体纸盒，体积为24cm³，长、宽、高为整数，且底面为正方形，求表面积最小的展开图尺寸。

答案：底面边长2cm，高6cm，展开图为“1-3-2”型，表面积=2×(2×2+2×6+2×6)-2×2²=56cm²（底面为正方形时，长、宽越接近，表面积越小）。课堂课堂八、课堂

1.课堂评价：通过提问“正方体展开图中‘田’字型为何不能折叠成立体图形？”“圆柱侧面展开图的长与底面周长的关系”等核心问题，检测学生对展开图原理的理解；观察学生在小组讨论绘制长方体展开图时的操作规范性，是否能正确