高三二轮高效复习主题巩固卷数学零点问题

[课下巩固检测练(七)]零点问题(每题10分)1.(2025·河北秦皇岛一模)已知函数f(x)＝x2(lnx－1)－2ax.(1)当a＝0时，求f(x)的极小值；(2)若函数g(x)＝ex＋f(x)有2个零点，求a的取值范围.解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝x2(lnx－1)定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝2x(lnx－1)＋x＝2x(lnx－12)当0＜x＜e时，f'(x)＜0；当x＞e时，f'(x)＞0，函数f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝－e2(2)依题意，函数g(x)＝ex＋x2(lnx－1)－2ax的定义域为(0，＋∞)，由g(x)＝0，得2a＝exx＋xlnx－令函数h(x)＝exx＋xlnx－x，x＞求导得h'x＝exx-1x2＋lnx，当0＜x＜1时，h'(x)＜0，当x＞1时，h'函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(x)min＝h(1)＝e－1，当x从大于0的方向趋近于0时，h(x)→＋∞；当x→＋∞时，h(x)→＋∞，则当2a＞e－1，即a＞e-12时，直线y＝2a与函数y＝h(x)的图象有两个交点，即g(x所以a的取值范围是(e－122.(2025·山东临沂一模)已知函数f(x)＝2x+1e(1)求曲线y＝f(x)在点0，f(2)若函数g(x)＝f(x)－kx在－∞，0上恰有两个零点，求解：(1)由f(x)＝2x+1ex，得f'(x)＝2x则f0＝1，f'0＝3，所以曲线y＝f(x)在点0，f0处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1(2)令g(x)＝f(x)－kx＝0，则k＝f(x)令hx＝2x+1exx则h'x＝2x2+x-1e令h'x＞0，则x＜－1，令h'x＜0，则－1＜x＜0，所以函数hx在－∞，－1上单调递增，所以hxmax＝h－1hx＝2x+1exx＝当x→－∞时，hx→0，当x→0时，hx→－∞，如图，作出函数hx的大致图象，因为函数g(x)＝f(x)－kx在－∞，所以函数y＝k，y＝hx的图象恰有两个交点，所以k的取值范围为0，3.(2025·浙江金华二模)已知函数f(x)＝xa(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若方程f(x)＝1a有且只有一个实数根，求实数a的取值范围解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝x1+lnx的定义域为(0，e－1)∪(e－1，＋∞求导得f'(x)＝lnx当x∈(0，e－1)∪(e－1，1)时，f'(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值f(1)＝1，无极大值.(2)函数f(x)＝xa+lnx的定义域为(0，e－a)∪(e－a求导得f'(x)＝a+ln令h(x)＝f(x)－1a，则h'(x)＝f'(x)＝a当x∈(0，e－a)∪(e－a，e1－a)时，f'(x)＜0；当x∈(e1－a，＋∞)时，f'(x)＞0，函数h(x)在(0，e－a)，(e－a，e1－a)上单调递减，在(e1－a，＋∞)上单调递增，当x＝e1－a时，函数h(x)取得极小值h(e1－a)＝e1－a－1a①若a＜0，当x∈(0，e－a)时，h(1)＝f(1)－1a＝0，函数h(x)在(0，e－a)有唯一零点x＝1当x∈(e－a，＋∞)时，h(e1－a)＝e1－a－1a＞0，函数h(x)在(e－a，＋∞)无零点因此当a＜0时，h(x)有唯一零点；②若a＞0，当x从大于0的方向趋近于0时，函数h(x)的值趋近于负数－1a即当x∈(0，e－a)时，h(x)＜0，函数h(x)在(0，e－a)上无零点；当x从大于e－a的方向趋近于e－a时，函数h(x)的值趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，函数h(x)的值趋近于正无穷大，则当且仅当h(e1－a)＝0，h(x)有唯一零点，由h(e1－a)＝0，得e1－a－1a＝0，即ae1－a－1＝0令φ(a)＝ae1－a－1，a＞0，求导得φ'(a)＝(1－a)e1－a，当0＜a＜1时，φ'(a)＞0；当a＞1时，φ'(a)＜0，函数φ(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，因此φ(a)max＝φ(1)＝0，则方程e1－a－1a＝0有唯一解a＝1于是a＝1时，h(x)有唯一零点，所以实数a的取值范围为a＜0或a＝1.4.已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋1.(1)若f(x)在0，＋∞上单调递减，求(2)若a＜0，证明：f(x)＞0.解：(1)由f(x)＝xlnx－ax2＋1，则f'(x)＝lnx＋1－2ax，因为f(x)在0，＋所以f'(x)＝lnx＋1－2ax≤0在0，＋所以lnx＋1－2ax≤0，即a≥lnx构造函数g(x)＝lnx所以g'x＝1x·2当x∈0，1时，g'x＞0；当x∈1，＋∞时，所以g(x)在区间0，1上单调递增，在区间1所以当x＝1时g(x)取得极大值也是最大值，即g(x)max＝g1＝12，所以a≥1所以a的取值范围为12(2)解法一：由题意得f(x)＝xlnx－ax2＋1的定义域为0，当a＜0时，要证f(x)＞0，即证xlnx－ax2＋1＞0，等价于证明lnx－ax＋1x＞0构造函数hx＝lnx－ax＋1xx＞0，即证所以h'x＝1x－a－1x2令Tx＝－ax2＋x－1x＞因为函数Tx的对称轴为x＝12a＜所以Tx在0，＋且T0＝－1＜0，T1＝－a＞0，所以存在x0∈0，1，使Tx0＝－ax02＋x0所以当x∈0，x0时，Tx＜0，即h'x当x∈x0，＋∞时，Tx＞0，即h'所以hx在0，x0上单调递减，在所以当x＝x0时，hx有极小值也是最小值hxmin＝hx0＝lnx0－ax0＋1x0(0＜x又因为－ax02＋x0－1＝0，得－ax02＝1所以hx0＝lnx0＋2x0－令px＝lnx＋2x－10则p'x＝1x－2x2＝x-2x2＜所以px在0，1所以px＞p1＞0，即hx0＞0所以即证hxmin＞0，所以可证f