初中九年级数学 微专题：主从联动模型下的动点轨迹与最值问题探究

初中九年级数学微专题：主从联动模型下的动点轨迹与最值问题探究

一、教学背景与设计理念

（一）【基础·课标定位】

本轮复习处于中考二轮专题提优阶段，依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对于几何直观、推理能力以及模型观念的要求，最值问题不仅是初中数学的核心内容，更是考查学生综合运用知识解决复杂问题能力的重要载体。尤其是在动态几何背景下，要求学生不仅能“以静制动”，更要能洞察图形运动过程中不变的本质关系，即从“变”中寻“定”，进而确定动点轨迹，将动态最值问题转化为静态几何或函数问题。

（二）【热点·学情研判】

安徽中考近年来对最值问题的考查呈现出明显的“模型化”和“隐蔽化”趋势【高频考点】。学生在处理单动点问题时，通常能想到“垂线段最短”或“将军饮马”模型，但在面对双动点问题（如主从联动模型，也称“瓜豆原理”）时，往往因为无法识别从动点的运动轨迹而导致思维中断。特别是当轨迹为隐藏的直线时，学生缺乏系统的破解策略。因此，本设计聚焦于“确定直线轨迹”，旨在通过层层递进的问题链，帮助学生打通从“被动应对”到“主动构造”的思维通道。

二、核心素养目标

（一）【重要·低阶目标】

1.能识别动态几何问题中的主动点和从动点，理解主从点之间的联动关系。

2.能说出确定动点轨迹为直线的两个核心条件——“定角”与“定比”。

3.能熟练运用“两点确定一条直线”或“垂线段最短”解决基本的直线型轨迹最值问题。

（二）【非常重要·高阶目标】

1.通过操作、观察、猜想、验证，经历从特殊到一般的数学探究过程，体会“转化”与“建模”的数学思想，特别是模型化思想在解决复杂问题中的威力。

2.掌握确定隐直线轨迹的“三招”：定角法、定距法、主从联动法（瓜豆原理），并能根据不同情境灵活选用策略，发展高阶思维品质。

三、教学重难点

（一）【难点·突破关键】

教学重点：在动态问题中发现“定点、定角、定比”关系，确定从动点的直线运动轨迹。

（二）【难点·思维障碍】

教学难点：理解主从动点轨迹的“一致性”（直线生直线），并能通过旋转或位似变换构造辅助线，解决含双动点的复杂最值问题。

四、教学实施过程

（一）溯源·单动点轨迹唤醒——“定角”定直线

1.问题引路（基础回顾）

【问题1】如图1，已知线段AB=4，点P是平面内一动点，且满足∠APB=90°，则动点P的运动轨迹是什么？若∠APB=60°呢？在点P的运动过程中，求点P到直线AB距离的最大值。

设计意图：唤醒学生对“定弦定角”轨迹的记忆，明确当动点对定线段张角为定角（且不为90°时，轨迹为弧；当角为90°时，轨迹是以AB为直径的圆。但本节课的焦点在于直线，因此需要引导学生思考，如果角的两边具有其他约束，是否会产生直线轨迹？由此引出核心环节。

2.追问聚焦（思维预热）

教师追问：如果上述问题中，动点P不仅保持角度不变，而且其中一边必须始终经过某个定点，或者与某条定直线平行，轨迹会发生变化吗？带着这个问题，我们进入今天的核心探究。

（二）探究·主从联动定轨迹——“瓜豆”定直线

1.模型初探（任务驱动）

【任务一】（小组合作，借助几何画板演示或学案作图）

如图2，已知定点A，点B在直线l上运动（主动点），点C是平面内一点，且满足△ABC是等腰直角三角形，其中AB=AC，∠BAC=90°（即点C随点B运动而运动，是从动点）。

（1）画出点B在直线l上运动时，点C的几个对应点（如取B在l上的三个不同位置），并尝试连接这些点，你猜测点C的运动轨迹是什么图形？

（2）验证猜想：能否证明点C的运动轨迹是一条直线？如果能，这条直线与原直线l有什么位置关系？

教学实施：学生通过作图发现点C的轨迹似乎是另一条直线。教师引导学生分析“主动点—定点—从动点”的结构：定点A，主动点B，从动点C。满足AB=AC，且夹角∠BAC=90°（定角），AB与AC的长度比为1：1（定比）。这是典型的“瓜豆原理”【高频考点】。通过证明△ABA‘≌△ACC’（手拉手模型），得出对应角相等，从而确定轨迹为直线，且该直线是由原直线l绕点A旋转90°得到的。

2.规律凝练（模型构建）

【任务二】在任务一的基础上，改变条件：若△ABC不是等腰直角三角形，而是满足AC/AB=k（定比），且∠CAB=α（定角），点B仍在直线l上运动，那么点C的轨迹是什么？

结论归纳（师生共建）【非常重要】：若两动点（主动点B，从动点C）到某定点A的距离比AC:AB为定值k，且两动点与定点A的连线夹角∠CAB为定角α，则主动点B与从动点C的运动轨迹相同（直线生直线，圆生圆）。在本节课（直线型）背景下，从动点C的轨迹是一条直线，该直线可以看作是由原直线l绕点A旋转α角（当0°<α<180°时）并经过适当的位似变换（位似比为k）得到的。

