2025-2026学年下学期河北省金太阳高三数学联考试卷（含答案）

数学试题注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=⟨x∣−1A.x∣2C.x∣22.复数3+iA.0B.1C.2D.33.已知函数fx=2ex−A.0B.32C.234.从三棱台的9条棱中选2条,则这2条棱不平行的选法种数为A.32B.33C.34D.365.已知fx是定义域为R的奇函数,当x≥0时,fxA.-6B.6C.3D.-36.彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样.某彩凤穿花纹碗如图1所示,其轴截面(不含碗的底座)如图2所示，已知该碗的底座高为1 cm，曲线AC，BD均是焦点到准线的距离为5 cm图1图2A.8 cmB.9 cmC.107.已知等比数列an的前n项和为Sn,且S5+S3A.3或13B.3或−13C.3或33D.38.已知平面内的两个动点P,Q连线的中点在圆M:x−32+y−22=4上,AA.9B.7C.-3D.-1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图,则全国2025年下半年A.商品零售额同比增长速度的极差为2.9%B.商品零售额同比增长速度逐渐降低C.餐饮收入同比增长速度的30%分位数为1.1%D.答饮收入同比增长速度的平均数小于2%10.已知函数fx=3sinA.fB.fx的图象关于直线x=−C.fx在π24,7πD.若fx的图象与gx的图象在π24,7π24上有公共点,则11.若首项为cc>0的数列an满足A.aB.a2nC.不存在c,使得anD.在c确定的情况下,点Pna三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若tanα=−7，则13.已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>14.已知棱长为4的正四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，M为PA的中点,动点Q在球O的球面上运动,且QM⊥PA.记Q在平面ABC上的射影为Q′,则Q的轨迹长度为_____▲_____，四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c(1)求A；(2)若A为钝角，且△ABC的周长为21316.(15分)已知函数fx(1)若曲线y=fx在点−1,f−1处的切线l与直线(2)讨论fx17.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2,PA⊥AB，底面ABCD是正方形，E，F分别为AD,PC的中点.过点D(1)证明:PA⊥底面ABCD(2)已知平面PAB与平面BEF的夹角为α.(1)求sinα(II)若Q是l上的一个动点，直线BQ与平面BEF所成的角为β，证明:a>18.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a(1)求E的方程.(2)已知点P1,1，过点P且斜率为k1的直线l1与E交于A，B两点，过点P且斜率为k2 k2≠k1的直线l2与E交于C，D两点，M，N(1)若P与M重合,求k1(ii)判断直线MN是否过定点.若是,求出该定点;若不是,请说明理由.19.(17分)某超市推出一款新玩具,每件玩具内有一张卡片,总共有nn≥(1)若n=2，求甲恰好购买3件玩具就集齐(2)在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p0<p<1，用kk∈N+,k ≤n)表示事件A首次发生时的试验次数,且k的分布列为Pk=1−(1)求Xn的数学期望E(ii)证明:nln数学试题参考答案题序1234567891011121314答案DACBBCADBCACDABD−1321.DA={x2.A因为3+i1−2i3.Cf′x=2ex−3a，因为f′0=2−3a=4.B从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为C92=36.在三棱台中,共有35.B令x=0,得f1=f0−3=−故f−6.C如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为x2=10y.设BxB,yB，DxD,yD7.A设由等比数列的性质得a3a6=a4a5=27.由8.D取PQ的中点O,则AP⋅AQ=AO+OP⋅AO+OQ=AO2−OP2=AO2−2.圆心M到l的距离为39.BC商品零售额同比增长速度的极差为4%−0.7%=3.3%, A错误.商品零售额同比增长速度逐渐降低,B正确.因为6×30%=1.8,所以餐饮收入同比增长速度的30%分位数为1.1%,C正确.10.ACDfx=2sin2x+π4,f−π4=2sin−π4=−2, A正确.由x=−π8,得2x+π4=0,所以fx的图象不关于直线x=−π8对称,B错误.由x∈π24,7π24,得2x+π4∈π3,5π6,得2sin5π6≤ f11.ABD由anan+1=n+1n+2,得an+1an+2=n+2n+3.两式相除整理得an+2n+3=ann+1,得a2n+12n+2=a2n−12n=a12=c2,得a2n−1=nc,得a19=10c, A正确.由anan+1=n+1n+212.−242513.133设C的左焦点为F1,连接PF1,QF1(图略).易得QF=PF1,则QF−PF26如图，设P在平面ABC上的射影为P′，四面体PABC的外接球的半径为R.易得P′A=23×32AB=433,P′P= AP2−P′A2=463.由OA2=P′A2+P′O2,得R2=163+ =PP′AP=63,所以Q′的轨迹所围成的区域面积为πR2cosθ=26π.463−R215.解:(1)由正弦定理得c=3b由△ABC的面积S=12bcsin因为A∈0,π,所以A=π(2)因为A为钝角，所以A=2π由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA=b216.解:(1)f′x则f′−因为f′−所以1+2a=3,得又f−1所以l的方程为y=3x+1−(2)f′当a=0时,f′x=x2≥0,则当a<0时,令f′x>0,得x<2a或x>0所以fx在−∞,2a,0,+∞上单调递增,在当a>0时,令f′x>0,得x<0或x>2a所以fx在−∞,0,2a,+∞上单调递增,在17.(1)证明:因为l//PA,l⊥BE因为PA⊥AB,AB∩BE=B,AB⊂底面ABCD,BE⊂(2)(i)解:以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B2,0,00),F1,1,设平面BEF的法向量为n=x,y5分令x=1,则y=2,z易得平面PAB的一个法向量为m=0则cosα=故sinα=(ii)证明:设Q0,2,a则sinβ=因为0≤β≤π2,0<α<π2,函数y=sinx即证a2+因为Δ=42−4×12=−32<0,所以18.和化归与转化的数学思想.解:(1)设a=2tt>0，则b=3t，则因为E经过点1,32，所以14t2故E的方程为x24(2)(1)设Ax1,y1,得x12得k1=则k2=故k1k(ii)直线l1:y=k1x−1+1=k1x−k1+1.由因为y1+y2=k1x112分同理可得N的坐标为−4k又k=9k所以直线MN的方程为y=12因为12k1k2−21+12k219.(1)解:甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为2×1(2)(i)解:设Xi表示在甲已获得第i−1种类型的卡后，获得第ii∈N+,i在甲已获得第1种类型的卡片后,每次试验中获得第2种类型卡片的概率为n−在甲已获得第2种类型的卡片后,每次试验中获得第3种类型卡片的概率为