2025-2026学年下学期安徽省百师联盟高二数学4月学情检测试卷（含答案）

2026年高二下学期学情检测数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标母涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。考试时间为120分钟,满分150分一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.书架上有5本不同的小说和4本不同的散文,随机取出2本,则不同的取法有A.10种B.20种C.36种D.72种2.已知函数fx=xcosA.22−2πD.23.用数字2,3,4,6组成没有重复数字的三位数,其中偶数的个数是A.24B.18C.12D.64.下列各式正确的是A.A42=3 A45.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1DA.4B.2C.-2D.-46.函数fx=−A.−∞,−1B.C.−∞,−1和3,+∞7.在舞台上，智能机器人随着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”.开始时，机器人M在舞台中心，机器人N在舞台中心正东方向2米处.下列说法中正确的是A.经过4秒，机器人N来到舞台中心的路径有12条B.经过1秒，机器人M与N的距离为2米的情况有2种C.经过2秒，机器人M与N首次相遇的情况有6种D.经过2秒，机器人M与N的距离为2米(未相遇)的情况有27种8.已知函数fx=x−1eA.−∞,0B.−∞,0∪{e}C.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知异面直线l1,l2所成角的大小为π6,设l1的一个方向向量为d1,l2A.12B.32C.−10.将5个小球放入3个盒子中,则下列说法正确的有A.若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为12B.若小球相同、盒子不同,且允许有空盒子,则不同的放法种数为21C.若小球不同、盒子不同，且恰有1个盒子放3个球.其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为60D.若小球不同、金子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为2511.已知函数fx=A.当a=1时,曲线y=fx在点1,B.当a=1时,fx在C.当a=0时,fxD.当a=1时,方程fx=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知平面α,β的法向量分别为m=1,0,0,n13.已知1+ax6的展开式中x5的系数为14.已知函数fx=x−e−四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)用二项式定理证明5555+916.(15分)某校为丰富学生的业余活动,开设了5项不同的活动,由甲、乙、丙三位教师负责.(1)若每位教师至多负责2项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案?(2)若每位教师至少负责1项活动,教师甲只负责1项活动,每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案？17.(15分)如图，在等腰梯形QBCD中，BC//QD.QD=6.QA=AB=BC=2.现将△QAB沿直线AB翻折，使得点Q到点P处。得四棱锥P−ABCD.点E，F(1)状证:EF//平面PAD(2)若二而角P−AB−D的大小为60∘，求直线EF18.(17分)已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若fx≥0恒成立，求实数19.(17分)已知函数fx=x2lnx，直线l为曲线y(1)求函数fx(2)设gx=fx+x(3)若直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，且△OAB为等腰直角三角形(O为坐标原点),求△OAB2026年高二下学期学情检测数学参考答案及评分意见1.C由题意,书架上共有9本不同的书,从中取出2本,有C92=362.A因为fx=xcosx,所以f′x3.B因为用数字2,3,4,6组成的没有重复数字的三位数是偶数,所以个位上的数字只能是2,4,6,有3种排法;其他数位没有限制,有A32=6种排法.由分步乘法计数原理,得偶数的个数是4.C因为A63=6×5×4=120因为C52⋅C63=5因为C93=9×8×71×因为C103=10×9×81×25.B因为AC=AB+AD,AB1=AB+AA1,所以AC⋅AB1=AB+AD⋅AB+AA1=6.D因为fx=−x2+4x+6lnx,x>0,所以f′x=−2x+4+6x=−2x+1x−3x.令7.D经过4秒，机器人N来到舞台中心，即机器人N移动4次来到舞台中心，则机器人N需要有2次向西移动，剩下的2次为东西各1次或南北各1次，所以路径共有C42C2经过1秒，机器人M与N的距离为2米，则一个机器人在东西方向移动，另一个机器人在南北方向移动.若机器人M东西方向移动，则机器人M向东移动，机器人N向南或向北移动，有2种情况；若机器人M南北方向移动,则机器人M向南或向北移动,机器人N向西移动,有2种情况.所以经过1秒,机器人M与N的距离为2米的情况有2+2=4种,故经过2秒，机器人M与N首次相遇，即机器人M与N各移动2次首次相遇，分为两类:①在机器人M或N的起始位置相遇，②在其他位置相遇.对于①，一个机器人向东或向西移动2次，另一个机器人移动2次回到原地.若机器人M移动2次回到原地，则机器人M第一次向南、向西或向北移动，机器人N向西移动2次，有3种情况;若机器人N移动2次回到原地,则机器人N第一次向东、向南或向北移动,机器人M向东移动2次,有3种情况.