3.图形表征（思路解析）

【非常重要】确定从动点轨迹的具体操作步骤：

第一步（识别结构）：找定点、双动点。确认是否有“定点”，主动点是否在直线上运动，主从点与定点连线是否满足“夹角固定、比例固定”。

第二步（特殊定位）：取主动点的两个特殊位置（通常是起点和终点，或任意两个方便作图的位置），根据旋转和缩放关系，找到对应的两个从动点位置。

第三步（连线定迹）：过这两个从动点作直线，该直线即为从动点的运动轨迹。此时，原本复杂的双动点最值问题，就转化为从动点在这一条确定的直线上运动的单动点最值问题。

（三）破题·真题变式演练——“隐线”显形

1.变式应用（能力提升）

【例题】（202X年安徽中考改编）【难点】

如图3，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是边AD上一动点，连接CE，将△CDE沿CE翻折得到△CFE，连接BF，点G是BF的中点，连接AG，求AG的最小值。

审题分析：

首先确定动点：点E在AD上运动（主动点，轨迹是线段），点F随E的运动而运动（由翻折得到，CF=CD=4，定点C到动点F的距离为定长，所以F的轨迹其实是以C为圆心，4为半径的弧，此为后续伏笔，但本题问的是G点）。

其次确定核心动点：点G是从动点，连接BG和FG，且G是BF中点。这里看似与瓜豆原理的“夹角、比例”形式不同，需要转化。

思路点拨【热点】：

教师引导：我们要找的是点G的轨迹。G随F动，F随E动。我们可以直接分析G与F的关系。定点是B吗？点B是定点，F是动点，G是BF的中点。那么对于定点B，动点F和动点G，有BG:BF=1:2（定比），且B、G、F三点共线，即夹角为0°（定角）。所以，这是一个“瓜豆原理”的退化形式——位似变换。主动点F的轨迹是圆弧，那么从动点G的轨迹必然也是圆弧（圆生圆）。如果我们能确定G的轨迹是一个圆（或一段弧），问题就转化为圆外一点A到圆上一点G的最小距离问题。

解析过程：

第一步（转化）：因为G是BF中点，所以点G可以看作是点F以点B为位似中心，以1:2为位似比缩放得到的。因此，点G的轨迹与点F的轨迹相似。点F的轨迹是以C为圆心，4为半径的圆的一部分。那么点G的轨迹就是以点C的对应点C‘为圆心，2为半径的圆。

第二步（定位）：如何找到C’？因为G的轨迹由F的轨迹位似变换而来，那么圆心也会进行同样的变换。连接BC，取BC的中点C‘，即为G轨迹的圆心。那么G的轨迹就是以C’为圆心，2为半径的弧。

第三步（求解）：连接AC‘，交⊙C’于点G，此时AG即为最小值。计算AC‘（Rt△ABC’中，AB=4，BC‘=3，则AC’=5），所以AG的最小值=AC‘—半径=5—2=3。

2.一题一课（深层追问）

【追问1】本题中，如果点E在AD上运动，求BF的最小值，又该如何思考？（回归主动点）

【追问2】当轨迹为隐藏的直线时，常见的破题招数有哪些？【重要·方法归纳】

第一招：“定角法”。如问题1，动点对某线段张角为定角（如90°），且动点在过端点的垂线上。

第二招：“定距法”。如“到直线距离等于定长”，则轨迹为平行线；到两点距离相等，则轨迹为中垂线。

第三招：“主从联动法”（瓜豆原理）。核心是识别“一定两动、夹角定、比例定”，然后通过旋转加缩放确定从动点轨迹。

本节课的核心就是第三招，尤其是轨迹为直线的情况，往往是中考压轴题的“题眼”。

（四）迁移·建模与变式挑战

【当堂检测】（分层任务）

1.（基础巩固）如图4，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），点P在直线x=—1上运动，以AP为直角边作等腰Rt△APQ（∠PAQ=90°，且A、P、Q按逆时针顺序），求点Q的运动轨迹的解析式。

设计意图：直接应用模型，将直线绕点A旋转90°，求出对应直线上的两点坐标，进而求解析式。

2.（变式拓展）【非常重要】如图5，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一动点，连接AE，以AE为边向右侧作等边△AEF，F为等边三角形顶点，连接DF，求线段DF的最小值。

设计意图：本题中，F是从动点，主动点E在BC上运动（直线），定点A，夹角60°，定比1：1。利用瓜豆原理，F的轨迹是将线段BC绕A逆时针旋转60°得到的线段。求出这条轨迹的端点，将DF的最小值转化为定点D到一条定直线的最短距离（垂线段），考查学生对“直线生直线”的深度理解。

3.（高阶挑战）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且满足∠ADB=45°，连接CD，则线段CD的最大值是多少？

设计意图：此题为“定角定圆”隐圆问题，作为对比拓展，让学生区分隐圆与隐线的不同适用情境，避免模型混淆，强调审题的重要性。

五、课后反思与作业设计

（一）课堂复盘（思维导图）

1.一个核心思想：转化思想——将动态问题静态化，将复杂轨迹简单化。

2.两类基本轨迹：直线（线段）型、圆弧（圆）型。

3.三个关键条件：定点、定角、定比。

4.四大常用模型：将军饮马、垂线段最短、隐圆（定弦定角）、瓜豆原理（主从联动）。

（二）分层作业

1.【基础】完成学案中“基础巩固”类习题，整理本节课关于“定角定比”确定直线轨迹的笔记。

2.【重要】探究题：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是矩形内一动点，且满足tan∠PAD=1/2，tan∠PBC=2，求点P的运动路径长。

3.【挑战】结合本节课所学，自编一道利用“主从联动”确定直线