2027届新高考数学热点精准复习探索性及折叠问题

2027届新高考数学热点精准复习探索性及折叠问题1.以空间向量为工具,探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件等.2.由平面图形折叠成空间几何体,研究空间中的位置关系、体积、空间角、空间距离等.题型分析例1(2026·广州调研)如图,在四棱台ABCD－A1B1C1D1中,上、下底面均是正方形,且侧面是全等的等腰梯形,AB＝2A1B1＝4,E,F分别为DC,BC的中点,上、下底面中心的连线O1O垂直于上、下底面,且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°.题型一探索性问题(1)求证:BD1∥平面C1EF;

感悟提升1.对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数.

(1)证明:A1C⊥平面ABC1;

由(1)知A1C⊥平面ABC1,所以A1C⊥AC1,所以四边形AA1C1C为菱形,取A1C1的中点为E,连接AE,又∠ACC1＝60°,所以△AA1C1为等边三角形.所以AE⊥A1C1,又AC∥A1C1,所以AE⊥AC.又AB⊥平面AA1C1C,所以AB,AC,AE两两垂直.

例2(2025·新高考Ⅱ卷)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB＝90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB＝3AD,CD＝2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角为60°.题型二折叠问题(1)证明:A'B∥平面CD'F;因为在四边形ABCD中,AB∥CD,且EF∥AD,所以四边形AEFD是平行四边形,又∠DAB＝90°,所以四边形AEFD为矩形,折叠后,显然EB∥FC,EB⊄平面CD'F,FC⊂平面CD'F,所以EB∥平面CD'F,又A'E∥D'F,A'E⊄平面CD'F,D'F⊂平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F,且EB∩A'E＝E,EB,A'E⊂平面BA'E,所以平面BA'E∥平面CD'F,且A'B⊂平面BA'E,所以A'B∥平面CD'F.(2)求平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值.由∠DAB＝90°,EF∥AD,所以EF⊥CD,所以EF⊥CF,EF⊥D'F,所以平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角的平面角为∠D'FC＝60°.结合CF∩D'F＝F,CF,D'F⊂平面CFD',所以EF⊥平面CFD',又EF⊂平面EBCF,可得平面CFD'⊥平面EBCF,又F为CD的中点,所以△CFD'为等边三角形,

感悟提升翻折问题的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系,尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一平面上的性质发生变化.训练2(2026·长沙模拟)在平面四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝BD＝2,AB⊥BD,将△BCD沿BD翻折至△BPD,其中P为动点.

(1)若AP＝AD,证明:AB⊥平面BPD;(2)求直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值.如图,建立以B为原点的空间直角坐标系.设二面角P－BD－A的平面角为θ,

1.(2026·青岛质检)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD＝NB＝1,E为BC的中点.连接BD,因为MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,所以MD∥NB,又因为MD＝NB＝1,所以四边形MDBN为平行四边形,所以MN∥BD,又BD⊂平面ABCD,MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(1)证明:MN∥平面ABCD;

(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN,若存在,求出线段AS的长度;若不存在,请说明理由.

(1)证明:EF⊥PD;又EF2＋AE2＝AF2,所以EF⊥AE.由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED,又ED∩PE＝E,ED,PE⊂平面PED,所以EF⊥平面PED.又PD⊂平面PED,所以EF⊥PD.

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.

可取n1＝(0,2,3).设平面PBF即平面PAF的法向量n2＝(x2,y2,z2),

3.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB＝BC＝2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.

(1)证明:BF⊥DE;

(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

又∵C1为PC的中点,B1为PB的中点,CC1＝BB1＝1,∴PB＝PC＝2,∴PO⊥BC,又∵AO∩PO＝O,AO