所以有3+3=6种情况.对于②,相遇位置为机器人M和N起始位置中点的正北或正南1米处,机器人M有2种情况；机向东、向北(南)移动，机器人N向西、向北(南)移动.机器人M先向北再向东移动时，机器人N有2种情况；机器人M先向东再向北移动时，机器人N有1种情况；共有3种情况.同理，相遇位置在正南时，也有3种情况，所以有3+3=6种情况.综上,经过2秒,机器人M与N首次相遇的情况有经过2秒，机器人M与N的距离为2米(未相遇)，即机器人M与N各移动2次距离为2米(未相遇)，分为两类:①机器人M与N这2次移动步调完全一致,有4×4②机器人M与N移动步调不一致，移动2次都回到原地.若机器人M在南北方向移动，则机器人M有2种情况,机器人N有3种情况;若机器人M在东西方向移动,则机器人N有5种情况.综上,经过2秒,机器人M与N的距离为2米(未相遇)的情况有16+2×3+5=8.A因为fx=x−1由题意,得f′x由f′x=xex−ax因为e0−a×0=设gx=exx,则函数gxg′x=x−1exx2当x∈0,1时,当x∈1,+∞时,因为当x∈−∞,0时,gx<0,当x∈0,+∞时,gx>0,且gx在0,+∞上的最小值为当a=e时,ex−ax≥0恒成立,当且仅当x=1时,等号成立,所以当a∈−∞,0时,函数hx=ex−ax所以存在x0<0,使得hx0=0,则f当x<x0时,hx<0,f′x>0,当x0<x<0时,hx>0,f′x<0,当9.BC设d1,d2=θ.若若θ∈π2,π,则θ=5π6,cosd110.BCD对于A,小球相同、盒子不同,不允许有空盒子.用隔板法,将5个小球分成3组,不同的放法有C42=6种,故对于B,小球相同、盒子不同,允许有空盒子,用隔板法.相当于有7个位置,2个位置放隔板,5个位置放小球,不同的放法有C72=21种,故对于C,小球不同、盒子不同.第一步,选出1个盒子放3个小球.选盒子,有C31=3种选法;选小球,有C53=10种选法.故有3×10=30种放法.第二步,把剩余的2个小球放入余下的2个盒子,有A对于D,小球不同、盒子相同.根据题意,每个盒子里球的个数有3,1,1和2,2,1两类情况.第一类,选3个小球放入其中1个盒子,剩余的2个小球放入余下的2个盒子,则不同的放法有C53=10种;第二类,选1个小球放入其中1个盒子,剩余的4个小球平均分成2组放入余下的2个盒子,则不同的放法有C51× C42 A211.ACD当a=1时,fx=lnxx−x+2,x>0,则f′x=1−lnxx2−1=−x令gx=−x2−lnx+1,x>0,则g′x=−2x−1x<0恒成立,所以gx在0,+∞上单调递减.因为g1=0,所以当0<x<1时,gx>0,则f′x>由以上分析知,fx在x=1处取得极大值,为f1=1.因为当x→0时,fx→−∞,f3=ln33−1<0当a=0时,fx=lnxx+2,x>0,则f′x=1−lnxx2.当0<x<e时,f′x>0,当x>e时,f′x<012.33因为m=1,0,0,n=−3,3,−313.-21+ax6的展开式的通项为Tr+1=C614.(−∞,2]因为fx=x−e−x−alnx+1+1设gx=x+1设mx=ex−x,x≥0,则m所以mx≥m0=1>0.所以g′x所以函数gx的最小值为g0=2,所以a≤2,即实数15.证明:因为5555=56−155=C556×5655+所以56×5654−即5555+9能被816.解:(1)由题意得，三位教师都要负责活动，且有一位教师负责1项活动，其他两位教师各负责2项活动.1分第一步,选一位教师负责1项活动.从三位教师中选1人,有3种选法;为这位教师分配负责的活动,有5种不同的分配方案.所以有3×5=15第二步，为剩下的两位教师分配活动.从剩下的4项活动中，选2项分配给剩下的两位教师中的一位，有C42=6种不同的分配方案;最后2项活动分配给另一位教师,有C22=1种不同的分配方案.由分步乘法计数原理,得共有15×6=90(2)由题意得，教师甲负责1项活动，教师乙、丙共负责4项活动.8分第一步,为教师甲分配活动.从5项活动中选1项分配给教师甲,有5种不同的分配方案.9分第二步,为教师乙、丙分配活动.由题意,教师乙可能负责1项、2项或3项活动.①当教师乙负责1项活动时，教师丙负责3项活动，有C41②当教师乙负责2项活动时，教师丙负责2项活动，有C42③当教师乙负责3项活动时，教师丙负责1项活动，有C43由分类加法计数原理,得教师乙、丙共有4+6+4=14种不同的分配方案.13分由分步乘法计数原理,得共有17.(1)证明:如图，在CD上取一点G，使得CG=32GD，连接因为点E,F分别在PC,BD所以在△PCD中,CEEP=CGGD又因为EG⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EG//平面PAD.3分在△BCD中,因为BC//AD,所以又因为FG⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以FG//因为EG∩FG=G,EG,FG⊂平面EFG又因为EF⊂平面EFG,所以EF//平面PAD(2)解:在等腰梯形QBCD中，因为BC//QD,QD=所以在四棱锥P−ABCD中,因为平面PAB∩平面ABCD=AB,所以∠PAD即为二面角P−因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD以点A为原点,AB,AD所在的直线分别为x,y轴,过点A且垂直于平面ABCD的直线为建立如图所示的空间直角坐标系.因为AD=2PA=4,所以A0,0,0,B2因为AB=2,0取z=3,则x=0,y由CEEP=BFFD=设Ex则x1解得x1所以EF=0设EF与平面PAB所成的角为θ,则sinθ所以EF与平面PAB所成角的正弦值为2391318.解:(1)因为fx=e−x+当m≥0时,f′x<0恒成立,所以函数fx当m<0时,解f′x=因为函数f′x在